第6章 平面图形的初步认识（单元自测）数学新教材苏科版七年级上册

第6章 平面图形的初步认识 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法与如图的几何图形相符的是（ ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 3．下列各角中，一定不是钝角的是（ ） A．周角 B．平角 C．钝角 D．直角 4．如图，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．的系数是 B．是二次三项式 C．射线和射线是同一条射线 D．如果，那么C是线段的中点 6．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 7．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（ ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 8．如图，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，依此类推，10条直线相交，最多交点的个数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的是点________． 10．如图，学校的教学楼、图书馆、餐厅表示在平面图上的位置分别是点，若表示的方向是南偏东，，则表示的方向是________． 11．将一个含有的等腰直角三角板按如图所示放置，已知，则________． 12．如图，直线交于点O，若，射线平分，那么________． 13．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点、、；画射线，反向延长至点；画出的角平分线，则________．（结果用含的代数式表示） 14．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为________． 15．如图，是外部的一条射线，、分别平分、，则与的数量关系为________． 16．如图，点O为线段外一点，M，C，B，N为上任意四点，连接． 下列四个结论： ①以O为顶点的角共有15个； ②图中共有15条线段； ③若平分，平分，，则； ④若M为的中点，N为的中点，则． 其中正确的有________（填写序号）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）如图，一块三角板的直角顶点在直线上，若． （1）请用圆规和直尺在边上确定一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）基础上，计算的大小． 18．（6分）如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． （1）按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； （2）线段________的长度是点到直线的距离； （3）比较大小：________（填、或），理由：________． 19．（6分）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． （1）特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为________； ②若，求线段的长； （2）规律探索：如果，，则线段的长为________；（用含，的代数式表示，结果最简） （3）迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 20．（6分）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 21．（7分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． （1）找一格点 E，使得直线于点 F，画出直线，并注明垂足 F； （2）找一格点G， 使得直线， 画出直线； （3）连接， 则线段的大小关系是 （用“”连接）； （4）在图上找一格点 P，使得的面积与的面积相等（C点除外）． 22．（7分）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． （1）如图，若，求线段的长； （2）若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 23．（7分）如图，与相交于点，且，平分，且． （1）若，求的度数； （2）画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 24．（7分）已知：如图1，直线AB//CD，分别交，于，两点，，的平分线相交于点． 　　 （1）求的度数； （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线和线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念． 根据直线、射线和线段的概念求解可得． 【解析】A、表示的是射线，表示的是线段，表示的是直线，不符合题意； B、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，符合题意； C、表示的是直线，表示的是射线，表示的是射线，不符合题意； D、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，不符合题意． 故选B． 2．下列说法与如图的几何图形相符的是（ ） A．点在直线上 B．射线与射线为同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，角的表示方法，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段以及角的概念，结合图形，逐项分析判断即可得出答案． 【解析】A、点在直线上，不在直线上，故原说法错误，不符合题意； B、射线与射线为不同的射线，故原说法错误，不符合题意； C、不能表示为，故原说法错误，不符合题意； D、直线与直线为同一条直线，故原说法正确，符合题意； 故选D． 3．下列各角中，一定不是钝角的是（ ） A．周角 B．平角 C．钝角 D．直角 【答案】D 【分析】先算出每个选项角度取值，结合钝角大于小于判断． 【解析】周角为，平角为，直角为，钝角的范围是大于且小于； A、周角，为钝角，不符合题意； B、平角，为钝角，不符合题意； C、设钝角为，则，那么，可能为钝角，不符合题意； D、直角，是锐角，一定不是钝角，符合题意．故选D． 4．如图，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余的性质求出的度数，根据互补的概念求出的度数． 【解析】∵，， ∴， ∴．故选C． 5．下列说法正确的是（ ） A．的系数是 B．是二次三项式 C．射线和射线是同一条射线 D．如果，那么C是线段的中点 【答案】B 【分析】本题需根据单项式系数、多项式的定义、射线的定义、线段中点的定义，逐一分析各选项的正误． 【解析】∵单项式的数字因数是， ∴其系数为，故A错误； ∵多项式的最高次项次数为2，且共有3项， ∴它是二次三项式，故B正确； ∵射线的端点是A，射线的端点是B，端点不同，不是同一条射线，故C错误； ∵当点C不在线段上时，即使，C也不是线段的中点，故D错误； 故选B． 6．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【解析】∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选C. 7．若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，则关于可以画的直线条数，下列说法中错误的是（ ） A．可能画1条 B．可能画3条 C．可能画4条 D．可能画6条 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线， 根据四个点的位置关系讨论直线条数：当所有点共线时可画1条；当三个点共线另一个点不共线时可画4条；当没有三个点共线时可画6条，即可判断． 【解析】∵ 四点共线时，过任意两点画直线，所有点均在一条直线上， ∴ 只能画1条直线； ∵ 有三点共线，第四点不在此直线上时，共线三点确定一条直线，第四点与共线三点各确定一条直线， ∴ 共可画4条直线； ∵ 任意三点不共线时，每两点确定一条直线， ∴ 可画6条直线； 综上，无法画出3条直线， 故选B． 8．如图，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，依此类推，10条直线相交，最多交点的个数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 先找出规律，进而作答即可． 【解析】 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即； ……； ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）； ∴当时，最多有个交点． 故选B． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的是点________． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的表示等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据学校教学楼的位置及图书馆在教学楼南偏东的方向上求解即可． 【解析】因为点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东的方向上， 所以图中最有可能表示图书馆位置的是D点， 故答案为D． 10．如图，学校的教学楼、图书馆、餐厅表示在平面图上的位置分别是点，若表示的方向是南偏东，，则表示的方向是________． 【答案】北偏东 【分析】本题考查了与方向角有关的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 由题意得，，再由求解的度数，即可表示表示的方向． 【解析】如图： 由题意得，， ∴， ∴表示的方向是北偏东 故答案为北偏东． 11．将一个含有的等腰直角三角板按如图所示放置，已知，则________． 【答案】114 【分析】本题考查了三角板的角度计算、补角和余角的相关计算，掌握以上知识点是解题的关键． 先求出的度数，再根据补角的定义即可求解． 【解析】由题意可得，，， ， ， 故答案为114． 12．如图，直线交于点O，若，射线平分，那么________． 【答案】（或度） 【分析】本题考查角的和差，补角定义，与角平分线有关的计算，根据补角定义得到，利用角的和差关系以及角平分线的定义，求出的度数，再根据补角的定义，求出的度数即可． 【解析】如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为． 13．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点、、；画射线，反向延长至点；画出的角平分线，则________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，据此根据平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【解析】如图所示，作射线， 由作图方法可知，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为． 14．如图， 点， ， ，在同一条直线上，，点为线段中点， 点为线段中点．则线段，，之间的关系为________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差运算，设，，得出，，根据中点的定义可得，，再进一步求解即可．掌握线段的中点的含义是解题的关键． 【解析】设，， ∵点， ， ，在同一条直线上，， ∴， ∴， ∵点为线段中点， 点为线段中点， ∴，， ∴ ， ∴线段，，之间的关系为． 故答案为． 15．如图，是外部的一条射线，、分别平分、，则与的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线得到，，最后根据求解即可． 【解析】∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 16．如图，点O为线段外一点，M，C，B，N为上任意四点，连接． 下列四个结论： ①以O为顶点的角共有15个； ②图中共有15条线段； ③若平分，平分，，则； ④若M为的中点，N为的中点，则． 其中正确的有________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角和线段的相关知识，正确判断角以及不同的角之间的关系成为解题的关键．在①中，握手定理求出以O为顶点的角的个数．在②中，利用线段的定义数出线段的数量即可判断；在③中，由平分，平分，可设，再换算即可．在④中，由M为的中点，N为的中点，得，再换算即可． 【解析】在①中，以O为顶点的角共有个，故①正确． 在②中，在线段上，有线段条，在线段上方，有线段条，则共有条，故②错误； 在③中，如图，由平分，平分， 可设， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，故③正确； 在④中，∵M为的中点，N为的中点， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的①③④， 故答案为①③④． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6分）如图，一块三角板的直角顶点在直线上，若． （1）请用圆规和直尺在边上确定一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）基础上，计算的大小． 【答案】（1） 如图，点为所求作的点． （2） 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，角度的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意作一个角等于已知角即可； （2）根据图形求解即可． 【解析】（1）略 （2）由题意得，． 18．（6分）如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． （1）按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； （2）线段________的长度是点到直线的距离； （3）比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】（1）解：如图，，，，即为所求； （2） （3）；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 19．（6分）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． （1）特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为________； ②若，求线段的长； （2）规律探索：如果，，则线段的长为________；（用含，的代数式表示，结果最简） （3）迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】（1）①6；②5 （2） （3）①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【解析】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 20．（6分）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【解析】（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 21．（7分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． （1）找一格点 E，使得直线于点 F，画出直线，并注明垂足 F； （2）找一格点G， 使得直线， 画出直线； （3）连接， 则线段的大小关系是 （用“”连接）； （4）在图上找一格点 P，使得的面积与的面积相等（C点除外）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） （4） 如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，画垂线，垂线段最短，画直线等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，作直线交延长线于点F，根据网格的特点可得； （2）取格点B，作直线，根据网格的特点可得， （3）根据垂线段最短即可得到答案； （4）取格点P，连接，根据网格的特点可得，则的面积与的面积相等． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴； （4）略 22．（7分）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． （1）如图，若，求线段的长； （2）若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】（1）线段的长为； （2）线段的长为或． 【分析】本题主要考查线段的和差及中点的性质，熟练掌握线段的和差及中点的性质是解题的关键． （1）根据线段的和差得到，再结合是线段的中点求出，最后根据求解即可； （2）分类讨论：①当点D在上时，根据线段的和差得到，再结合是线段的中点求出，最后根据求解即可；②当点在延长线上时，根据线段的和差得到，再结合是线段的中点求出，最后根据求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； ∴线段的长为； （2）①当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； ②当点在延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 综上所述：线段的长为或． 23．（7分）如图，与相交于点，且，平分，且． （1）若，求的度数； （2）画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）略 24．（7分）已知：如图1，直线AB//CD，分别交，于，两点，，的平分线相交于点． 　　 （1）求的度数； （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）90° （2）∠M1=∠M．证明见解析 （3）（ ）2021×90° 【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可； （2）结论：∠M1=∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题； （3）探究规律，利用规律解决问题即可． 【解析】（1）解：如图1中， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M， ∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE， ∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°， ∴∠M=180°-90°=90°； （2）结论：∠M1=∠M． 理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB． ∵AB∥CD，M1J∥AB， ∴M1J∥CD， ∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1， ∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM， ∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1 ∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°； 所以∠EM1F=∠M． （3）由（2）可知，∠M1=×90°， 同法可知，∠M2=∠M1=∠M， •••， ∠Mn=（ ）n×90°， 当n=2021时，∠M2021=（ ）2021×90°． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $