专题06 反比例函数（期末复习知识清单，5知识8题型1易错2方法）九年级数学上学期北师大版

该初中数学反比例函数专题知识清单全面覆盖反比例函数的核心内容，包含概念、图象与性质、解析式确定、k的几何意义及应用五大知识范畴，通过5知识清单、8题型分类、1易错点分析及2方法总结系统整合，搭建从基础认知到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识梳理-题型突破-方法提炼”逻辑构建体系，如将“k的几何意义”与矩形面积模型关联，标注易错点“忽略自变量x≠0”，培养抽象能力与推理意识。题型分层设计，应用题融入密度计、运输等生活场景，方法清单提供“待定系数法步骤”等实操指导，助力教师精准教学，学生自主高效掌握知识要点。

专题06 反比例函数（5知识&8题型&1易错&2方法清单） 【清单01】反比例函数的概念 反比例函数的定义：一般地，表达式形式如 （k是常数，k0）的函数叫做反比例函数． 补充：反比例函数的解析式也可以写成 的形式．自变量x的取值范围是 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 【清单02】反比例函数的图象与性质 ·反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，两个分支关于对称． 反比例函数 ------------------------- k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第 象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而 ． 图像的两个分支分别在第 象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的 而增大． 【清单03】确定反比例函数解析式 待定系数法：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【清单04】反比例函数中系数k的几何意义 过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． 注意：已知三角形或四边形的面积和相关点坐标求反比例系数k的值时，可以用xy=k的形式。 【清单05】反比例函数的应用 ·反比例函数应用题的一般步骤： ①表示出相关点的坐标； ②待定系数法求反比例函数关系式； ③根据问题代入自变量（因变量）求因变量（自变量）的值，进行决策。 ·典型的反比例关系式 ①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂； ②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为． 【题型一】根据反比例函数的增减性比较大小 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知关于的一元二次方程没有实数根，点、为反比例函数的图象上两点，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 方法总结：①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）反比例函数的图象经过点，，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若点都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【变式1-5】（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【题型二】判断一次函数与反比例函数的图象 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． ·方法总结： 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【变式2-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型三】已知双曲线分布的象限求参数范围 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如果反比例函数（是常数）的图象在第二，四象限，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【题型四】根据对称坐标求参数 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知点，关于轴对称，若某一反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为 ． 【题型五】根据k的几何意义求图形面积 运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积模型总结： 【例5】24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为 ． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为 ．    【变式5-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知反比例函数经过的斜边的中点D，且与直角边相交于点C，点B在x轴上．若点A的坐标为，则的面积为 ． 【题型六】反比例函数应用——根据描述确定反比例函数关系式 【例6】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数，已知当时，． (1)求完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式； (2)为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树． 【题型七】反比例函数应用——根据表格确定反比例函数关系式 【例7】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【题型八】反比例函数应用——根据图象确定反比例函数关系式 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围 (2)当气球的气体体积为时，气体压强是多少？ (3)当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，分别求工作的最小电流与最大电流时电阻R的值． 【变式8-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 【例9】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 【例10】（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．    (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？ 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【题型一】容易忽略自变量的取值范围不包含x=0致错 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【题型一】据图形面积求比例系数（解析式） ·求解步骤： ①用反比例函数解析式表示出相应点坐标；②再根据k的几何意义表示三角形或矩形的面积；③灵活使用三角形、平行四边形的相关性质建立等量关系求未知参数． ·运用k的几何意义转化图形面积案例： 双曲线上两点A、B与原点构成的三角形的面积=与坐标轴构成的直角梯形的面积 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M作y轴的平行线分别与反比例函数和的图象交于P，Q两点，若，则k的值为 ． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，若的面积为1，则的值为 ． 【变式2-2】如图，在直角坐标系中，的边在轴上，，点在上，，且的面积为，若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知的一边平行于y轴，且反比例函数的图象经过顶点A和边上的点C，若的面积为15，，则k的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，A，B是反比例函数y图象上的两点．过点A、B分别作轴于点，轴于点，连接、，已知，则 ． 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为 ． 【变式4-1】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【题型二】反比例函数与图形综合 ·求解步骤： ①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题． 【例5】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 方法总结：①表示出一次函数与反比例函数的交点坐标；②运用数形结合的思想分析问题：根据函数图象的上下位置关系，找出关于自变量x的不等式组的解集． 【变式5-1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点， (1)求该反比例函数表达式． (2)若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点、，与原点在同一直线上，且．求反比例函数的表达式． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数（5知识&8题型&1易错&2方法清单） 【清单01】反比例函数的概念 反比例函数的定义：一般地，表达式形如（k是常数，k0）的函数叫做反比例函数． 补充：反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 【清单02】反比例函数的图象与性质 ·反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，两个分支关于原点对称． 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第一、三象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而减小． 图像的两个分支分别在第二、四象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的增大而增大． 【清单03】确定反比例函数解析式 待定系数法：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【清单04】反比例函数中系数k的几何意义 过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． 注意：已知三角形或四边形的面积和相关点坐标求反比例系数k的值时，可以用xy=k的形式。 【清单05】反比例函数的应用 ·反比例函数应用题的一般步骤： ①表示出相关点的坐标； ②待定系数法求反比例函数关系式； ③根据问题代入自变量（因变量）求因变量（自变量）的值，进行决策。 ·典型的反比例关系式 ①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂； ②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为． 【题型一】根据反比例函数的增减性比较大小 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知关于的一元二次方程没有实数根，点、为反比例函数的图象上两点，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据一元二次方程根的判别式得出的范围，再根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 即， ，且， ， 反比例函数的图象过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 方法总结：①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）反比例函数的图象经过点，，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：反比例函数中，随的大小而变化的情况应分与两种情况讨论，而不能笼统地说成“时，随的增大而减小；时，随的增大而增大”．在每个象限内，随的变化是一致的． 但在不同象限的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律．当时，第一象限点的纵坐标值都为正，第三象限点的纵坐标值都为负；当时，第二象限点的纵坐标值都为正，第四象限点的纵坐标值都为负． 根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 又点和点在反比例函数的图象上，且， ， 故选：． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象的性质：当时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，随的增大而减小判断求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，随的增大而减小， ∵， ∴， ∵在第三象限， ∴， ∴，即， 故选：． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式可得反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再根据即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴． 故选：D． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若点都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，根据已知得出反比例函数的增减性是解题关键．首先根据，得出反比例函数的增减性，继而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵点都在反比例函数（k为常数）的图象上， 又∵， ∴每个象限内y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 【变式1-5】（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质作答即可． 【详解】解：由于，故， 故反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限,故； 点，在第四象限，故； 综上，． 故答案为：． 【题型二】判断一次函数与反比例函数的图象 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、判断一次函数的图象、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． ·方法总结： 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【变式2-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数与一此函数的图象与比例系数的关系是解答此题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象经过一、三、四象限可知，函数图象经过y轴负半轴与相矛盾，故本选项不合题意， C、由一次函数图象经过一、三、四象限可知，函数图象经过y轴负半轴与相矛盾，，故本选项不合题意； D、由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象可知，故本选项合题意． 故选∶D． 【题型三】已知双曲线分布的象限求参数范围 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，由此列不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限， ， 解得， 又∵， ∴只有选项A符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如果反比例函数（是常数）的图象在第二，四象限，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意（）中k的取值，①当时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当时，反比例函数的图象位于二、四象限．由于反比例函数（是常数）的图象在二、四象限内，则，解得m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数是（是常数）的图象在第二、四象限， ∴， 解得， ∴m的值可以是． 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数值、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可； （2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得； （2）解：， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， A点的坐标为． 【题型四】根据对称坐标求参数 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知点，关于轴对称，若某一反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了关于轴及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 设这个反比例函数的表达式为，由点，关于轴对称，则，，得出，然后代入即可求解． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为， ∵点，关于轴对称， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴这个反比例函数的表达式为， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若直线的图象与反比例函数的图象交于两点，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线与反比例函数的图象都关于原点对称，可得两点也关于原点对称，则有，，再代入整理得，再利用反比例函数的解析式即可求解． 【详解】解：直线的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，且交于两点， ，， 又， ， 整理得：， 在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先由点在直线上得出，再由点，在双曲线上得，求出，进而可求出该双曲线的表达式． 【详解】解：点在直线上， ∴， ∴． ∵点，在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，（舍去）， ． 故答案为：． 【题型五】根据k的几何意义求图形面积 运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积模型总结： 【例5】24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的边的中点，且点、分别在轴、轴的正半轴上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上， ， 点是的中点， ， 故答案为：． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，正确反比例函数的比例系数k的几何意义，是解题的关键．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知，，再计算，即得答案． 【详解】矩形的顶点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象与边交于点D， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知反比例函数经过的斜边的中点D，且与直角边相交于点C，点B在x轴上．若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义、求反比例函数的解析式，由题意可得，从而可得反比例函数的解析式为，由反比例函数的的几何意义得出，再求出的面积，结合的面积为计算即可得解． 【详解】解：∵点为的中点，点A的坐标为， ∴， 将代入反比例函数解析式可得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 【题型六】反比例函数应用——根据描述确定反比例函数关系式 【例6】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， 当时，，解得， 故选：D 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量、实际问题与反比例函数 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，，解得， 故选：D． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用600元购买了某品牌篮球个，该品牌篮球的单价是元/个，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，，即：； 故选B． 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）把代入（1）中的函数关系式中求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； （2）解：当时，． 答：小汽车速度为时，从乙地到甲地需要． 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数，已知当时，． (1)求完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式； (2)为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树． 【答案】(1) (2)至少需要人参加植树 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：∵完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴完成任务的时间t关于参加植树人数n的反比例函数关系式为 （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴至少需要人参加植树． 【题型七】反比例函数应用——根据表格确定反比例函数关系式 【例7】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【答案】(1) (2)3天 【难度】0.85 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）根据“每天运输的吨数运数的天数货物总量”写出t与a的关系； （2）将代入t与a的关系，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 【题型八】反比例函数应用——根据图象确定反比例函数关系式 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围 (2)当气球的气体体积为时，气体压强是多少？ (3)当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 【答案】(1)这一函数的表达式为； (2)当气球的气体体积为时，气体压强是； (3)当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据给定点的坐标，求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与V的函数关系式为，由点在反比例函数图象上，可求出k值，进而可得出这一函数的表达式； （2）把代入即可得到结论； （3）代入，求出V值即可． 【详解】（1）解：设与V的函数关系式为， 点在反比例函数图象上， ， ， 这一函数的表达式为； （2）解：把代入得；， 答：当气球的气体体积为时，气体压强是； （3）解：当时，， 解得：， 当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数在物理中的应用以及反比例函数解析式的求法知识点，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式并利用图象上的点来确定解析式． 根据电流与电阻是反比例函数关系设出函数表达式，再将图象上一点的坐标代入求出表达式中的未知系数． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 因为反比例函数图象过点，将代入中， 可得， 解得， 所以这个反比例函数的解析式为． 故选：C． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，分别求工作的最小电流与最大电流时电阻R的值． 【答案】(1) (2)工作的电流最小时，电阻的值为，工作的电流最大时，电阻的值为 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）求出最小电流和最大电流对应的电阻的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当，， 当，， 工作的电流最小时，电阻R的值为，工作的电流最大时，电阻R的值为． 【变式8-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 【答案】(1)，； (2)． 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解决本题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用解析式求出相应的点的坐标即可． 把点的坐标代入，求出的值，从而得到反比例函数的解析式为，再把点代入解析式即可求出的值； 求出当时，，可知汽车通过该路段至少需要． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 【例9】钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】(1) (2)3分钟 【难度】0.85 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设此过程中y与x的函数关系式为y，将点代入，解方程即可得到结论； （2）将代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设此过程中y与x的函数关系式为y， 将点代入， 解得， ∴此过程中y与x函数关系式为； （2）解：将代入， 解得， ∴， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 【答案】(1) (2)分钟 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确读懂函数图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）当时，设，再由待定系数法求解即可； （2）把时，依次代入及中，求出对应的时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得：   ∴机器温度y与时间x的函数关系式为； （2）解：当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)求当时，与之间的函数表达式； (2)某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 【答案】(1) (2)乐乐最早在点能喝到不高于的水 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数： （1）利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）将数值代入函数解析式即可． 【详解】（1）当时，设与之间的函数表达式为， 将代入中得：， 解得， 与之间的函数表达式为． （2）把代入中得：， 解得， 乐乐最早在点能喝到不高于的水． 【例10】（24-25九年级上·陕西延安·期末）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．    (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为， 则有， ∴图③中的函数解析式为． （2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小， ∵由于支点即为细绳悬挂点， ∴． ∴． 综上，． ∴当时，． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 【题型一】容易忽略自变量的取值范围不包含x=0致错 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值． 故选：B ． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且可得的最大值是，的最大值是2， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型一】据图形面积求比例系数（解析式） ·求解步骤： ①用反比例函数解析式表示出相应点坐标；②再根据k的几何意义表示三角形或矩形的面积；③灵活使用三角形、平行四边形的相关性质建立等量关系求未知参数． ·运用k的几何意义转化图形面积案例： 双曲线上两点A、B与原点构成的三角形的面积=与坐标轴构成的直角梯形的面积 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键，设点，可得到，，再根据，从而可求得的值，即得到的值． 【详解】解：设点，由题可得： ∴， ∵点，在正比例函数的图象上， ∴点，关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，若四边形的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图象的性质是关键． 根据题意，设，则，由，代入求值即可． 【详解】解：∵，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点， ∴设，则， ∵垂直于轴于点，垂直于轴于点， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M作y轴的平行线分别与反比例函数和的图象交于P，Q两点，若，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握值的几何意义是关键．根据反比函数系数值的几何意义可知，由图可知，即可解决此题． 【详解】解：∵，由反比例函数系数k的几何意义可得： ， 解得：， 由图象可知：， ∴， 故答案为： 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 【详解】解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，若的面积为1，则的值为 ． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义得到，求出，然后得到，求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∵的面积为1 ∴ ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴． 故答案为：8． 【变式2-2】如图，在直角坐标系中，的边在轴上，，点在上，，且的面积为，若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，从而可得，再根据三角形的面积公式可得，然后将点代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的边在轴上，，即， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入得：， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知的一边平行于y轴，且反比例函数的图象经过顶点A和边上的点C，若的面积为15，，则k的值为 ． 【答案】24 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】该题考查了反比例函数的几何应用，根据，得出，设，则，根据在反比例函数上，得出，根据在反比例函数上，平行于y轴，得出，结合的面积为15，得出，求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵在反比例函数上， ∴， ∴， ∵在反比例函数上，平行于y轴， ∴， ∵的面积为15， ∴， 即， ∴， 故答案为：24． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、折叠问题、二次根式的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】解:设点坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，A，B是反比例函数y图象上的两点．过点A、B分别作轴于点，轴于点，连接、，已知，则 ． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：由题意可设， ∴， ∵，， ∴，即， ∴； 故答案为24． 【例4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设点 的坐标为 ，设 ，则B，C两点坐标可表示，因为 是中点，根据中点坐标公式D点坐标可表示，因为 在反比例函数 上，D点横纵坐标之积为k，可得，再利用的面积为4列方程则题目可解． 【详解】解：∵ 在反比例函数 上， ∴设点 的坐标为 ， ∵四边形是平行四边形， ∴ 且 ， ∴点 的纵坐标与 的纵坐标相同为 ， 设 ， 则点 的坐标为 ，， ∵ 是中点，根据中点坐标公式： ∴，即 ∵ 在反比例函数 上， ∴ ∵ ∴， ∴， 则 的底为 ，高为 点的纵坐标 ， ∵， ∴ ． 【变式4-1】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 【详解】过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 【题型二】反比例函数与图形综合 ·求解步骤： ①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题． 【例5】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到的横坐标为，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出，即可求解； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，，结合，，得到，，进而得出，，根据“的面积与的面积相等”列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：轴于点， 的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在， 联立， 解得：或， ，， ，， ，， ，， 的面积与的面积相等， ， 解得：或， 在反比例函数的图象上存在点，使得的面积与的面积相等，点的坐标为或． 方法总结：①表示出一次函数与反比例函数的交点坐标；②运用数形结合的思想分析问题：根据函数图象的上下位置关系，找出关于自变量x的不等式组的解集． 【变式5-1】如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)4 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，解得 把代入，得到，解得， 反比例函数的表达式为，点， 将，代入， 得，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点，， ，， ，， ． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】该题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴，即反比例函数的表达式为：； （2）解：直线与轴交于点，则点的坐标分别为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， （负值已舍去）， 把代入得，， ． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点， (1)求该反比例函数表达式． (2)若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为：； (2)或 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数解析式，再按照平移法则得到平移后的解析式，与反比例函数解析式联立得到一元二次方程，根据根的判别式求出b值即可． 【详解】（1）解：点，都在反比例函数图象上， ， 解得， ，， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 把一次函数的图象向下平移b个单位长度， 平移后的直线解析式为， 令，整理得：， 平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点， ， 解得或 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点、，与原点在同一直线上，且．求反比例函数的表达式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、解一元二次方程——直接开平方法、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式 【分析】点，则可求得直线的解析式为，由此则可求得点B的坐标；再由，即可求得k的值，从而求解． 【详解】解：设点，则 设直线的解析式为， 把点A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 由于直线与交于点B， 解，得：（负值舍去）， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $