精品解析：浙江省湖州市部分学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025－2026学年第一学期期末模拟检测 九年级数学试卷 满分：100分时间：90分钟 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题目要求．每题3分，共30分） 1. 下列图形中，中心对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答． 【详解】解：第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形. 综上所述，是中心对称图形的有3个. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的定义. 2. 一个游戏转盘如图所示，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为，，，．转动转盘，当其停止转动后，指针落在哪个区域的可能性最大（ ） A. 甲扇形 B. 乙扇形 C. 丙扇形 D. 丁扇形 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得指针落在每块区域的可能性，即可求解． 【详解】解：由概率的性质可得：落在甲、乙、丙、丁四块区域的可能性分别为， ∵ ∴指针落在丁区域的可能性最大 故选D 【点睛】此题考查了概率的求解，掌握概率的求解公式是解题的关键． 3. 小明用若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，由此可知，搭成这个几何体的小正方体最多有（ ） A. 13个 B. 12个 C. 11个 D. 10个 【答案】A 【解析】 【分析】根据这个几何体的三视图进行分析即可得到答案． 【详解】解：如图所示，方格内的数字表示在此处可以摆放最多的小正方体个数， ∴一共可以摆放的小正方体个数最多为3+2+3+2+2+1=13， 故选A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，理解三视图的意义是解题的关键． 4. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. a≠0 B. a≠3 C. a≠1且b≠﹣1 D. a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 5. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据绝对值的意义将整理为， 根据图象与轴有四个不同的公共点得到判别式，代入列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由题意得，且当时，， 即， 解得：． 故选：． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 6. 二次函数y＝x2＋2bx＋4c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2－x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值为m，则m与b，c的数量关系是（ ） A. m＝1＋2b＋4c B. m＝4＋4b＋4c C. m＝9＋6b＋4c D. m＝－b2＋4c 【答案】C 【解析】 【分析】据，，得到，从而求出二次函数对称轴，得出当时，x=3取最小值，从而求出m与b、c的关系式． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，， ∴二次函数对称轴， ∵二次函数a=1＞0， ∴二次函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，x=3取最小值， 则， 故选C． 【点睛】本题是对二次函数知识的考查，熟练掌握二次函数的性质定理是解决本题的关键，难度适中. 7. 如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可知，再根据可知，由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰直角三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键． 8. 如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中,解题即可． 【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是， ∵过点的反比例函数解析式为 ∴ 随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。 经过点的直线解析式设为，代入得 ，解得， ∴, 由 得,根据,得 综上可知 故答案为: ． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点． 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到EF∥AB，FG∥BC，进而得出△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵, ∴， ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O， ∴EF∥AB，FG∥BC， ∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 10. 如图，四边形ABCD是正方形，过点A，B的圆O与射线AD交于点E，过点C的直径与射线AD交于点F，若，则tan∠CFD等于（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】分点F在线段AD上和点F在线段AD延长线上两种情况，连接BE，可得BE为直径，证△BCO≌EFO，得出EF=BC=CD，即可求三角函数值． 【详解】解：如图，点F在线段AD上，连接BE， ∵∠A=90°， ∴BE为圆O的直径，经过圆心O， ∵BC∥AD， ∴∠CBO=∠FEO，∠BCO=∠EFO， ∵OB=OE， ∴△BCO≌EFO， ∴EF=BC， ∵， 设，则， ∵EF=BC=CD， ∴tan∠CFD=． 如图，点F在线段AD延长线上，连接BE， 同理可得，EF=BC，设，则， ∵EF=BC=CD， ∴tan∠CFD=． 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理和全等三角形判定于性质，解直角三角形，解题关键是通过连接直径，构造全等三角形，建立线段之间的关系． 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价198元/瓶，经过连续两次降价后，现仅售78元/瓶，假定两次降价的百分率相同，设该种药品平均每次降价的百分率为x，则列出的关于x方程为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据关系式：原价×(1－降价的百分率)=现价，可分别得到第一次降价后的价格及第二次降价后的价格，因而可得出方程． 【详解】第一次降价后的价格为：198(1－x)元，第二次降价后的价格为：198(1－x)(1－x)元，即元，则由题意可得方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键要掌握关系式：原价×(1－降价的百分率)=现价，一般地，连续n次降价，则为：原价×(1－降价的百分率)n =现价． 12. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． 13. 如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象过点A(1，3)，点B（点B在点A的右边），连接AB，AC与BC分别平行x轴、y轴，ABC的面积为，则点C的坐标为___． 【答案】(4，3) 【解析】 【分析】由点A（1，3）代入函数表达式得k＝3，设点B（a，），结合△ABC的面积为列出方程，求出a，得到点C． 【详解】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为y＝， 设点B（a，），则AC＝a﹣1，BC＝3﹣， ∵S△ABC＝， ∴（a﹣1）（3﹣）＝， 解得：a＝4或a＝ ， ∵点B在点A的右边， ∴a＝4， ∴点C的坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）． 【点睛】此题考查反比例函数综合试题，涉及三角形的面积及解一元二次方程，掌握图像数形结合是关键． 14. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为____________m． 【答案】0.2 【解析】 【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得． 【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 则， ∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m， ∴， 解得：CD=0.2m， 故答案为：0.2. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 15. 某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中，，AF交BE于D，点C在BD上，有四位技术人员分别测量出以下四组数据： ①BC，；②DE，DC，BC；③CD，，；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有_____．（填上所有能求出A、B间距离的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①③根据解直角三角形的应用即可求得结果；②仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；④利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：①∵已知BC，， ∴， 故①能计算出AB的长； ②仅知道DE，DC，BC无法求出AB； ③∵已知CD，，， ∴CB＝，DB＝， ∴DB﹣CB＝CD， 即﹣＝CD， 解出AB即可， 故③能计算出AB的长； ④由于已知EF、DE、BD， 根据△FED∽△ABD ，即可求出AB的长， 故④能计算出AB的长； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了相似三角形和解直角三角的应用；熟悉相似三角形的应用和解直角三角形是本题的关键． 三、解答题（共55分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意先运算负指数幂和零指数幂以及去绝对值，再进行去括号和实数的运算即可； （2）根据题意直接利用因式分解法解出一元二次方程的解即可. 【详解】解：（1） （2） 去括号： 移项合并： 因式分解： 可得：或 解得：或. 【点睛】本题考查含特殊锐角三角函数值的实数运算以及解一元二次方程，熟练掌握特殊锐角三角函数值和去绝对值以及利用适当的方法解一元二次方程是解题的关键. 17. 在一个不透明的布袋中放有三个分别标有数，，的乒乓球，它们的质地都相同．现从中任意摸出一个球记下所标的数字，将其放回袋中搅匀，再从袋子里任意摸出一个球记下所标的数字． （1）请用画树状图法或列表法表示出所有可能的结果． （2）求两次记下的数字的乘积为正数的概率． 【答案】 （1）列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果． （2） 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况结果即可； （2）根据列表得出两次记下的数字的乘积为正数的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果． （2）由（1）知，共有种等可能的结果， 两次记下的数字的乘积为正数的情况有种， 两次记下的数字的乘积为正数的概率． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）求的面积． 【答案】 解：（1）如图，即为所求作，点，，； （2）如图，即为所求作； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别作出，，的对应点，，，其中点B和点重合，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）的面积． 【点睛】本题考查作图旋转变换以及中心对称，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、． 求证：（1）； （2）． 【答案】 证明：（1）等腰和等腰， ，， ，，， ，， ，且， ∴ （2）∵ ，且 ∴， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，，即可证； （2）由，可得，即可证，进而可证． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 20. 如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若OC＝3，OF＝1，求cos∠B的值． 【答案】 （1）证明：连接OA、OE， ∵点E是下半圆弧的中点，OE过O， ∴OE⊥DC， ∴∠FOE＝90°， ∴∠E+∠OFE＝90°， ∵OA＝OE，AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE， ∵∠AFB＝∠OFE， ∴∠OAE+∠BAF＝90°， 即OA⊥AB， ∵OA为半径， ∴AB是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理求出∠EOF＝90°，根据等腰三角形性质求出∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，求出∠OAE+∠BAF＝90°，根据切线的判定得出即可； （2）设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1，根据勾股定理求出AB的长，解直角三角形求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1， ∵OA＝OC＝3， 由勾股定理得：OB2＝AB2+OA2， ∴（1+x）2＝32+x2， 解得：x＝4， ∴. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和的值； （2）根据图象直接写出不等式的的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1），2；（2）或；（3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值； （2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解； （3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解． 【详解】解：（1）在的图象上， ， 反比例函数的解析式是． 又∵在的图象上， ； （2）由图像可知：当或时，； （3），在函数的图象上， ， 解得：， 则一次函数的解析式是， 设直线与轴相交于点，则的坐标是． ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键． 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是 【解析】 【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可; （2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可. 【详解】解：（1）将两点分别代入，得 解得． 所以抛物线的解析式是． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，， 作于H． ∵是等腰直角三角形， ∴和也是等腰直角三角形， ∴， ∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1． ②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， 所以． 所以． 将点代入， 得． 整理，得． 因式分解，得． 解得，或（与点P重合，舍去）． 当时，． 所以点C的坐标是． 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末模拟检测 九年级数学试卷 满分：100分时间：90分钟 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题目要求．每题3分，共30分） 1. 下列图形中，中心对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 一个游戏转盘如图所示，甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角度数分别为，，，．转动转盘，当其停止转动后，指针落在哪个区域的可能性最大（ ） A. 甲扇形 B. 乙扇形 C. 丙扇形 D. 丁扇形 3. 小明用若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，由此可知，搭成这个几何体的小正方体最多有（ ） A. 13个 B. 12个 C. 11个 D. 10个 4. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. a≠0 B. a≠3 C. a≠1且b≠﹣1 D. a≠3且b≠﹣1且c≠0 5. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 二次函数y＝x2＋2bx＋4c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2－x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值为m，则m与b，c的数量关系是（ ） A. m＝1＋2b＋4c B. m＝4＋4b＋4c C. m＝9＋6b＋4c D. m＝－b2＋4c 7. 如图，为⊙O的直径，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD是正方形，过点A，B的圆O与射线AD交于点E，过点C的直径与射线AD交于点F，若，则tan∠CFD等于（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 2或 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价198元/瓶，经过连续两次降价后，现仅售78元/瓶，假定两次降价的百分率相同，设该种药品平均每次降价的百分率为x，则列出的关于x方程为 ___． 12. 如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是__________． 13. 如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象过点A(1，3)，点B（点B在点A的右边），连接AB，AC与BC分别平行x轴、y轴，ABC的面积为，则点C的坐标为___． 14. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为____________m． 15. 某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中，，AF交BE于D，点C在BD上，有四位技术人员分别测量出以下四组数据： ①BC，；②DE，DC，BC；③CD，，；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有_____．（填上所有能求出A、B间距离的序号） 三、解答题（共55分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 在一个不透明的布袋中放有三个分别标有数，，的乒乓球，它们的质地都相同．现从中任意摸出一个球记下所标的数字，将其放回袋中搅匀，再从袋子里任意摸出一个球记下所标的数字． （1）请用画树状图法或列表法表示出所有可能的结果． （2）求两次记下的数字的乘积为正数的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）求的面积． 19. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、． 求证：（1）； （2）． 20. 如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若OC＝3，OF＝1，求cos∠B的值． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式和的值； （2）根据图象直接写出不等式的的取值范围； （3）求的面积． 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角． ①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $