第六章 平面图形的初步认识（举一反三讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义以“基础巩固-能力提升-思维拓展”为脉络，通过题型归纳框架图系统梳理平面图形初步认识知识体系，涵盖直线射线线段、角、相交线平行线、多边形等核心内容，清晰呈现各知识点内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“题型举一反三”设计，每个知识点配套例题与变式题，如“钟面角计算”结合生活情境培养数学眼光，“平行线判定与性质综合证明”强化推理意识，“线段动点问题”发展创新思维。基础题夯实概念，提升题深化能力，拓展题挑战思维，助力不同层次学生提升，为教师精准分层教学提供系统支持。

第六章 平面图形的初步认识（举一反三讲义）全章题型归纳 【苏科版2024】 【基础巩固】 2 【题型1 直线、射线、线段】 2 【题型2 两点确定一条直线】 5 【题型3 两点之间线段最短】 6 【题型4 两点之间的距离】 7 【题型5 比较线段的长短】 10 【题型6 作一条线段等于已知线段】 12 【题型7 线段的中点】 14 【题型8 线段的和差】 17 【题型9 角的概念】 20 【题型10 钟面角】 22 【题型11 度分秒的换算】 24 【题型12 方向角】 26 【题型13 角的大小比较】 27 【题型14 角的平分线】 30 【题型15 角的计算】 33 【题型16 余角与补角】 36 【题型17 相交线】 38 【题型18 对顶角与对顶角相等】 40 【题型19 垂线的画法及相关计算】 42 【题型20 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 45 【题型21 垂线段最短】 47 【题型22 点到直线的距离】 49 【题型23 同位角、内错角、同旁内角】 51 【题型24 平行线及其画法】 53 【题型25 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 55 【题型26 同位角相等，两直线平行】 57 【题型27 内错角相等，两直线平行】 60 【题型28 同旁内角互补，两直线平行】 62 【题型29 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 64 【题型30 两直线平行，同位角相等】 68 【题型31 两直线平行，内错角相等】 70 【题型32 两直线平行，同旁内角互补】 73 【题型33 （正）多边形】 76 【题型34 多边形的对角线】 78 【题型35 多边形的内角与外角】 79 【能力提升】 81 【题型36 直线相交的交点个数问题】 81 【题型37 线段的应用】 85 【题型38 线段n等分点的有关计算】 88 【题型39 探究线段之间的数量关系】 91 【题型40 三角板中角度计算问题】 96 【题型41 几何图形中角度计算问题】 99 【题型42 角n等分线的有关计算】 103 【题型43 同角（等角）的余角相等】 107 【题型44 同角（等角）的补角相等】 109 【题型45 与对顶角有关的计算与证明】 113 【题型46 与垂线有关的计算与证明】 117 【题型47 利用平行线的判定与性质求角度】 123 【题型48 利用平行线的判定与性质证明】 128 【思维拓展】 133 【题型49 实际问题中角度计算问题】 133 【题型50 与线段有关的动点问题】 137 【题型51 旋转成动角的有关计算】 144 【题型52 平行线的性质在生活中的应用】 154 【题型53 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 160 【题型54 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 168 【基础巩固】 【题型1 直线、射线、线段】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)8条线段，6条射线 【分析】本题主要考查了画出直线、射线、线段，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及“两点之间线段最短”是解题的关键． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短作出点P即可； （4）根据线段和射线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，射线即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． （4）解：图中有线段，，，，，，，，共有8条； 以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以D为端点的射线有1条，共6条． 【变式1-1】在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【答案】射线 【分析】本题主要考查射线的定义，根据直线，射线和线段的区别即可得出答案． 【详解】手电筒可近似看成一个点，所以手电筒发射出来的光线相当于一个从一个端点出发的一条射线， 故答案为：射线． 【变式1-2】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，点与直线的位置关系，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义和点与直线的位置关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、、，，，，共6条线段，原说法错误，不符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，符合题意； C．射线与射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； D．点不在直线上，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 【题型2 两点确定一条直线】 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了几何公理，掌握“两点确定一条直线”是解题关键．小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 【详解】解：根据几何公理，两点确定一条直线．小亮先摆好两端桌子，就确定了桌子的摆放直线，再摆中间桌子，使所有桌子在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式2-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：A． 【变式2-2】在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线的知识；根据两点确定一条直线即可得到答案． 【详解】解：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是2枚， 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质， 根据学生的做法，思考直线的性质解答即可. 【详解】解：这种画法的数学依据是“两点确定一条直线”. 故答案为：两点确定一条直线. 【题型3 两点之间线段最短】 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期末）下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短以及两点确定一条直线．根据两点之间，线段最短以及两点确定一条直线，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，依据“两点确定一条直线”； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，依据“两点确定一条直线”； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，依据“两点之间，线段最短”． 故答案为：③ 【变式3-1】如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间、线段最短是解题的关键． 根据线段的性质即可解答． 【详解】解：为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，是因为两点之间线段最短． 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间线段最短，得C正确； 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【题型4 两点之间的距离】 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃白银·月考）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，分别当A，B，C三点在一条直线上时，当A，B，C三点不在一条直线上时，两种情况进行分析即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，分点C在线段的延长线上和在线段的延长线上两种情况讨论； ①点C在线段的延长线上时，； ②点C在线段的延长线上时，； ∴A、C两点之间的距离是或 ； 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能，不能确定． 故选：D． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【题型5 比较线段的长短】 【例5】（24-25六年级上·上海·阶段练习）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【答案】在线段延长线上 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 【变式5-1】比较图中二人的身高，我们有 种方法．一种为直接用卷尺量出，另一种可以让两人站在一块平地上，再量出差．这两种方法都是把身高看成一条 ． 方法（1）是直接量出线段的 ，再作比较． 方法（2）是把两条线段的一端 ，再观察另一个 ． 【答案】 2 线段 长度 重合 端点 【详解】比较图中二人的身高，我们有2种方法．一种为直接用卷尺量出，另一种可以让两人站在一块平地上，再量出差．这两种方法都是把身高看成一条线段. 方法（1）是直接量出线段的长度，再作比较， 方法（2）是把两条线段的一端重合，再观察另一个端点， 故答案为2，线段，长度，重合，端点． 【变式5-2】如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．本题利用线段的和差将比较线段与线段转换为比较线段与线段即可． 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·河北承德·期末）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．如图所示，如果点是折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)当时，点在线段_____上； (2)当点与重合时，直接比较，的大小． (3)若为线段的中点，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)的长度为2或14 【分析】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键． （1）由“折中点”的定义判断即可； （2）由“折中点”的定义得出即可； （3）分两种情况：点D在上，点D在上，由“折中点”的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 由“折中点”的定义可知点D在线段上； （2）解：当点D与点C重合时，根据“折中点”的定义可知； （3）解：∵为线段的中点，， ∴， 当点D在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点D在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的长度为2或14． 【题型6 作一条线段等于已知线段】 【例6】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【答案】 ③②①④ 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 【变式6-1】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握作线段的尺规作图是解题关键．先作射线，在射线上截取，再在射线上截取，则线段即为所求． 【详解】解：如图，线段即为所求． ． 【变式6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，点在线段上． (1)尺规作图：在线段上，截取． (2)尺规作图：延长到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于Q，则线段即为所求； （2）如图所示，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段的延长线于D，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，根据题意得，，，即可得出结论．理解作图过程及点与点重合是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，点与点恰好重合， ∴，， ∴ ， ∴的长度为． 故答案为：． 【题型7 线段的中点】 【例7】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据线段中点的定义求出，进而根据比即可求解； （）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解； 本题考查了线段的中点，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点在点左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点在点右侧时，如图， ∵，， ∴； 综上，线段的长为或． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 故选：C． 【变式7-2】如图，线段，点C在线段上，点D是的中点，E是中点，，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义求出，根据线段的和差关系求出，最后根据线段中点的定义求解即可． 【详解】解：∵，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 故答案为：8． 【变式7-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 【题型8 线段的和差】 【例8】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，先由B、C两点把线段分成的三部分，根据比例求出的长，再根据M是的中点，得出，求出的长，最后由求出线段的长． 【详解】解：∵B、C两点把线段分成的三部分，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴，即， ∴，，，， ∴． 【变式8-1】（24-25七年级上·全国·期末）将线段延长到，使，延长到，使，延长到，使，若，则 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查了线段的和差倍关系，一元一次方程的应用，设，则，，，进而由列出方程求出的值即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，， ， ， ，， 图中所有线段之和为，故正确， 综上所述，正确的结论共有5个， 故选：D 【变式8-3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 【题型9 角的概念】 【例9】下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 【变式9-1】把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角是 度． 【答案】20 【分析】角在放大镜下大小不变，据此解答． 【详解】解：把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角大小不变，还是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了角的概念，熟知角的特性是关键． 【变式9-2】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 【变式9-3】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】2043231 【分析】考查了角的概念，解决该题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是，分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画2020条不同的射线，可得锐角 故答案为：2043231． 【题型10 钟面角】 【例10】（24-25七年级上·吉林·期末）上午时，钟表的时针和分针所成锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动．也就是说，分针转动时，时针才转动，即分针每转动1°，时针才转动（）度，逆过来同理． 【详解】解：∵分时，时针指向8与9之间，分针指向6．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴时分针与时针的夹角是． 故选：C． 【变式10-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）从下午到当天下午，时钟的分针转过的角度为 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟表中角度计算，由下午到当天下午，分针用分钟时间，从而可得分针旋转了，正确理解在钟表问题中常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每小时转动是解题的关键． 【详解】解：∵钟表问题中常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动， ∴下午到当天下午，分针用分钟时间， ∴分针旋转了， 故答案为：． 【变式10-2】当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 【答案】54 【分析】本题考查了钟面角．根据钟表有12个大格，每个大格是，时间为4时12分，分针指在2到3之间，时针在4到5之间，从而可以解答本题． 【详解】解：4时12分，时针从12点位置起旋转过的角度为： ， 分针从12点位置起旋转过的角度为， 所以4时12分时，时针与分针的夹角为． 故答案为：54． 【变式10-3】如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】(1)，6 (2)经过 或分钟，时针与分针成角 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）根据时针12小时转过一周，分针分钟转过一周，据此进行解答即可； （2）分两种情况：分针在时针上方和分针在时针下方，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 【题型11 度分秒的换算】 【例11】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式11-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键．根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： ∴ 故选：A 【变式11-2】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 【变式11-3】如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键．理解题意，得，则，即可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是 ∴， ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为 ∴如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 故答案为： 【题型12 方向角】 【例12】（24-25六年级上·上海·阶段练习）北偏西和南偏东所成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角和角度计算， 解题关键在于理解方向角的定义．通过方向角的定义和几何分析，确定两方向在坐标系中的位置，进而计算它们的夹角即可， 【详解】解：如图，，， , ． 故答案为：． 【变式12-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图中所示，只用方向和角度描述，学校在广场的 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的表示：学校在广场的北偏东，即可作答． 【详解】解：观察图中信息，得出学校在广场的北偏东， 故答案为：北偏东． 【变式12-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 【变式12-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一架飞机从某机场向北偏东方向飞行了千米，原路返回时要向（   ）方向飞行千米． A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据方向的相对性，原路返回的方向与去时的方向相反，即北偏东的相反方向为南偏西，但需注意角度的转换，北偏东的相反方向可转换为西偏南，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：飞机从机场向北偏东方向飞行，返回时方向相反，北偏东的相反方向为南偏西，即西偏南， 因此，原路返回时应向西偏南方向飞行千米， 故选：． 【题型13 角的大小比较】 【例13】对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 【变式13-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 【变式13-2】根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【答案】OC在∠AOB内部，∠AOB>∠COB，OC在∠AOB外部，∠AOB<∠COB，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB 【分析】根据图形及角度大小关系即可判断． 【详解】如图①，OC在∠AOB内部，故∠AOB>∠COB； 如图②，OC在∠AOB外部，故∠AOB<∠COB； 如图③，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 【变式13-3】如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ 【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可； （2）用量角器测量比较即可． 【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法， 可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α． （2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°， 把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ． 【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键． 【题型14 角的平分线】 【例14】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差倍分，关键是找到角之间的关系； 由：＝，平分，可得，答案可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ． 【变式14-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【答案】30 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， 先求出，再根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以. 因为是的平分线， 所以． 故答案为：． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 【变式14-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 【题型15 角的计算】 【例15】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式15-1】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【详解】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式15-2】如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角的计算，理解题意，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．以为一边的角有：，，，，以为一边的角有：，，，以为一边的角有：，，以为一边的角有：，再根据以，，，，为边的各角之和等于，列式求解即可． 【详解】解：以为一边的角有：，，，， 以为一边的角有：，，， 以为一边的角有：，， 以为一边的角有：， 又∵以，，，，为边的各角之和等于， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式15-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 【题型16 余角与补角】 【例16】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 【变式16-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 【变式16-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解： ， 和互为余角， ， ， 即的余角是， 故答案为：，． 【变式16-3】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 【题型17 相交线】 【例17】（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 【变式17-1】同一平面内两条直线若相交，则公共点的个数为 个． 【答案】 【分析】根据相交线的性质，即可得出交点个数． 【详解】解：两直线不同的位置关系，可得不同的交点个数， 同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了相交线的交点个数，若同一平面内，两直线相交，有且只有1个交点；若两直线重合，有无数个交点． 【变式17-2】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式17-3】（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【题型18 对顶角与对顶角相等】 【例18】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是， 故选C 【变式18-1】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 【变式18-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了角平分线的判定，先根据题意得是的角平分线，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， ∴是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式18-3】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型19 垂线的画法及相关计算】 【例19】（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，直线、相交于点于点O，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，由垂直的定义得到，再利用角的和差和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式19-1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可． 【详解】解：用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线， ∴D选项的画法正确， 故选：D． 【变式19-2】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义及比例的应用，根据题目中的条件，利用角度比例关系和角平分线的性质，计算出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式19-3】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先根据平角求出，再由角平分线得，最后结合直角，用减去与的关系求出． （2）仿照（1）的思路，把用表示，重复上述步骤，用含的代数式表示． 【详解】（1）解： 是直线上一点， 平分 ； （2）解： 是直线上一点， 平分 ． 【题型20 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例20】（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的性质，关键是掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：依题意，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上， ∴其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式20-1】如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点，并折出过点且与垂直的直线，能折出这样的直线的条数为(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 【答案】B  【分析】本题考查垂线的基本性质，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断． 根据垂线的性质，这样的直线只能作一条． 【详解】过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直， 这样的直线只有条． 故选B． 【变式20-2】如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C  【详解】解：由题意可知， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式20-3】经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】解： 在同一平面内，经过直线上一点画的垂线，这样的垂线能画出条 在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，这样的垂线能画出条．  【详解】本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握过平面内一点，有且只有一条直线垂直于已知直线． 【题型21 垂线段最短】 【例21】（24-25七年级下·河南南阳·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ）    A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜， 其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故选：C． 【变式21-1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键 ．利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短 ． 【变式21-2】（24-25七年级下·云南红河·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．建筑工人砌墙 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线，不符合题意； B、建筑工人砌墙用到的是两点确定一条直线，不符合题意； C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意； 故选：C． 【变式21-3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 【题型22 点到直线的距离】 【例22】（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 【变式22-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，， ∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度． 故选：C． 【变式22-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 【变式22-3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离定义：“点到直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离”，得出点到距离的是线段的长度，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到距离的是线段的长度． 故选：D． 【题型23 同位角、内错角、同旁内角】 【例23】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案． 【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意； B、和是对顶角，故不符合题意； C、和是同旁内角，故不符合题意 D、和是内错角，故不符合题意； 故选 ：A． 【变式23-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ． 【答案】 【分析】本题考查同旁内角和内错角，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同旁内角和内错角定义判断即可． 【详解】解：（1）当直线、被直线所截时，的同旁内角是， 当直线、被直线所截时，的同旁内角是， 故答案为：； （2）当直线、被直线所截时，的内错角是， 当直线、被直线所截时，的内错角是， 故答案为：． 【变式23-2】如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 图中共有对同旁内角， 故答案为： 【变式23-3】如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角、内错角、同旁内角都是两直线被第三条直线所截形成的具有特殊位置关系的角，解决本题的关键是判断这两个角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的． 【详解】解：A选项：与是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，故A选项判断正确，不符合题意； B选项：与是直线和直线被直线所截形成的内错角，故B选项判断正确，不符合题意； C选项：与是直线和直线被直线所截形成的同位角，故C选项判断正确，不符合题意； D选项：与不是两直线被第三条直线所截形成的有特殊位置关系的角，故D选项判断错误，符合题意． 故选：D． 【题型24 平行线及其画法】 【例24】在同一平面内，两条直线的位置关系是（   ） A．平行和垂直 B．平行和相交 C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交 【答案】B 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，根据在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交， 故选：B． 【变式24-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 【变式24-2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 【变式24-3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 【题型25 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 【例25】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 【变式25-1】如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． 根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条， 图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条． 故选：C． 【变式25-2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条， ∴， ∴， 故选：B． 【变式25-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解答即可，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【题型26 同位角相等，两直线平行】 【例26】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【变式26-1】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）下列图形中，由，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定对题目中的各个选项逐一进行判断即可得出答案 【详解】解：对于选项A， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 因此不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项B， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 因此不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项C， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项D， 图中的和是，被直线所截得到的一组同位角， ∴当∠1=∠2时，可以判断（同位角相等，两直线平行）， 故该选项符合题意． 故选：D． 【变式26-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 【答案】对顶角相等；；；；同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：因为（对顶角相等） （已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【变式26-3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 【答案】；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了垂线的性质、等角的余角相等及平行线的判定，解题的关键是通过垂线定义和已知角的关系推导出同位角（或内错角）相等，进而证明两直线平行． 根据垂线的定义得出，分解该角得到与（即的和为；结合已知，利用等角的余角相等得到；最后根据同位角相等判定两直线平行． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂线的定义），即． 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案依次为：；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【题型27 内错角相等，两直线平行】 【例27】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 【变式27-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键； 由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：, 要使木条，由内错角相等，两直线平行得： 当时，． 故答案为：． 【变式27-2】（25-26八年级上·河南开封·期中）已知：如图，，，，求证：    【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据三角形内角和定理得，又因为，得出，故，即可证明． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【变式27-3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查垂直的定义及平行线的判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：∵、分别垂直于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型28 同旁内角互补，两直线平行】 【例28】（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式28-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式28-2】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行， 如图所示： 当，则与第1次平行， 依题意， ∴ 解得， 故答案为： 【变式28-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【题型29 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 【例29】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【答案】互余，理由见详解 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余． 【详解】解：与互余，理由如下： 如图，作, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余． 【变式29-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，垂线，利用，，求出，利用，，得出，结合，求出，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式29-2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过作，可得，进而根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式29-3】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 【题型30 两直线平行，同位角相等】 【例30】（25-26九年级上·云南·阶段练习）如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，先根据对顶角相等得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：B． 【变式30-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线及垂线的性质；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式30-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式30-3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【答案】， 【分析】本题主要考查平行线的性质，由，推出，再根据，推出的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型31 两直线平行，内错角相等】 【例31】（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，交直线b于点C．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，根据垂线的定义得，再结合两直线平行，内错角相等，故，然后列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式31-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式31-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． 根据折叠的性质和邻补角的定义求得的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由折叠的性质知：． ∵，， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 【变式31-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明： ，， ，， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 【题型32 两直线平行，同旁内角互补】 【例32】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向． (1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据可求出，结合可得出； （2）根据三角形内角和定理可求出． 【详解】（1）解：根据题意，得，，，． ∴． ， ∴． （2）解：∵， ， ∴． 【变式32-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键． 根据由平行线的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、无法判断和关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式32-2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 【变式32-3】如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【题型33 （正）多边形】 【例33】（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 【变式33-1】下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解：正多边形的各条边都相等，各个角都相等，A，B正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，C正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故D错误． 故选：D． 【变式33-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式33-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【题型34 多边形的对角线】 【例34】（25-26七年级上·重庆·期中）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线．n边形（）从一个顶点可以做条对角线． 将代入计算即得． 【详解】解：从七边形的一个顶点可引出的对角线的条数有条． 故选：C． 【变式34-1】若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：5． 【变式34-2】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成4个三角形，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系． 根据从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把一个n边形分割成个三角形的规律作答． 【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成个三角形， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式34-3】过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 【题型35 多边形的内角与外角】 【例35】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，请用所学的多边形的知识探索正九边形的内角的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和的探究，从正九边形的一个顶点出发，引出的对角线将该正九边形分成7个三角形，根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，从正九边形的顶点A出发，引出的对角线将该正九边形分成7个三角形，这七个三角形的内角和为，于是正九边形的内角和为， 所以正九边形的每一个内角为， 【变式35-1】一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的每一个外角等于 度． 【答案】 【分析】根据正多边形的性质、补角的定义即可得． 【详解】因正多边形的每个内角都相等 则其每一个外角也都相等，且与每一个内角互补 即每一个外角为 故答案为：72． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、补角的定义，熟记正多边形的性质是解题关键． 【变式35-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，设正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的一个内角为，即可得出方程，解方程得出外角度数，从而即可得出边数． 【详解】解：设正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的一个内角为， 根据题意得：， 解得：， ∴这个多边形的一个外角为， 故选：B． 【变式35-3】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若一个正多边形的每个内角都与其相邻外角度数相等，则这个正多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形内角和与外角和综合问题， 设正多边形的内角度数为x，其外角的度数为y，根据题意得出，然后再用多边形外角和为除以即可求出这个正多边形的边数． 【详解】解：设正多边形的一个内角度数为x，其外角的度数为y， 根据题意可知：， 解得：， ∵多边形外角和为， ∴， 则这个正多边形的边数为4， 故选：A 【能力提升】 【题型36 直线相交的交点个数问题】 【例36】若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直线与直线的交点问题． 根据直线与直线的位置关系，列出所有情况判断即可． 【详解】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，a的最大取值为6， 故选D． 【变式36-1】若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分． 【答案】8或9． 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】如图， 或 所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 8或9个部分． 故答案为：8或9． 【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题． 【变式36-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【变式36-3】平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【答案】(1)图见解析，有6个 (2)见解析 (3)见解析 (4)①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多 【分析】（1）画出满足条件的图形即可； （2）根据题意画出与解析（1）交点个数不同的图形即可； （3）根据题意要求画出交点个数分别为6，21，15的图形即可； （4）从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出，从画出的图形中归纳规律即可得到答案． 【详解】（1）解：解：如图1所示；交点共有6个， （2）解：如图2，3所示： （3）解：当时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4所示： 当时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5所示： 当时，如图6所示． （4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律： ①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少， ②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多． 【点睛】本题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律． 【题型37 线段的应用】 【例37】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 【变式37-1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．    【答案】6 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA ∴发出警报的点P最多有6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类． 【变式37-2】往返于成都、重庆两地的高铁列车，若中途停靠简阳、内江和永川站，则有（ ）种不同票价，要准备（ ）种车票． A．7、14 B．8、16 C．9、18 D．10、20 【答案】D 【详解】设成都、重庆、简阳、内江和永川站分别为A， B， C， D， E. 根据线段的定义，可知图中线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共10条, ∴有10种不同的票价. ∵车票需要考虑方向性，如，“AarrowC”与“CarrowA”票价相同，但车票不同， ∴需要准备20种车票. 故选D. 【变式37-3】如图，点，，在线段上． （1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路． （2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？ 【答案】（1）10，思路见解析；（2）28 【分析】(1)从左向右依次固定一个端点A，B，C，D找出线段，最后求和即可； (2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，根据数线段的特点列出式子化简即可，把8位同学看作直线上的8个点即可得出结果． 【详解】解：(1) 共有10条线段， 以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD、AE， 以点B为左端点向右的线段有线段BC、BD、BE， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CE， 以点D为左端点的线段有线段DE， 共有10条线段； (2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则 倒序排列有， 两式相加得=， 把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行场比赛． 【点睛】本题考查的是线段的计数问题，主要是数线段的技巧和方法，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 【题型38 线段n等分点的有关计算】 【例38】如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查选段的和差运算，线段中点的定义，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； (1)根据线段的比，可设，则，，由求出的值即可； (2)根据线段的比，可设，则，，再根据线段中点的定义得出，由列方程求出的值，再根据进行计算即可. 本题考查两点间的距离， 【详解】（1）解：由于，可设，则，， ∴， ∴， ，，， 是线段的中点， ， ； （2）由于，可设，则，， 是线段的中点， ， ， ，即， 解得， ． 【变式38-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式38-2】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 【变式38-3】如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（　　） A．AB＝4AC B．CE＝AB C．AE＝AB D．AD＝CB 【答案】D 【分析】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB，即可知A、B、C均正确，则可求解 【详解】由C，D，E是线段AB的四等分点，得AC＝CD＝DE＝EB＝AB， 选项A，AC＝AB⇒AB＝4AC，选项正确 选项B，CE＝2CD⇒CE＝AB，选项正确 选项C，AE＝3AC⇒AE＝AB，选项正确 选项D，因为AD＝2AC，CB＝3AC，所以，选项错误 故选D． 【点睛】此题考查的是线段的等分，能理解题中：C，D，E是线段AB的四等分点即为AC＝CD＝DE＝EB＝AB，是解此题的关键 【题型39 探究线段之间的数量关系】 【例39】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点A、B在电线上，，．若将电线在点A处折叠，使点O、B分别落在点、处，则用老虎钳在点处剪断后，电线剪成的三段中，最短的电线与最长的电线长度比是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），比的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 设，根据已知条件得到，，求得，得到．．，，于是得到结论． 【详解】解：设， ，， ， ， ，， 最短的电线与最长的电线长度比是， 故选：D． 【变式39-1】（24-25七年级下·湖南株洲·开学考试）如图1，是一条拉直的细绳，C和D两点在上，且．若将点C固定，将折向，使得重叠在上（如图2），再沿点D剪断，使细绳分成三条，则分成的三条细绳的长度由小到大之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．设对折后点D关于C点对称处为，被剪断两处分别是点D和，剪开的三段细绳依次是、、，根据题意，可得，；根据，可得，，，根据对折性质，，把、、的长度写成关于的值，比较大小后代入计算即可． 【详解】解：设对折后点D关于C点对称处为，被剪断两处分别是点D和，剪开的三段细绳依次是、、， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ∴． ∴． 故选：D． 【变式39-2】如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查线段的和差关系．先根据线段的定义写出所有的线段，再分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点C为线段的中点，D为线段上一点，且， ∴，， ∵， ∴点P在线段的延长线上或点P在线段的延长线上， 如图：当点P在线段的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图：当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式39-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 【题型40 三角板中角度计算问题】 【例40】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角的特点可得，再由角的和差关系求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式40-1】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得：，即可求解； 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； 故选：A 【变式40-2】（25-26八年级上·广东江门·月考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查的是三角尺角度的有关计算，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式40-3】（24-25六年级下·山东泰安·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、一元一次方程的应用，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． （1）由图可得，结合，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数； （2）由图可知，，得出，再由，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：由图可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【题型41 几何图形中角度计算问题】 【例41】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)的度数为 【分析】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据的度数和的度数可以得到的度数； （3）根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到的度数． 【详解】（1）解：，， ,， 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ， ， ， ， 即的度数为． 【变式41-1】已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 【变式41-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 【变式41-3】定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 【题型42 角n等分线的有关计算】 【例42】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式42-1】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【变式42-2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式42-3】如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【题型43 同角（等角）的余角相等】 【例43】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 【变式43-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的性质，掌握同角的余角相等或等角的余角也相等成为解题的关键． 若，根据余角的性质可知，结合的度数即可解答． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式43-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了余角，解题的关键是利用了同角的余角相等的性质． 根据同角的余角相等可得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式43-3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 【题型44 同角（等角）的补角相等】 【例44】（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东的方向上．同时，在它北偏东、南偏西方向上分别发现了客轮和货轮． (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮，货轮方向的射线． (2)若海岛在射线的反向延长线上．画出海岛方向的射线．依照表示灯塔方位的方法，海岛在货轮的______方向上．与的数量关系为______．依据补角的性质为______． (3)请判断射线是否为的角平分线？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，同角的补角相等； (3)是，见解析 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，可得答案； （2）根据题意画出图形，利用补角的关系，可得与的数量关系． （3）根据即可得到射线是的角平分线． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图：D在O南偏西方向上． ∵，， ∴（同角的补角相等） 故答案为：，，同角的补角相等； （3）∵，, ∴， 即射线为的角平分线． 【变式44-1】如图，直线、相交于点，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，同角的补角相等，根据补角的定义，同角的补角相等即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式44-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ． 【答案】 同角的补角相等 【分析】此题考查了补角的性质．根据同角的补角相等进行解答即可． 【详解】解：若与互补，与互补，则，用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是同角的补角相等． 故答案为：，，同角的补角相等 【变式44-3】如图，、交于点O． (1)可得到结论：，依据是：______（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； (2)若，的余角是的2倍，求； (3)在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了补角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用： （1）根据同角的补角相等，即可得到答案； （2）设，则，根据题意列出方程，进而可得，由对顶角相等，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：当在内时，当在内时，根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，判断依据是：同角的补角相等， 故答案为：①； （2）解：设，则， 由题意得：， 解得：，即， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，，， ， 设，， 当在内时， ， ， 即， 解得：， ； 当在内时， ， ， 即， 解得：， 综上， 或， 故答案为：或． 【题型45 与对顶角有关的计算与证明】 【例45】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【答案】 36 【分析】本题考查了对顶角的性质与角的和差计算，解题的关键是利用对顶角相等、角平分线定义及平角性质求解角度． （1）利用对顶角相等，将角度单位换算后求解； （2）先根据比例和平角求出，再由角平分线得，最后利用对顶角相等求解． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式45-1】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求及的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算、对顶角相等、角平分线的定义，由题意结合对顶角相等可得，从而可得，再求出的度数，最后再由角平分线的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴． 【变式45-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点O，平分，且，射线在内部．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义求，由可求解，结合，利用角的和差可求解的度数． 【详解】解：，平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式45-3】如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 【题型46 与垂线有关的计算与证明】 【例46】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平角的定义及比例的应用，根据题目中的条件，利用角度比例关系和角平分线的性质，计算出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式46-1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先根据平角求出，再由角平分线得，最后结合直角，用减去与的关系求出． （2）仿照（1）的思路，把用表示，重复上述步骤，用含的代数式表示． 【详解】（1）解： 是直线上一点， 平分 ； （2）解： 是直线上一点， 平分 ． 【变式46-2】如图，交于点O，平分，且，，求的度数． 【答案】115度 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据垂直得到，平角的定义得到，，，结合平分，进行等量代换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式46-3】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 【题型47 利用平行线的判定与性质求角度】 【例47】如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【变式47-1】已知：如图， (1)和平行吗？为什么？ (2)的度数是多少？为什么？ 【答案】(1)和平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质为解题关键． （1）根据对顶角相等得到，再根据等量代换得到，利用同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据邻补角求出的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求解． 【详解】（1）解：和平行，理由如下： ，， ， ； （2）， ， ， ． 【变式47-2】如图：分别平分 (1)若，求的度数 (2)若，那么吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）求出，根据得到，即可得到答案； （2）证明，根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵分别平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2），理由如下： ∵分别平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式47-3】如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2)∠ (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再由平角的定义可得结论； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质可推出，据此可得答案； （3）①过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：过A点作， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【题型48 利用平行线的判定与性质证明】 【例48】如图，，与相交于点，，，分别平分和．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与角平分线的性质，灵活运用平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质得到角的等量关系，再结合角平分线定义推出同位角相等，进而依据同位角相等判定两直线平行． 【详解】解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ， ． 【变式48-1】如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：，（_____），（_____）， （_____），_____， ，_____， （_____），（_____）， ，，，（_____）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：，（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （垂直的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义． 【变式48-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 【变式48-3】（24-25七年级下·海南海口·期中）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据可得出答案； （2）先根据得，再根据得，由此可判定与的位置关系； （3）根据角平分线的定义设，，则，，再根据得，，，则，，据此可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： ∵平分，平分， ∴设，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【思维拓展】 【题型49 实际问题中角度计算问题】 【例49】（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式49-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【答案】/69度 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式49-2】如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论： ①； ②若射线经过刻度，则与互补； ③若，则射线经过刻度45． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由==36°，得，即可判断①，由=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°，即可判断②，由，得，进而得，即可判断③． 【详解】∵射线、分别经过刻度和，绕点逆时针方向旋转到， ∴==36°， ∵，， ∴， 故①正确； ∵射线经过刻度， ∴=117°-27°-36°=54°，=153°-27°=126°， ∴+=54°+126°=180°，即：与互补， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴射线经过刻度45． 故③正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查角的和差倍分关系以及补角的定义，掌握角的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键． 【变式49-3】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 【题型50 与线段有关的动点问题】 【例50】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 【答案】(1)18 (2)①2或②4或8或12 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据点的运动表示出点的位置以及列出方程是解题的关键． （1）根据相反数的定义求出点C对应的数，再根据两点间的距离求出和； （2）①求出P，Q表示的数，根据为的中点列出方程，解之即可；②分和两种情况，根据P，Q表示的数列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点对应的数分别为和，，两点对应的数互为相反数， ∴点对应的数为， ∴； （2）解：设点对应的数为，点对应的数为， 则：，， ①当时，，即：，解得：， 当时，，即：，解得：， 综上所述，的值为2或； ②当时， ∵， ∴， 解得：或， 当时， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 综上所述，的值为4或8或12． 【变式50-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【答案】(1)70 (2)40或60 (3)；100 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、列代数式、线段中点的定义、一元一次方程的应用，理解题意正确表示出数轴上的动点表示的数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）用分别表示出点、点表示的数，得出的长度，结合点、点相距个单位长度列出方程，求解方程即可得出的值； （3）利用线段中点的定义表示出点、点表示的数，得出线段的长度，再根据点与点重合即可求出对应的值． 【详解】（1）解：， 点表示的数是70． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ， 点、点相距个单位长度， ， ， 解得：或， 的值为40或60． （3）解：由（2）得，点表示的数为，点表示的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 当点与点重合时，，即， 解得：， 线段的长度为，当点与点重合时的值为100． 【变式50-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式50-3】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【题型51 旋转成动角的有关计算】 【例51】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 【变式51-1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 【变式51-2】已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 【变式51-3】（24-25七年级上·广西百色·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则称射线是射线关于的伴随线．例如，如图1，若，则称射线是射线关于的伴随线；若，则称射线是射线关于的伴随线． 【知识运用】如图2，． (1)若射线是射线关于的伴随线，则　　　； (2)若射线是射线关于的伴随线，射线是的角平分线，则的度数是　　　； (3)射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线． 【答案】(1) (2) (3)①26秒或34秒；②秒或25秒或秒或秒 【分析】本题主要考查新定义，角平分线的定义，几何中角的和差倍分的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示中角度的数量关系正确列式是关键． （1）根据题意得到，则，根据，则，即可求解； （2）结合（1）的计算得到，根据角平分线的定义得到，由，即可求解； （3）①当的度数是时，有两种可能：若在相遇之前，则；若在相遇之后，则，解方程即可；②若在相遇之前，有两种情况：射线是射线关于的伴随线；射线是射线关于的伴随线；若在相遇之后，有两种情况：射线是射线关于的伴随线；射线是射线关于的伴随线；根据伴随线的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示， 已知，射线是射线关于的伴随线， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示， 已知射线是射线关于的伴随线， ∴根据（1）的计算可得，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：25． （3）解：射线与重合时，（秒）， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， 解得； 若在相遇之后，则， 解得； 综上所述，当的值为26秒或34秒时，的度数是． ②如图1， 若在相遇之前，有两种情况： 射线是射线关于的伴随线，，即， 解得； 射线是射线关于的伴随线，，即， 解得； 如图2，若在相遇之后，有两种情况： 射线是射线关于的伴随线，，即， 解得； 射线是射线关于的伴随线，，即， 解得． 综上所述，当为秒或25秒或秒或秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线． 【题型52 平行线的性质在生活中的应用】 【例52】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 【变式52-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 【变式52-2】如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式52-3】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 【题型53 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 【例53】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【变式53-1】已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ， ， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴． 【变式53-2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 【变式53-3】已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【题型54 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 【例54】如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．    (1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数； (3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行． 【答案】(1) (2) (3)第5或17秒时，恰好与平行 【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解； （2）根据内错角相等，两直线平行判断出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答； （3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间旋转角速度计算即可得解． 【详解】（1）在中，； （2）， ， ； （3）如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中， ， 旋转角为， （秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中， ， 旋转角为， （秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观． 【变式54-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 【变式54-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】 ； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【变式54-3】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面图形的初步认识（举一反三讲义）全章题型归纳 【苏科版2024】 【基础巩固】 2 【题型1 直线、射线、线段】 2 【题型2 两点确定一条直线】 3 【题型3 两点之间线段最短】 4 【题型4 两点之间的距离】 4 【题型5 比较线段的长短】 5 【题型6 作一条线段等于已知线段】 6 【题型7 线段的中点】 7 【题型8 线段的和差】 7 【题型9 角的概念】 8 【题型10 钟面角】 9 【题型11 度分秒的换算】 9 【题型12 方向角】 10 【题型13 角的大小比较】 10 【题型14 角的平分线】 11 【题型15 角的计算】 12 【题型16 余角与补角】 14 【题型17 相交线】 14 【题型18 对顶角与对顶角相等】 15 【题型19 垂线的画法及相关计算】 16 【题型20 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 17 【题型21 垂线段最短】 18 【题型22 点到直线的距离】 19 【题型23 同位角、内错角、同旁内角】 20 【题型24 平行线及其画法】 21 【题型25 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 22 【题型26 同位角相等，两直线平行】 23 【题型27 内错角相等，两直线平行】 24 【题型28 同旁内角互补，两直线平行】 25 【题型29 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 26 【题型30 两直线平行，同位角相等】 27 【题型31 两直线平行，内错角相等】 28 【题型32 两直线平行，同旁内角互补】 29 【题型33 （正）多边形】 30 【题型34 多边形的对角线】 31 【题型35 多边形的内角与外角】 31 【能力提升】 31 【题型36 直线相交的交点个数问题】 31 【题型37 线段的应用】 32 【题型38 线段n等分点的有关计算】 33 【题型39 探究线段之间的数量关系】 34 【题型40 三角板中角度计算问题】 34 【题型41 几何图形中角度计算问题】 35 【题型42 角n等分线的有关计算】 37 【题型43 同角（等角）的余角相等】 37 【题型44 同角（等角）的补角相等】 38 【题型45 与对顶角有关的计算与证明】 39 【题型46 与垂线有关的计算与证明】 40 【题型47 利用平行线的判定与性质求角度】 41 【题型48 利用平行线的判定与性质证明】 43 【思维拓展】 44 【题型49 实际问题中角度计算问题】 44 【题型50 与线段有关的动点问题】 46 【题型51 旋转成动角的有关计算】 47 【题型52 平行线的性质在生活中的应用】 49 【题型53 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 50 【题型54 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 52 【基础巩固】 【题型1 直线、射线、线段】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知四点A、B、C、D，请按下列要求作图（保留画图痕迹） (1)画直线； (2)画射线； (3)连接，在线段上取点，使的值最小； (4)数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【变式1-1】在日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于 ．（填“折线”或“线段”或“射线”或“直线”） 【变式1-2】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【题型2 两点确定一条直线】 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【变式2-2】在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【变式2-3】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 【题型3 两点之间线段最短】 【例3】（24-25七年级上·福建福州·期末）下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【变式3-1】如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线比线段短 D．对角线最短 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是（    ）    A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段中点的定义 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【题型4 两点之间的距离】 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃白银·月考）如果线段，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式4-2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【题型5 比较线段的长短】 【例5】（24-25六年级上·上海·阶段练习）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【变式5-1】比较图中二人的身高，我们有 种方法．一种为直接用卷尺量出，另一种可以让两人站在一块平地上，再量出差．这两种方法都是把身高看成一条 ． 方法（1）是直接量出线段的 ，再作比较． 方法（2）是把两条线段的一端 ，再观察另一个 ． 【变式5-2】如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 【变式5-3】（24-25七年级上·河北承德·期末）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．如图所示，如果点是折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)当时，点在线段_____上； (2)当点与重合时，直接比较，的大小． (3)若为线段的中点，，，求的长度． 【题型6 作一条线段等于已知线段】 【例6】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）已知线段，，用尺规作一条线段，使得； 【变式6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，点在线段上． (1)尺规作图：在线段上，截取． (2)尺规作图：延长到点，使． 【变式6-3】（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 【题型7 线段的中点】 【例7】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． (1)求线段的长； (2)若点为线段上一点，且，求线段的长． 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式7-2】如图，线段，点C在线段上，点D是的中点，E是中点，，则线段的长为 ． 【变式7-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【题型8 线段的和差】 【例8】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，已知，两点把线段从左至右依次分成三部分，是的中点，，求线段的长． 【变式8-1】（24-25七年级上·全国·期末）将线段延长到，使，延长到，使，延长到，使，若，则 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【题型9 角的概念】 【例9】下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】把一个的角放在倍的放大镜下看，这个角是 度． 【变式9-2】（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【变式9-3】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角……照此规律，画2020条不同的射线，可以画出 个锐角． 【题型10 钟面角】 【例10】（24-25七年级上·吉林·期末）上午时，钟表的时针和分针所成锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）从下午到当天下午，时钟的分针转过的角度为 度． 【变式10-2】当一个挂钟走到4时12分的时候，时针与分针所成的较小的夹角是 度． 【变式10-3】如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【题型11 度分秒的换算】 【例11】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【变式11-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，某种齿轮每相邻两齿中心线间的夹角都相等，如果是一个15个齿的齿轮，则这个夹角的度数是；如果是一个22个齿的齿轮，则这个夹角的度数约为 ．（精确到分） 【题型12 方向角】 【例12】（24-25六年级上·上海·阶段练习）北偏西和南偏东所成的角是 ． 【变式12-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图中所示，只用方向和角度描述，学校在广场的 ． 【变式12-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式12-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一架飞机从某机场向北偏东方向飞行了千米，原路返回时要向（   ）方向飞行千米． A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏东 【题型13 角的大小比较】 【例13】对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【变式13-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【变式13-2】根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【变式13-3】如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【题型14 角的平分线】 【例14】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【变式14-1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，，是的平分线，则的度数为 ° 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【题型15 角的计算】 【例15】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【变式15-1】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【变式15-2】如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ． 【变式15-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【题型16 余角与补角】 【例16】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【变式16-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【变式16-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 ，的余角是 ． 【变式16-3】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型17 相交线】 【例17】（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【变式17-1】同一平面内两条直线若相交，则公共点的个数为 个． 【变式17-2】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【题型18 对顶角与对顶角相等】 【例18】如图，直线与直线相交于点O，其中的对顶角是（   ） A． B． C． D．和 【变式18-1】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【变式18-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ． 【变式18-3】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型19 垂线的画法及相关计算】 【例19】（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，直线、相交于点于点O，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【变式19-3】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【题型20 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例20】（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）如图，若，，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上，其理由是（   ） A．垂线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式20-1】如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点，并折出过点且与垂直的直线，能折出这样的直线的条数为(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条 【变式20-2】如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【变式20-3】经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【题型21 垂线段最短】 【例21】（24-25七年级下·河南南阳·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ）    A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式21-1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，小智同学的家在处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择路线，用几何知识解释其道理是 ． 【变式21-2】（24-25七年级下·云南红河·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活，我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．建筑工人砌墙 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【变式21-3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【题型22 点到直线的距离】 【例22】（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【变式22-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式22-3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（   ） A． B． C． D． 【题型23 同位角、内错角、同旁内角】 【例23】如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【变式23-1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，∠1的同旁内角是 ，∠2的内错角是 ． 【变式23-2】如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对． 【变式23-3】如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【题型24 平行线及其画法】 【例24】在同一平面内，两条直线的位置关系是（   ） A．平行和垂直 B．平行和相交 C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交 【变式24-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【变式24-2】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式24-3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【题型25 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行】 【例25】已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【变式25-1】如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式25-2】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【变式25-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，则点在同一直线上，理由是 ． 【题型26 同位角相等，两直线平行】 【例26】（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 【变式26-1】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）下列图形中，由，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式26-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（ ）， （已知）， 所以 （等量代换）， 所以 （ ，两直线平行） 【变式26-3】（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 【题型27 内错角相等，两直线平行】 【例27】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A． B． C． D． 【变式27-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【变式27-2】（25-26八年级上·河南开封·期中）已知：如图，，，，求证：    【变式27-3】如图，已知、分别垂直于，且，求证：． 【题型28 同旁内角互补，两直线平行】 【例28】（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【变式28-1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式28-2】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为 ． 【变式28-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【题型29 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行】 【例29】如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【变式29-1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出护眼灯．其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式29-2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图是某移动硬臂助力机械手示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成的角的度数为 ． 【变式29-3】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P在线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【题型30 两直线平行，同位角相等】 【例30】（25-26九年级上·云南·阶段练习）如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式30-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式30-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【变式30-3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【题型31 两直线平行，内错角相等】 【例31】（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，交直线b于点C．若，求的度数． 【变式31-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式31-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ． 【变式31-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型32 两直线平行，同旁内角互补】 【例32】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是A，B，C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B 岛的北偏东方向． (1)从B 岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)从C岛看A，B两岛的视角是多少度？ 【变式32-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式32-2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式32-3】如图，，，则的度数为 ． 【题型33 （正）多边形】 【例33】（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式33-1】下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【变式33-2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【变式33-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【题型34 多边形的对角线】 【例34】（25-26七年级上·重庆·期中）一个七边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式34-1】若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 【变式34-2】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成4个三角形，则 ． 【变式34-3】过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【题型35 多边形的内角与外角】 【例35】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，请用所学的多边形的知识探索正九边形的内角的大小． 【变式35-1】一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的每一个外角等于 度． 【变式35-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【变式35-3】（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若一个正多边形的每个内角都与其相邻外角度数相等，则这个正多边形的边数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【能力提升】 【题型36 直线相交的交点个数问题】 【例36】若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式36-1】若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 个部分． 【变式36-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【变式36-3】平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点． (1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数； (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）； (3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？ (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 【题型37 线段的应用】 【例37】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【变式37-1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．    【变式37-2】往返于成都、重庆两地的高铁列车，若中途停靠简阳、内江和永川站，则有（ ）种不同票价，要准备（ ）种车票． A．7、14 B．8、16 C．9、18 D．10、20 【变式37-3】如图，点，，在线段上． （1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路． （2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？ 【题型38 线段n等分点的有关计算】 【例38】如图，已知点，是线段上两点，，是线段的中点，点是线段的三等分点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式38-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【变式38-2】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【变式38-3】如图，C，D，E是线段AB的四等分点，下列等式不正确的是（　　） A．AB＝4AC B．CE＝AB C．AE＝AB D．AD＝CB 【题型39 探究线段之间的数量关系】 【例39】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知点A、B在电线上，，．若将电线在点A处折叠，使点O、B分别落在点、处，则用老虎钳在点处剪断后，电线剪成的三段中，最短的电线与最长的电线长度比是（  ） A． B． C． D． 【变式39-1】（24-25七年级下·湖南株洲·开学考试）如图1，是一条拉直的细绳，C和D两点在上，且．若将点C固定，将折向，使得重叠在上（如图2），再沿点D剪断，使细绳分成三条，则分成的三条细绳的长度由小到大之比为（   ） A． B． C． D． 【变式39-2】如图，线段的长为a，点C为线段的中点，D为线段上一点，且．图中共有 条线段；若P为直线上一点，且，则的值为 ． 【变式39-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【题型40 三角板中角度计算问题】 【例40】（24-25九年级上·江苏无锡·月考）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式40-1】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式40-2】（25-26八年级上·广东江门·月考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为 ． 【变式40-3】（24-25六年级下·山东泰安·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【题型41 几何图形中角度计算问题】 【例41】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【变式41-1】已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【变式41-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【变式41-3】定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【题型42 角n等分线的有关计算】 【例42】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式42-1】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【变式42-2】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式42-3】如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【题型43 同角（等角）的余角相等】 【例43】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式43-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ． 【变式43-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ． 【变式43-3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【题型44 同角（等角）的补角相等】 【例44】（24-25七年级上·河南开封·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东的方向上．同时，在它北偏东、南偏西方向上分别发现了客轮和货轮． (1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮，货轮方向的射线． (2)若海岛在射线的反向延长线上．画出海岛方向的射线．依照表示灯塔方位的方法，海岛在货轮的______方向上．与的数量关系为______．依据补角的性质为______． (3)请判断射线是否为的角平分线？并说明理由． 【变式44-1】如图，直线、相交于点，，那么 ． 【变式44-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ． 【变式44-3】如图，、交于点O． (1)可得到结论：，依据是：______（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； (2)若，的余角是的2倍，求； (3)在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 【题型45 与对顶角有关的计算与证明】 【例45】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，相交于点，平分． （1）若，则 °； （2）若，则 °． 【变式45-1】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求及的度数． 【变式45-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点O，平分，且，射线在内部．若，求的度数． 【变式45-3】如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【题型46 与垂线有关的计算与证明】 【例46】如图，直线、相交于点O，，平分，若，求、的度数． 【变式46-1】如图，已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【变式46-2】如图，交于点O，平分，且，，求的度数． 【变式46-3】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【题型47 利用平行线的判定与性质求角度】 【例47】如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【变式47-1】已知：如图， (1)和平行吗？为什么？ (2)的度数是多少？为什么？ 【变式47-2】如图：分别平分 (1)若，求的度数 (2)若，那么吗？请说明理由． 【变式47-3】如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【题型48 利用平行线的判定与性质证明】 【例48】如图，，与相交于点，，，分别平分和．试说明：． 【变式48-1】如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据． 证明：，（_____），（_____）， （_____），_____， ，_____， （_____），（_____）， ，，，（_____）． 【变式48-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【变式48-3】（24-25七年级下·海南海口·期中）如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【思维拓展】 【题型49 实际问题中角度计算问题】 【例49】（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【变式49-1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角 ． 【变式49-2】如图，把放置在量角器上，与量角器的中心重合，读得射线、分别经过刻度和，把绕点逆时针方向旋转到，下列结论： ①； ②若射线经过刻度，则与互补； ③若，则射线经过刻度45． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式49-3】如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【题型50 与线段有关的动点问题】 【例50】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知数轴上两点对应的数分别为和，两点对应的数互为相反数．    (1)求的长； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动．同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止，设运动时间为（秒）． ①问为何值时，为的中点？ ②当时，求的值． 【变式50-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【变式50-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式50-3】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【题型51 旋转成动角的有关计算】 【例51】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式51-1】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【变式51-2】已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【变式51-3】（24-25七年级上·广西百色·期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则称射线是射线关于的伴随线．例如，如图1，若，则称射线是射线关于的伴随线；若，则称射线是射线关于的伴随线． 【知识运用】如图2，． (1)若射线是射线关于的伴随线，则　　　； (2)若射线是射线关于的伴随线，射线是的角平分线，则的度数是　　　； (3)射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线． 【题型52 平行线的性质在生活中的应用】 【例52】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【变式52-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【变式52-2】如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【变式52-3】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【题型53 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 【例53】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【变式53-1】已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【变式53-2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【变式53-3】已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【题型54 平行线的判定与性质与分类讨论思想的综合运用】 【例54】如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．    (1)将图①中的三角板沿方向平移至图②的位置，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使，如图③，与相交于点，求的度数； (3)将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，恰好与平行． 【变式54-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【变式54-2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【变式54-3】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $