专题04 二次函数（期末复习专项训练，10大题型）九年级数学上学期苏科版

专题04 二次函数 题型1 二次函数的对称轴与顶点坐标（常考点） 题型6 二次函数的解析式求解（常考点） 题型2 二次函数的平移（常考点） 题型7 二次函数的实际应用（重点） 题型3 二次函数图象与系数关系（难点） 题型8 二次函数中的动点问题（难点） 题型4 二次函数与不等式关系（常考点） 题型9 二次函数中的几何图形结合（难点） 题型5 二次函数的最值（重点） 题型10 二次函数中的圆、相似、三角函数结合（难点） 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的对称轴与顶点坐标（常考点） 1．对于二次函数的图象，顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点式中顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】解：对于二次函数的图象，顶点坐标是， 故选：A． 2．已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称是解答本题的关键． 二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标均为2， ∴对称轴为直线． ∴该抛物线对称轴为直线． 故选：D． 3．如果二次函数的对称轴是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式可知对称轴为，由题意得，即可求出的值． 【详解】解：， 故对称轴为．即：， 解得． 故答案为． 题型二 二次函数的平移（常考点） 1．将抛物线向上平移5个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题时要熟练掌握平移的规律是关键．根据函数图象平移规则，向上平移时，在函数值上直接加上平移单位． 【详解】解：∵将抛物线向上平移5个单位， ∴新抛物线的函数表达式为， 故选：B． 2．将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为 故选：C． 3．抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到一个新的抛物线，则此二次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移，根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则进行求解即可． 【详解】解：原抛物线为． 先向右平移2个单位长度，根据平移规则，将自变量替换为， 得到． 再向下平移3个单位长度，根据平移规则，将函数值整体减去3， 得到． 化简得． 故答案为∶ 题型三 二次函数图象与系数关系（难点） 1．如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化． 由开口方向得的符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④． 【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故． ① ，，，则，正确； ② 当时，，由图象知时，，错误； ③ 当时，，由图象知时，，正确； ④当时，是最小值，故对任意，，即，正确． 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 2．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故①错误． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， ， ， ∴，故③错误． ∵当时，取得最小值， ∴，即（为任意实数），即（为任意实数），故④正确． ∵抛物线开口向上，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时，在抛物线的对称轴的右侧，随的增大而增大， ， ， 当时， ∴关于对称轴的对称点为， ， ， ∴，故⑤正确． 综上，可得正确结论的序号是：②④⑤． 故选：C． 3．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断①，②，结合二次函数的最值可判断③，证明，结合当时，可判断④． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 题型四 二次函数与不等式关系（常考点） 1．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 2．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 3．如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是． 故答案为：． 题型五 二次函数的最值（重点） 1．已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，由已知条件消去，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质分别求出的最大值与最小值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴函数图象开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值，最小值为2， ∵，，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：B． 2．如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H， ∵正方形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）对于二次函数 ，对称轴为直线．根据给定抛物线解析式，直接计算即可． （2）根据题意可得最小值在顶点处．根据最小值为，求出的值，可得到函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）抛物线 中，，， 对称轴为． 故答案为：． （2）∵抛物线开口向上，对称轴在内， ∴最小值在顶点处， 即当时，， ∵最小值为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 故答案为：7 题型六 二次函数的解析式求解（常考点） 1．已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出m的值，即可得到函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越大，则可得到当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，据此求出最大值和最小值即可得到答案； （3）求出时x的值，再根据离对称轴越远，函数值越大可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当，且当时，函数有最大值，最大值为， 又∵函数的顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：在中，当时，， 解得或， ∵离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，． 2．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； 【详解】（1）解：∵设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：, 当时，， 当时，， 当时，， 函数图象如图所示： 所以，当时，． 3．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 【答案】(1)；顶点坐标是； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由解析式求出顶点坐标即可； （2）当时，结合图像可直接得出的取值范围； （3）图像沿直线翻折，开口大小不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点． ∴ 解得 ∴， ∴抛物线的顶点坐标是， （2）解：由图像可得当时， 时，函数有最小值， 时，函数有最大值， 所以的取值范围为：； （3）解：图像沿翻折，开口大小不变，顶点坐标变为， 所以表达式为：． 题型七 二次函数的实际应用（重点） 1．每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元． (1)求与的函数关系式并写出的取值范围； (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答； （2）利用二次函数的顶点坐标公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， 解得； 答：与的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：函数中， ∵， ∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴，随增大而增大， ∴当时，． 答：当每辆轮椅降价元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 2．为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的x即可得出答案． （3）分别求出对应D点和E点的抛物线解析式，进而可求出答案． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为，或． （2）解：令，得＝0， 解得：，， ∴， ∴， ∴火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离为； （3）解：如图所示： ∵，， ∴， 设， 把代入得， 解得： 由平移可知，发射装置顶端上升高度最小值为， 设， 把代入得：， 解得：， 由平移可知，发射装置顶端上升高度最大值为， ∴当火星落在回收箱内时，的取值范围为． 3．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 题型八 二次函数中的动点问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （2）利用平移的概念，即可解答； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． (1)如图，点E的坐标为______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 【答案】(1) (2)S与t的关系式为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质及多边形面积的求解． （1）根据已知条件得出，再利用矩形的性质得出，的长度，最后利用勾股定理得出的长度，进而求得点E的坐标； （2）根据题意分析矩形平移过程，此时进行分类讨论，利用平行线的性质，解含有的直角三角形等相关性质得出不同情况下的线段长度，进而求得每种情况下的面积表达式． 【详解】（1）解：由点，得， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴点E的坐标为． 故答案为：． （2）解：矩形平移过程如图所示： 由平移可知，，，，设与的交点为M，与的交点为N，与的交点为P， ∵， ∴， ①当时，重叠部分即为矩形， ∴， ②当时，重叠部分为五边形， ∴五边形的面积为， ∵， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴在中，， ∴， ∴， ③当时，重叠部分为四边形， ∵，， ∴四边形为直角梯形， ∵，， ∴在中，，同理：，， ∴在中，， ∴， ④当时，重叠部分为， 同理：，， ∴在中，， ∴， 综上所述，S与t的关系式为． 3．如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)相等．理由见解析 (2)． (3)． 【分析】本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． 【详解】（1）解：当时，点在边上， 此时，，， 则； （2）当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； （3）当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 题型九 二次函数中的几何图形结合（难点） 1．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 2．综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 【答案】(1) (2)①四边形的面积最大为，点M的坐标为；②， 【分析】（1）将代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）①连接，过点M作轴，交于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线的解析式，设，则，则，然后依据四边形的面积面积面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标； ②先求得抛物线的对称轴方程为，然后过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E，先证明，从而得到，．设点，点．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标． 【详解】（1）解：∵与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即； （2）①解：如图1所示：连接，过点M作轴，交于点D． 令得：， 解得：，， ∴、， 设直线的解析式为， ∵将、代入得：， 解得：，， ∴直线解析式为， 设，则，则， ∵四边形的面积面积面积， ∴四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，点M的坐标为． ②∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图2所示：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点M在第三象限， ∴点在的下方， ∴，即， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∴一定在下方，即点P在x轴下方， 过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴，， 设点，点， 将M点代入中得： ， 整理得：， 解得或， ∵点P在x轴的下方， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 3．如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，根据二次函数的性质求出最值，可得，进而求解； （3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点E的坐标为，设点F的坐标为，再根据，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为①； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： 对于， 令， 解得或4， 令，则， 故点B的坐标为，点， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， ∵， 故有最大值， 当时，的最大值为， 此时点Q的坐标为； ∵，， 故四边形为平行四边形； （3）解：∵D是的中点， ∴点， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 过点Q作轴于点H， 则，故， 而， ∴， 则直线和直线关于直线对称， ∵点在直线上， ∴点在直线上， 故设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点E的坐标为， 设点F的坐标为， 由点B、E的坐标得：， 由点B、F的坐标得：， 当时，则， 解得， 故点F的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型十 二次函数中的圆、相似、三角函数结合（难点） 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出，，用待定系数法求二次函数的解析式，并令，解方程即得； （2）设，则，，则，，由，得，求解方程即可； （3）在上取点D，使，连接，求出，由，，得，，，得，得，判断，得，    ，得，的最小值为，即得的最小值为． 【详解】（1）解：对， 令，则， 解得， 令，则， ∴，， 将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式：， 令，则， 解得或， ∴， （2）解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时， 整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：在上取点D，使，连接， 由（1）知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，∴， ∴， ∴    ， ∴， 当C，Q，D三点共线时，，取得最小值， 即取得最小值， ∴此时，取得最小值， 最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质和一次函数的图像和性质，解绝对值方程，分类讨论，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段性质，是解题的关键． 2．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． (1)求； (2)点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）对于二次函数，分别令，，求出，，，从而得到，，，，．过点A作于点G，根据的面积求出，从而在中，根据正弦的定义即可求解； （2）由二次函数可得顶点P的坐标为．将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度．可得平移后对应的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，设，，由，得到，设直线的解析式为，点，点，由方程组得，因此，．求出直线的解析式为，直线的解析式为，因此，，又，，即可得到，得到，因此直线的解析式为，即直线过定点，再由平移即可得到原直线过定点． 【详解】（1）解：连接 对于二次函数， 令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，，， ． 过点A作于点G， ∴，即， ∴， ∴在中，． （2）解：直线过定点．证明如下： ∵二次函数， ∴顶点P的坐标为， 将抛物线及各点向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，如图所示， ∴平移后的二次函数为，顶点为原点，直线的解析式为，，， 设，， ∴，即， 设直线的解析式为，点，点， 由方程组得， ∵点，点是直线与抛物线的交点， ∴，是方程的解， ∴，， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， 由点可得直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴，即， ∵点，点在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 即直线过定点， ∵点向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度，得到点， ∴原直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，锐角三角函数值，图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，分式的运算等，掌握图象的平移变化是解题的关键． $专题04 二次函数 题型1 二次函数的对称轴与顶点坐标（常考点） 题型6 二次函数的解析式求解（常考点） 题型2 二次函数的平移（常考点） 题型7 二次函数的实际应用（重点） 题型3 二次函数图象与系数关系（难点） 题型8 二次函数中的动点问题（难点） 题型4 二次函数与不等式关系（常考点） 题型9 二次函数中的几何图形结合（难点） 题型5 二次函数的最值（重点） 题型10 二次函数中的圆、相似、三角函数结合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的对称轴与顶点坐标（常考点） 1．对于二次函数的图象，顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 3．如果二次函数的对称轴是，那么 ． 题型二 二次函数的平移（常考点） 1．将抛物线向上平移5个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为(   ) A． B． C． D． 3．抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到一个新的抛物线，则此二次函数表达式为 ． 题型三 二次函数图象与系数关系（难点） 1．如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 题型四 二次函数与不等式关系（常考点） 1．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 2．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 题型五 二次函数的最值（重点） 1．已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 2．如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ． 题型六 二次函数的解析式求解（常考点） 1．已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当，直接写出的取值范围． 2．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 3．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的关系式及顶点； (2)当时；直接写出的取值范围________； (3)将该函数图像沿轴翻折，所得图像的函数表达式为________． 题型七 二次函数的实际应用（重点） 1．每年月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利元时，每天可售出辆；单价每降低元，每天可多售出辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于元，设每辆轮椅降价元．每天的销售利润为元． (1)求与的函数关系式并写出的取值范围； (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 2．为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 3．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 题型八 二次函数中的动点问题（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在，，上，． (1)如图，点E的坐标为______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．当时，求出S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； 3．如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 题型九 二次函数中的几何图形结合（难点） 1．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 2．综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 3．如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 二次函数中的圆、相似、三角函数结合（难点） 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 2．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．在平面直角坐标系中，二次函数顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交与点C． (1)求； (2)点E、点F分别在x轴上，且（不重合），连接，直线交抛物线与Q、R两点，直线是否经过一个定点，有请证明． $