专题01 直角三角形的边角关系（期末复习知识清单，7知识6题型1易错3方法）九年级数学上学期北师大版

该初中数学知识清单聚焦“直角三角形的边角关系”专题，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用（坡度坡角、仰角俯角）等核心内容，构建了从概念理解到问题解决再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“★”标注重难点知识、题型分类（含6大题型及变式）、易错点警示（如找不准对边邻边）及3大方法清单（构造直角三角形、方程思想等）系统呈现知识，培养学生的几何直观与运算能力。设计“解直角三角形步骤表”“常见模型关系式”等实用工具，助力不同学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01直角三角形的边角关系(7知识&6题型&1易错&3方法清单) 知识图谱 ①正弦：锐角的对边与斜边的此 2余弦：锐角的对边与斜边的出 锐角三角函数 自正切：锐角的对边与斜边的此 ④待殊角(30、45、60°)的三角函数值 ①定义 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 ☑边角关系 、cosB=g.mB= 直角三角形的边角关系 解直角三角形 已知直角三角形中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的三个 日思路 未知元素（知二求三） ①找到实际问题中的直角三角形模型 一般步骤 ②根据问题中的条件选用合适的锐角三鱼函数解直角三角形 目根据实际情况分析结果 坡度坡比问题 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 知识清单 ★【清单01】锐角三角函数 图形 定义 符号语言 正弦：在Rt△ABC中，∠C=90°， 在Rt△ABC中， 锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ∠C=90°，sinA= ∠A的对边 c 记作sinA,即sinA= 斜边 余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°， 在 Rt△ABC 中 锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余 b ∠C=90°，cosA= 弦， 1/19 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 记作c0SA,即coSA= ∠A的邻边 B 斜边 C 正切：在Rt△ABC中，∠C=90°， 在Rt△ABC中， 锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正 ∠C=90°，tanA= a 切， b ∠A的对边 记作tanA,即tanA= ∠A的邻边 ★【清单02】30°、45°、60°角的三角函数值 30 450 60° 60 V3a 2 sina 30 2 2 2 2a √5 2 1 B cosa 2 2 2 V2a tan o √5 3 a cota √5 1 3 注意：三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25； ⑤8,15,17；⑥9,40,41 【清单03】求一般锐角的三角函数值的步骤 ·在直角三角形中，利用直角三角形边与角的关系，求出对应的两条线段的比值，表示出锐角三角函数值。 ★【清单04】解直角三角形 一般地，直角三角形中除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的己知元素，求 出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 如图，在Rt△ABC中，己知∠C=90°， 2/19 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B ①三边关系：a2+b2=c2.(勾股定理)②内角关系：∠A十∠B=90° ③边角关系： 5n40.os4=6、am4 sinB-、cosB=C、anB=0 C 注意 ①在直角三角形中，除直角外的五个元素中，己知其中的两个元素（至少有一个是边迦），可求出其余的三个 未知元素（知二求三） ②一个直角三角形可解，则其面积和周长可求。但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括 求面积和周长 【清单O5】解直角三角形的实际应用 ·一般步骤： ①找到实际问题中的直角三角形模型； ②根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形： ③根据实际情况分析结果。 ·注意事项： ①根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时，适当添加辅助线构造（或分割）直角 三角形； ②有些问题中有两个（或两个以上）直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑在其他直角 三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. ★【清单06】坡度/坡角问题 h ·坡度：坡面的铅直高度h和水平长度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i,即i= (坡度通常写 1 成h:1的形式)· ,坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作a,于是有i h=t a na. 显然，坡度(i=tana)越大，坡角a越大，坡面就越陡， ★【清单07】仰角/俯角问题 3/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·仰角：视线高于水平线时，视线与水平线的夹角： ·俯角：视线高于水平线时，视线与水平线的夹角： 铅垂线 视线 仰角 俯角 水平线 期未常考题型清单 【题型一】求特殊角的三角函数值 【例1】(24-25九年级上陕西咸阳·期末)计算c0s60°的值为() A司 B. C.-3 D.3 2 【变式1-1】(24-25九年级上·陕西西安期末)tan60°的值等于( ) A号 B.3 c.3 D.5 3 2 【变式1-2】(24-25九年级上陕西西安·期末)计算cos30°的值为() A.1 B. 3 C.7 D. 3 3 【题型二】含三角函数值的混合运算 【例2】(24-25九年级上陕西西安期末)计算：√⑧-(-2)°+(-4×c0s45°. 【使式2】计第：-5m0-写 【变式2-2】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)计算：2√2sin45°+4cos60°-√5tan30°. 【变式2-3】计算：2cos45°-cos60°.sin30°+tan45 【题型三】在直角三角形中求特殊角的三角函数值 【例3】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，在RtAABC中，∠B=90°，AB=12,BC=5,AC=13, 则sinA=() 4/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13 12 13 A. B. 12 5 13 D. 12 【变式3-1】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线， 若BD=4,AD=2V5,则tan/CAD的值为() d D C A.3 B.2 C.5 D.4 【变式3-2】(24-25九年级上陕西咸阳期末)如图， ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanB的 值是() B B. 3-2 c D.2 【变式3-3】如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则cos∠ABC的值为() A B.V5 c. D.3 5 3 【题型四】根据三角函数值解直角三角形（求角度或边长） 【例4】(24-25九年级上陕西西安期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为 a,b,c,若∠A=a,a=2,则c的长为() 2 A.2tand B. 2 C.2sina D. sina cosa 5/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(2425九年级上陕西宝鸡期末)知如图，在R△ABC中，∠4BC=90°，AB=4,si血C=亏， 、2 点D为AC的中点，连接BD,则BD的长为 D B 【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于 点E,4C=1,43则4E的长为— 【变式4-3】(24-25九年级上陕西咸阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点， DE上AB交AC于点E,连接BE,BE=5,sin∠CBE-号 ◇ A (I)求BC的长； (2)求tanA的值， 【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8.∠ABC的平分线交AC于点D,若CD=3,求cosA的 值. D A 【变式5-1】(24-25九年级上·陕西宝鸡期末)如图，在ABC中，AB=AC=4,BC=6,延长BC至点 D,连接AD. 6/19 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 30 (I)求sinB的值： (2)若∠ADB=30°，求CD的长. 【例6】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在BA 的延长线上，点F在边AC上，连接DE,DF,∠EDF=∠B. D (I)求证：△BDE∽△CFD; 2当AB=10,osB=求CF·BE的值 【变式6-1】(24-25九年级上·陕西汉中.期末)如图，在ABC中，AD1BC于点D,BE⊥AC于点E, 连结DE. D (I)求证：△ABCn△DEC; (2)若S.Ac=18,SDc=3,求sin/DAC的值. 【例7】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，在口ABCD中，点F在对角线AC上，且AB=AF过，点 F作EF∥AB、连接BE,使∠E=∠BAC. D 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ABEF是菱形； ②若4D=10.BE=6,am∠CBE=号，求AC的长 【变式7-1】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点， 连接CD,过点A作AG∥DC,过点C作CG∥DA,AG与CG相交于点G. G B C (I)求证：四边形ADCG是菱形； ②若4B=5,am∠ACG=,求BC的长 【题型五】解直角三角形的应用一一坡度/坡比问题 【例8】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是1：√2（即 BC:AC=1√2)，河堤BC的高度为lm,则坡面AB的长度是() 2 A A.4m B.22m C.√3m D.√2m 【变式8-1】周末许老师参加骑行爬山活动，他沿着坡度为1：√5的山坡上坡骑行前进了1800m,则许老师 所在的位置升高了() A.900m B.1000m C.600w3m D.10005 3 【变式8-2】(24-25九年级上·陕西咸阳期末)如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即 AB=24米，CD∥AB,天桥架空高度为6米(CD与AB之间的距离为6米)，若天桥两边的斜坡AD,BC 的坡度均为2：3，求人行天桥的桥面CD的长度。 D B 8/19 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型六】解直角三角形的应用一一仰角/俯角问题 【例9】(24-25九年级上·陕西铜川期末)在一次数学综合实践活动中，小华想要测量城门大楼的高度AF. 如图，小华在点B处测得楼顶A的仰角为25°，然后前进18米到达点C处，再登上3米高的楼台D处，并 测得此时楼顶A的仰角为45°，已知AF⊥BF,DE⊥AF,点B、C、F在同一条直线上，求城门大楼的高 度AF约为多少米.（结果保留整数，参考数据：sin25°≈0.42，c0s25°≈0.91，tan25°≈0.47） B 【变式91】（24-25九年级上陕西西安·期末)如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校 附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行8.6m到达斜坡DC的底部点D处， 然后沿着斜坡前行10m(DE=I0m)到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡与 水平地面的夹角为20°，且点A,B,C,D,E在同一个平面内，求该古塔的高度.（参考数据： tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，√3≈1.73) 20 D B 【例10】(24-25九年级上陕西宝鸡期末)某数学实践小组的同学把测量某塔MN作为一项课题活动，他 们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔MN的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案 示意图 月B54.5 DC 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度AB为1m时，恰好测 说明 得点M的仰角为54.5°；某一时刻，塔MN在阳光下的影子为DN,来回调整标杆CE的位 9/19 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D,此时测得 AC=20m,CD=5m.已知标杆CE的高度为4m,MW⊥DN,AB⊥DN,CE⊥DN,点 D,C,A,N在一条直线上 请根据上述方案及其数据求出这个塔MW的高度，（结果精确到lm;参考数据：sin54.5°≈0.81， c0s54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40) 【变式10-1】(24-25九年级上·陕西榆林·期末)公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小 组的活动课题是“测量假山的高度”，测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在 D处，测得假山顶A的仰角为45°，向后退了15m到达C处，在C处测得假山顶A的仰角为17°，测角仪的 高BC=DE=1.6m,请你计算假山的高度A0.(结果精确到0.1m,参考数据：sinl7°≈0.29， cosl7°≈0.96，tanl7°≈0.31) B-110 1.6 C 15m 【变式10-2】如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶 到山脚下的垂直距离，即点E到BC所在直线的距离，方案及测量报告如下： 测量 山楂树 对象 测量 平面镜、皮尺、测倾器 工具 ①身高1.5米小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以 测量 看到山楂树顶点E,并测量BC=3米； 方案 ②测量平面镜至山脚下的距离CD=14米； ③小华又站在D处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角∠EFN=72°. 10/19 专题01 直角三角形的边角关系（7知识&6题型&1易错&3方法清单） ★【清单01】锐角三角函数 图形 定义 符号语言 正弦：在中，， 锐角的对边与斜边的比叫做的正弦 记作，即； 在中,，. 余弦：在中，， 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦， 记作，即 在中,，. 正切：在中，， 锐角的对边与邻边的比叫做的正切， 记作，即 在中,，. ★【清单02】30°、45°、60°角的三角函数值 注意：三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,40,41. 【清单03】求一般锐角的三角函数值的步骤 ·在直角三角形中，利用直角三角形边与角的关系，求出对应的两条线段的比值，表示出锐角三角函数值。 ★【清单04】解直角三角形 一般地，直角三角形中除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， ①三边关系：.（勾股定理） ②内角关系：∠A＋∠B＝90° ③边角关系： 、、；、、 注意： ①在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边) ，可求出其余的三个未知元素(知二求三) ②一个直角三角形可解，则其面积和周长可求。但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 【清单05】解直角三角形的实际应用 ·一般步骤： ①找到实际问题中的直角三角形模型; ②根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; ③根据实际情况分析结果. ·注意事项： ①根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形; ②有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. ★【清单06】坡度/坡角问题 ·坡度：坡面的铅直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i（坡度通常写成ｈ∶ｌ的形式）． ·坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作 α，于是有i＝ｔａｎα． 显然，坡度 （ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡． ★【清单07】仰角/俯角问题 ·仰角：视线高于水平线时，视线与水平线的夹角； ·俯角：视线高于水平线时，视线与水平线的夹角； 【题型一】求特殊角的三角函数值 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）计算的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是牢记特殊角的余弦函数值．根据特殊角的三角函数值，直接得出的值． 【详解】解：， 故选：B． 【题型二】含三角函数值的混合运算 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算二次根式，零指数幂，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确化简每一项是解题的关键．分别计算，去绝对值，特殊角的三角函数值，化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）计算：． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 直接代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 【题型三】在直角三角形中求特殊角的三角函数值 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查的知识点是求角的正弦值，解题关键是熟练掌握如何求求角的正弦值． 根据角的正弦值的求法即可得解． 【详解】解：中，，，，， ． 故选：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查解直角三角形，先求得，再根据勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义计算即可得到答案． 【详解】解：由图可知， 故选： C． 【变式3-3】如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【题型四】根据三角函数值解直角三角形（求角度或边长） 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，所对的边分别为a，b，c，若，，则c的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦、余弦及正切的定义是解题的关键．根据三角函数的定义依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 则． 故A选项不符合题意． 则． 故B选项符合题意 故C选项不符合题意． 则． 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交的延长线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段中点的有关计算、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数，线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 【例5】如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题考查了求余弦值，角平分线的性质定理，勾股定理， 过点D作交于点E，首先得到，然后根据勾股定理求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】如图所示，过点D作交于点E ∵在中，，的平分线交于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，延长至点，连接． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点， ，， ，， ， 在中，． （2）解：在中，， ， ， ． 【例6】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及三角函数，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，根据外角的性质得到，即可证明相似； （2）连接，利用等腰三角形的性质得到，，由三角函数得，再利用相似三角形的性质即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵点D是的中点，， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴ 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据两角对应相等证明，根据性质得，则 又，根据判定方法即可求证； （）根据相似三角形的性质和正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点在对角线上，且过，点作、连接，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，得到，证明出四边形是平行四边形，又因为，证明出平行四边形是菱形，即可得证； （2）过点作于点，先证明，进而由三角函数得，再由勾股定理得出，则，然后由菱形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知四边形是菱形， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由勾股定理可得， 解得， ， 四边形是菱形，四边形是平行四边形， ， 在中，由勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据菱形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，进而可根据菱形的判定得出结论； （2）由平行线的性质可得出，设，，运用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴． 【题型五】解直角三角形的应用——坡度/坡比问题 【例8】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为1m，则坡面的长度是（   ） A．4m B．m C．m D．m 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是明确坡比是坡角的正切值． 根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ． 故选：C． 【变式8-1】周末许老师参加骑行爬山活动，他沿着坡度为的山坡上坡骑行前进了1800m，则许老师所在的位置升高了（   ） A．900m B．1000m C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即许老师垂直升高的距离． 【详解】解：如图，中，，，    ∴， ∴． ∴许老师所在的位置升高了， 故选：A． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 【题型六】解直角三角形的应用——仰角/俯角问题 【例9】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）在一次数学综合实践活动中，小华想要测量城门大楼的高度．如图，小华在点B处测得楼顶A的仰角为，然后前进18米到达点C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为，已知，，点B、C、F在同一条直线上，求城门大楼的高度约为多少米．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】约13米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答的关键．先根据已知得到，米，再在中，利用正切定义得到，进而求解即可． 【详解】解：由题意，四边形是矩形， ∴米，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，米，米，， 由得， 解得， ∴（米）， 答：城门大楼的高度约为13米． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同学从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求该古塔的高度．（参考数据：，，，） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过作于，于，得到，，根据斜坡与水平地面的夹角为，得，，则，然后结合在中，，得，于是得到结论． 【详解】解：过作于，于，    则， ∴四边形是矩形， ，， 斜坡与水平地面的夹角为，，， ， 则， ∴，， 即， ∵从古塔底部的点B处前行到达斜坡的底部点D处， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该古塔的高度为． 【例10】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某数学实践小组的同学把测量某塔作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案 示意图 说明 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度为时，恰好测得点M的仰角为；某一时刻，塔在阳光下的影子为，来回调整标杆的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得m，．已知标杆的高度为，，，，点D，C，A，N在一条直线上． 请根据上述方案及其数据求出这个塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】这个塔的高度约为 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点B作于点F，得四边形是矩形，则，再证明，得，解得，即可作答． 【详解】解：过点B作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴这个塔的高度约． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】假山的高度为 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识； 过E点作于G，则有，从而，在中，利用正切函数关系即可求得，从而求得假山的高度． 【详解】解：过E点作于G， ∵， ∴， ∴； 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴； 在中，， ∴， 即， 解得：， 则， 答：假山的高度为． 【变式10-2】如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下： 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①身高米小华站在点的位置，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米； ②测量平面镜至山脚下的距离米； ③小华又站在处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角． 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，交直线于点，容易证出四边形是矩形，则有，米，再利用正切的定义可得，设米，表示出、的长，再证得，得到，解出的值，得到的长即可解答． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，米， 在中，， ， 设米，则米， 米，米， 由题意得，，， ， ， ，即， 解得：， （米）， 山楂树顶到山脚下的垂直距离为8米． 【总结】常见的解直角三角形模型及其边角关系 图形 关系式 图形 关系式 【题型七】解直角三角形的其他应用 【例11】（24-25九年级上·陕西西安·期末）2024年夏季，某地发生洪涝灾害，致使许多地方因被淹而出现险情，两地的甲乙两支救援队接到转移处受困群众的任务．已知地在地的北偏西，距离地40千米，点M在地的南偏西方向上，求的长．（结果精到千米，参考数据：） 【答案】千米 【难度】0.85 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于, 在中， ∵，千米， ∴（千米）， （千米）． 在中， ∵， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：的长约为千米． 【变式11-1】某地灯会引进了现代光电技术，让古老的彩灯艺术焕发出青春的熠熠光芒．如图是某地灯会现场的部分示意图，为主灯塔，为汇展舞台，于点，于点，一束灯光的光线从主灯塔处发出，经过平面镜处，反射到达舞台中央处（为法线，，）．测得水平方向，．（参考数据：，，） (1)求的高度； (2)求主灯塔的高度． 【答案】(1)的高度约为； (2)主灯塔的高度约为． 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ， 的高度约为； （2）解：延长交于点， 由题意得：，，，，， ， ， 在中，， ， 主灯塔的高度约为． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） (1)求点到的距离的长； (2)求窗钩的长度． 【答案】(1)点到的距离的长为； (2)窗钩的长度约等于． 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】（）在中, 根据即可求得； （）在中，根据，再根据，求出，然后根据勾股定理即可求出； 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，，， 在中，， ∴点到的距离的长为； （2）解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴窗钩的长度约等于． 【易错题型一】因为找不准对边或对角致错 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，，若，则AC的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得． 【详解】解：如图，过点A作于E， 则； 在中，， ∴； 在中，， ∴； 故选：B． ·解直角三角形的基本方法： 已知条件 解法 两 边 1 两直角边 由，求；; 2 斜边,一直角边（如） 由，求；; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边（） ； ④锐角,对边（） ； ⑤斜边,锐角（） ； 总结：有斜(边)求对(边)乘正弦,有斜(边)求邻(边)乘余弦,有邻(边)求对(边)乘正切 【题型一】辅助线构造——构造直角三角形 ·方法说明：当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形。 ·案例展示：如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值可以先作AD⊥BC，根据勾股定理，得，得出. 【例1】如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，得出，由勾股定理得，，解方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， ， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得，， 解得或（舍去）， 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在网格线的交点上，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，角的正切值，掌握直角三角形的性质是解题关键．过点作于点，由勾股定理可得，，，根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，最后利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由网格可知，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例2】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在平行四边形中，，，，O为对角线、的交点，点F在边上，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】作于H， ，由，得到，由四边形是平行四边形得到，，，则，得到是等腰直角三角形，则，可得，由得到，即可求得． 【详解】解：作于H，，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识．作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在是边上的中线，过点作，垂足为点，若． (1)求的面积； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出，的长度． （1）设，，所以，，由可求出，从而可求出答案． （2）过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． 【详解】（1）设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地（），斜坡的长为，坡度为．为了防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，若改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少应向右移大约 ．（当坡角不超过时可确保山体不滑坡，，结果保留整数）    【答案】 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在上取点，使，过点作于，   ，，， 四边形为矩形， ，， 斜坡的坡比为：， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ，， ， 在中，， ， ， 坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作交于，由正切函数得，，即可求解；掌握直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于， ，， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得：， （米）， 答：点距离地面的高度米． 【题型二】转化思想——转化为相等角的三角函数值 ·方法说明：在特殊角的三角函数值不易求时，可以根据条件找到一个与它相等的角，放在一个新的直角三角形中求三角函数值。 【例3】如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键．根据得出，进而根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角函数，直角三角形的性质． （1）在中，先根据三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长； （2）过C点作于F，求出的长，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 又是边的中点， ； （2）解：过C点作于点F． ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． 【变式3-3】如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作交于点E，分别过点D、点C作、的平行线交于点F，若，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定与性质以及锐角三角函数，由菱形的性质得，，由，得出，证明四边形是矩形，得，证明，由可求出，即，求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式3-4】如图，正方形的周长是16，点是的中点，以为边在右侧作等边，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形，结合图形构造直角三角形是解题的关键．过点作，交于点，交于点，通过证明四边形是矩形，得到，，，再利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，，最后在中利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 正方形的周长是16， ，，， 点是的中点， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故选：C． 【题型三】方程思想——根据几何条件设未知量 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，，，则的值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正弦值 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，设，则，根据求出BD的长，从而求出CD的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， 在中，， 是的中点， ， ， ， 故选：C 【变式4-1】将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识点，设与的交点为，过B点作于点E，先求出，设，则，然后用含x的代数式表示出，的长，进而即可得解，正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：如图，设与的交点为，过B点作于点E， 由图知，， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ， 由图知，， ， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得，， 根据三角形的面积公式可得，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 【例5】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用．由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）知识在窗外，世界是教材．中学生的研学活动就是对学校教育的有效补充．秋高气爽的10月，小艺和全班同学一起去研学旅行．午饭后同学们在斜坡上的一棵树下休息．喜欢思考的小艺和小组成员根据所学知识共同设计了一个数学问题：如图，斜坡的坡度，斜坡上的大树垂直于水平面，此时，太阳光与水平面的夹角为，大树在斜坡上的影子长为10米，小艺和小组同学估计这棵树超过了10米，他们的估计正确吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】他们的估计正确 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H，在中，根据坡度定义和勾股定理可求出米，米，在中，根据正切的定义求出米，进而求出，即可求解。 【详解】解：他们的估计正确， 理由如下： 过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H， 则， 在中，， 设米，则米， ∴米 又米， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 即大树的高度约为11.2米，超过了10米， 故他们的估计正确。 【变式5-2】如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆的高度进行了测量．塔杆安装在斜坡上，且垂直于地面．利用无人机分别在点和点处观察塔杆的顶端，发现恰好满足，．已知点在点的正上方，，米，斜坡的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为23米 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解坡度的定义和解直角三角形的方法是解题关键．延长，交延长线于点，则，先根据坡度的定义和勾股定理可求出的长，从而可得的值，再证出，从而可得，然后在中，利用正弦的定义可求出的长，在中，利用正弦的定义可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：， ∵斜坡的长为10米，其坡度为2， ∴， 设米，则米， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， 又∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：该风力发电机塔杆的高度约为23米． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $