数学一模保分卷01（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2. 3. 4. 5. 6.72 7./ 8.1024/ 9./ 10. 11.64 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 14 15 16 A D D A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（14分） 【详解】（1）∵，即，（2分） ∵函数图象是连续不断的， ∴，（4分） 解得.（6分） （2）由（1）知， 则，（7分） 当时，， 当且仅当，即时取等号.（8分） 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，（12分） ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.  （14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为是矩形，所以，又，，面， 所以面，又面，所以，（3分） 又，所以，又，所以， 即，又，面，所以平面.（6分） （2）由（1）可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 易知， 所以，， 设,则， 由可得，所以， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，即， 又，设与平面所成角为， 则.（14分；注：建系全对，有一个向量错，就直接全扣） 19．（14分） 【详解】（1）， ，（4分） 当时，， ， 所以函数的值域为.（6分） （2）由（1）可知， 又，所以，（8分） 因为，所以，故，（9分） 因为，由可知，， 由基本不等式得，（12分） 解得，当且仅当时，等号成立，（13分） 故三角形面积， 即面积最大值为1.（14分） 20．（18分） 【详解】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，（1分） 双曲线的方程为，即，则，， 由题意可知：，则，（3分） 故双曲线C的方程为，渐近线方程为.（4分） （2）解：由（1）可知：， 如图，过点P作直线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，（6分） 因为，且，（7分） 所以，（8分） 故直线EP的倾斜角，斜率，（9分） 所以直线EP的方程为，即.（10分） （3）解：以线段MN为直径的圆C过定点，.（11分） 理由如下： 由已知可得直线，设，， 联立方程，消去y可得：，（12分） 则可得：，， 又直线，当时，，所以. 同理可得：.（14分） 又 ， ，（16分） 则以线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点，.（18分） 21．（18分） 【详解】（1）解：因为，所以，（2分） 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即；（4分） （2）解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则，（6分） 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，，（8分） 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为．（10分） （3）证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以，（12分） 又，两边同时除以，得， 因此， 所以，（14分） 令，得， 因此，（15分） 令，，则，（16分） 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得．（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 123 23 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 1234 123 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 5 破。 6 6 5. 正确填涂■ 789 789 56789 5678 45678 6789 6789 123456789 456789 12345678 缺考标记 9 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 3 5 6. 8. 10. 11. 12 箭 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 1516题每题5分) 9阳 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C[D] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本题满分14分) P E D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 2．不等式的解集为 . 3．若展开式中第5项为常数项，则含项的系数为 （用数字表示）． 4．若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 5．已知数列满足，则 ． 6．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法.（用数字回答） 7．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 8．在正项等比数列中，若，，则 . 9．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 10．已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ． 11．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如（，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：（1，2，3，…），为常数，表示数列的前项和，若，则 . 12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 15．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 16．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 四棱锥中，是矩形，. (1)证明：平面； (2)若是棱上一点，且，求与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域; (2)已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线､分别与相交于点．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用子集的含义求解即可. 【详解】因为，又因为，所以. 故答案为：. 2．不等式的解集为 【答案】 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解. 【详解】不等式，即， 解得 故答案为： 3．若展开式中第5项为常数项，则含项的系数为 （用数字表示）． 【答案】 【分析】首先根据二项式定理及题中条件第5项为常数项，即可求出的值；再次利用二项式定理的通项公式即可求出项的系数. 【详解】， 因为展开式中第5项为常数项，所以时，，解得. 令，得，所以. 所以项的系数为. 故答案为：. 4．若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 5．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式可得答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 6．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法.（用数字回答） 【答案】72 【分析】按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解. 【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种； 若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种， 根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法. 故答案为：. 7．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义及切线与直线的垂直关系求解. 【详解】因为，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 又直线的斜率为，所以，解得， 故答案为：. 8．在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 9．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据在方向上的投影向量为，进而得到，再根据求解即可． 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 10．已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出关于的对称点坐标，即可求得直线关于轴对称的直线的方程，利用直线和圆的位置关系，即结合圆心到直线的距离小于等于圆的半径，解不等式即可求得答案. 【详解】由点关于的对称点为，则， 可得直线关于轴对称的直线的方程为， 即， 又因为与圆有公共点，则， 整理得，解得，即实数的取值范围为， 故答案为： 11．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如（，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：（1，2，3，…），为常数，表示数列的前项和，若，则 . 【答案】64 【分析】根据对数定义可得，再结合等差数列的前项和公式求，进而求. 【详解】∵，则,显然 ∴数列以首项为，公差为1的等差数列 又∵，即，则 ∴ 故答案为：. 12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 【答案】D 【分析】根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 15．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答. 【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形， 腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即， 而椭圆的短轴长，即， 所以椭圆的离心率 故选：D 16．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②． 【详解】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面， ，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 二面角的大小为，， 而，，因为平面，平面， 故，而，则， 在中，， 则，故，即三点共线， 且是的中点； 则，故①是真命题； 又， 点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的劣弧， 轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【详解】（1）∵，即，（2分） ∵函数图象是连续不断的， ∴，（4分） 解得.（6分） （2）由（1）知， 则，（7分） 当时，， 当且仅当，即时取等号.（8分） 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，（12分） ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.  （14分） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 四棱锥中，是矩形，. (1)证明：平面； (2)若是棱上一点，且，求与平面所成角的正弦值. 【分析】（1）根据条件得到面，从而有，再通过计算得到，从而有，由线面垂直的判断定理，即可证明结果. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的方向向量，利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为是矩形，所以，又，，面， 所以面，又面，所以，（3分） 又，所以，又，所以， 即，又，面，所以平面.（6分） （2）由（1）可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 易知， 所以，， 设,则， 由可得，所以， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，即， 又，设与平面所成角为， 则.（14分；注：建系全对，有一个向量错，就直接全扣） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域; (2)已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域； （2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值． 【详解】（1）， ，（4分） 当时，， ， 所以函数的值域为.（6分） （2）由（1）可知， 又，所以，（8分） 因为，所以，故，（9分） 因为，由可知，， 由基本不等式得，（12分） 解得，当且仅当时，等号成立，（13分） 故三角形面积， 即面积最大值为1.（14分） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线､分别与相交于点．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得渐近线方程； （2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程； （3）设直线的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【详解】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，（1分） 双曲线的方程为，即，则，， 由题意可知：，则，（3分） 故双曲线C的方程为，渐近线方程为.（4分） （2）解：由（1）可知：， 如图，过点P作直线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，（6分） 因为，且，（7分） 所以，（4分） 故直线EP的倾斜角，斜率，（9分） 所以直线EP的方程为，即.（10分） （3）解：以线段MN为直径的圆C过定点，.（11分） 理由如下： 由已知可得直线，设，， 联立方程，消去y可得：，（12分） 则可得：，， 又直线，当时，，所以. 同理可得：.（14分） 又 ， ，（16分） 则以线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点，.（18分） 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 【分析】（1）对求导，得到为切线斜率，再求解得切点纵坐标，再根据直线方程得切线方程； （2）构造函数，对求导，得到，利用导数与函数的单调性间的关系，可得，再分和两种情况讨论，即可求解； （3）根据的条件变形，将（其中）用含的式子表示，并代入中，通过分析化简后表达式的符号即可得证. 【详解】（1）解：因为，所以，（2分） 所以，又因为， 所以在点处的切线方程为，即；（4分） （2）解：因为，所以， 设，， 则，， 令，，则，（6分） 可得在上为增函数，即在上为增函数， 所以， 当时，，此时在上为增函数， 故，即，所以，符合题意． 当时，， 因为在上为增函数，当时，，（8分） 故存在满足，则在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为．（10分） （3）证明：由题意得，，所以， 由可得， 所以，（12分） 又，两边同时除以，得， 因此， 所以，（14分） 令，得， 因此，（15分） 令，，则，（16分） 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以， 又因为，所以，故，得．（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知全集，集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 2．不等式的解集为 . 3．若展开式中第5项为常数项，则含项的系数为 （用数字表示）． 4．若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 5．已知数列满足，则 ． 6．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有 种不同的涂色方法.（用数字回答） 7．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 8．在正项等比数列中，若，，则 . 9．已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 10．已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ． 11．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如（，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：（1，2，3，…），为常数，表示数列的前项和，若，则 . 12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 15．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 16．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 四棱锥中，是矩形，.    (1)证明：平面； (2)若是棱上一点，且，求与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知向量，设函数. (1)当时，求函数的值域; (2)已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线､分别与相交于点．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，. (1)求函数在点处的切线方程； (2)对任意的时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记，若，且，求证：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $