第六章 平面图形的初步认识（举一反三单元测试·拔尖卷）数学苏科版2024七年级上册

第六章 平面图形的初步认识·拔尖卷 【苏科版2024】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知，，，，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠，交于点，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知，，、分别为的角平分线， 则下列说法正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 12．如图，已知线段，点C、D分别是线段上的两点，且满足，点K是线段的中点，则线段的长为 ． 13．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则∠2的度数为 ． 14．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 15．如图，，平分，，，．则 ． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 18．（6分）（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 19．（8分）（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 20．（8分）（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 21．（10分）（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 22．（10分）（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 23．（12分）（24-25七年级上·天津·期末）已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，边在直线的两侧： (1)如图1，作射线平分，射线平分，补全图形，并求出的度数． (2)保持不动，将绕点旋转至如图2所示的位置，则 ①___________°（度）（直接写答案） ②___________°（度）（直接写答案） (3)若按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转分钟，计算．请画出图形并直接写出对应的结果（用含的代数式表示）． 24．（12分）（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面图形的初步认识·拔尖卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、 ， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，求出的度数是解决问题的关键；首先根据垂线的定义和已知条件求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． 分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：当点落在点的左侧时，如图， ，， ， 由折叠的性质得，，， ， ； 当点落在点的右侧时，如图， ， ， ， 综上所述，当时，的长为或． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知，，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质． 结合已知条件根据平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，延长交于点S，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠，交于点，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．先由平行线的性质得到，则，再根据折叠的性质，得到图②中，用求解即可． 【详解】解：∵图（1）中的纸带是长方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 由折叠的性质得：图（2）中， ∴； 故选：B． 8．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线、分别绕点，点以2度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间的值为多少时，与平行．（   ） A．5秒 B．秒 C．5或秒 D．5或秒 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．分情况讨论：①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：当与在的两侧时，如图， ，， ，， 要使，则， 即， 解得：； 此时， ； 当旋转到与都在的上方时，如图②， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， ， 秒的情形不存在，此时、、在一条直线上，不符合题意； 当旋转到与都在的下方时，如图， ，， 要使，则， 即， 解得：， 此时， 而， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为5秒时，与平行． 故选：A． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 10．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知，，、分别为的角平分线， 则下列说法正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得 ，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个，①③④ 故选D． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【答案】216 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案． 【详解】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴， 解得，； n边形没有对角线，； ∵五边形有p条对角线， ∴， 所以． 故答案为：216． 12．如图，已知线段，点C、D分别是线段上的两点，且满足，点K是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离． 根据线段的比例，可用x表示，，，根据线段的和差，可得关于x的方程，解方程可得x的值，再根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】∵， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点K是线段的中点． ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则∠2的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，   ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 15．如图，，平分，，，．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点分别作的平行线，，设，则，根据平行线的性质，分别求得，根据，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的平行线，， ∵平分， ∴ 设，则 ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【答案】(1) (2)①；②12或14 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，分类讨论是解题的关键． （1）根据得到，即可求出的长； （2）①由中点的定义得到，则．由得到；②分两种情况讨论：点F在点C的左侧和点F在点C的右侧，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵D为的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②分两种情况讨论： （ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为12或14． 18．（6分）（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 19．（8分）（24-25七年级下·广东湛江·阶段练习）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，，进而得，再根据角的和差关系即可求解； （）由（）得，，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 20．（8分）（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可） (2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了线段的和差及中点，路程问题，列一元一次方程解决几何问题，动点问题，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）根据中点的性质和线段的倍数关系求出线段的长度，然后根据速度公式进行求解即可； （2）根据题意，分两种情况进行讨论，即当点运动时和停止时，进行列方程求解即可； （3）根据动点分三种情况进行讨论，根据线段中点得出相等的线段，令，则，利用线段的和差表示出相关线段，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，， ∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点， ∴， ∴，， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，， ∴， 根据题意得， ① 解得， ，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ② 解得， ∵， 该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F， ∴， 令，则， ∴， ， ， ， ∴； 综上，． 21．（10分）（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 23．（12分）（24-25七年级上·天津·期末）已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，边在直线的两侧： (1)如图1，作射线平分，射线平分，补全图形，并求出的度数． (2)保持不动，将绕点旋转至如图2所示的位置，则 ①___________°（度）（直接写答案） ②___________°（度）（直接写答案） (3)若按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转分钟，计算．请画出图形并直接写出对应的结果（用含的代数式表示）． 【答案】(1)补图见解析， (2)150；30 (3)或 【分析】（1）补全图形，根据角平分线定义与角的和计算； （2）①将拆分、转化为即可得；②依据、，将原式拆分、转化为计算可得； （3）设运动时间为t分钟，，，分、和表示出即可得出答案； 【详解】（1）解：如图，作出的平分线，的平分线， ∵， 且平分，平分， ∴， ∵、边重合在直线上， ∴； （2）解： ； ． 故答案为：150；30． （3）解：∵按每分钟的速度绕点逆时针方向旋转， 按每分钟的速度也绕点逆时针方向旋转， 旋转分钟， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 综上，或． 24．（12分）（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则 ，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3） 分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $