专题2.6 直线与圆的方程全章复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.6 直线与圆的方程复习 目录 考点1 直线的倾斜角与斜率 1 题型1 直线的倾斜角与斜率 2 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 4 考点2 直线的方程 8 题型3 直线的方程 10 题型4 两直线平行与垂直 12 考点3 直线的交点与距离公式 15 题型5 直线的交点问题 16 题型6距离公式的应用 18 题型7 点、直线的对称问题 21 考点4 圆的方程 23 题型8 圆的方程 24 题型9 点与圆的位置关系 27 题型10 圆的轨迹 29 考点5 直线与圆位置关系 31 题型11 直线与圆位置关系 33 题型12 直线与圆相交 34 题型13 直线与圆相切 38 考点6 圆与圆的位置关系 41 题型14 圆与圆的位置关系 43 题型15 两圆的公共弦 46 题型16 两圆的公切线 49 考点1 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为 2.倾斜角的取值范围 二、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度 4.越大，直线越陡峭 三、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点， 则 当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 四、利用斜率证三点共线. 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在. 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 4．（25-26高二上·山东·阶段练习）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为 . 5．（25-26高二上·江西·阶段练习）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·四川·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段练习）已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 考点2 直线的方程 一、直线的方程 （1）直线的点斜式方程 设直线经过一点，斜率为，则方程叫作直线的点斜式方程. 注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 （2）直线的斜截式方程 设直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为，这个方程叫作直线的斜截式方程. （3）直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 （或）. ②当时，直线方程为 （或）. （4）直线的截距式方程 设直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为，且则方程叫作直线的截距式方程. 注意：当直线在轴上的截距、轴上的截距都为0时，可设直线方程为，利用直线经过的点的坐标求解，得到直线方程. （5）直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于的二元一次方程（其中不同时为0）叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程（不全为0）， 当时，方程可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当时，它表示垂直于轴的直线. 当时，，方程可以写成x=，它表示垂直于轴的直线. 二、两条直线平行或垂直 （1）两直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2， 则有. 2 当直线不重合且斜率都不存在时， （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，. （3）一般式表示 直线 与 1 两直线平行不重合 且 2 两直线垂直 题型3 直线的方程 1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为 . 2．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线过点，直线.若，则直线的一般式方程为 . 4．（多选题）（24-25高二上·云南·阶段练习）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 5．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 6．（多选题）（25-26高二上·福建·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在y轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D．点在直线l：上，直线l方程为 题型4 两直线平行与垂直 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线：与直线：平行，则的值为 ． 3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选题）（广东省多校2025-2026学年高二上学期10月份联考数学试卷）已知直线，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 5．（多选题）（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 6．（多选题）（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 7．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 考点3 直线的交点与距离公式 一、直线的交点 直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 二、距离公式 （1）两点间的距离公式：设，则 （2）点到直线距离公式：设，，则点到直线的距离 （3）两平行线间距离公式：，，则的距离为． 三、点、直线的对称 （1）点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） （2）直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 （3）点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． （4）直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 4 若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 题型5 直线的交点问题 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ． 5．（多选题）（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 题型6距离公式的应用 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段练习）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 2．（25-26高二上·吉林·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（    ） A．过原点 B．过点 C．且 D．直线可能过点 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 5．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）两条平行直线与之间的距离为（    ） A．6 B．5 C． D． 题型7 点、直线的对称问题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 考点4 圆的方程 一、圆的方程 （1）圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 （2）圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）直径圆方程: 以 为直径的圆的方程为 二、点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： （1）若在圆外 或 ，则， （2）若在圆上 或, 则， （3）若在圆内 或 ．则， 3、 圆的轨迹 （1）直接法 根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 （2）定义法 1 到定点的距离等于定 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 到两定点距离之比为定值： 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 圆的半径 （用角分线原理来证明） 题型8 圆的方程 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知圆心在直线上，且与轴交于，两点，则圆的标准方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南郑州·阶段练习）圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 6．（多选题）（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 7．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）方程表示圆，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型9 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆内，则实数m的取值范围是 . 4．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是 . 5．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 题型10 圆的轨迹 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为 . 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 考点5 直线与圆位置关系 一、直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 代数意义 交点个数 0 1 2 联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程 二、直线与圆相交弦长 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1) 几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2) 代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或. 三、求圆的切线方程 (1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. 重要结论： 1 经过圆上一点的切线方程为 2 经过圆上一点的切线方程为 3 经过圆上一点的切线方程为 (2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 1 几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值. 2 代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值. 四、求切线长 过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长 题型11 直线与圆位置关系 1．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 5．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 6．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内含 C．相切 D．相交 题型12 直线与圆相交 1．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2025高二·福建·专题练习）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 4．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，点在圆上，且，若，则（   ） A． B．4 C． D． 5．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．-1 C． D．2 6．（25-26高二上·江苏·阶段练习）设b为实数，已知圆，直线l：．根据下列条件求实数b的取值或范围． (1)当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ (2)当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ (3)当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ 题型13 直线与圆相切 1．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线经轴反射，反射光线与圆恰有一个公共点，则 . 2．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点在圆上，点，若的最小值为1，则过点且与圆相切的直线方程为 . 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 4．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 6．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 考点6 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交； 当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 二、两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    三、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 四、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 题型14 圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆与，则两圆位置关系是 . 2．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 3．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型15 两圆的公共弦 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A．2 B．4.5 C．5 D．6.5 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 3．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆和圆的公共点为，，则（    ） A． B．直线的方程是 C． D．为等腰三角形 4．（多选题）（25-26高二上·重庆·阶段练习）圆和圆的交点为A， B，则有（   ） A．圆的圆心为，半径为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．线段AB中垂线方程为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 5．（多选题）（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 6．（多选题）（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为4 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 题型16 两圆的公切线 1．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为 ． 4．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； (3)求圆和圆的公切线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直线与圆的方程复习 目录 考点1 直线的倾斜角与斜率 1 题型1 直线的倾斜角与斜率 2 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 4 考点2 直线的方程 8 题型3 直线的方程 10 题型4 两直线平行与垂直 12 考点3 直线的交点与距离公式 15 题型5 直线的交点问题 16 题型6距离公式的应用 18 题型7 点、直线的对称问题 21 考点4 圆的方程 23 题型8 圆的方程 24 题型9 点与圆的位置关系 27 题型10 圆的轨迹 29 考点5 直线与圆位置关系 31 题型11 直线与圆位置关系 33 题型12 直线与圆相交 34 题型13 直线与圆相切 38 考点6 圆与圆的位置关系 41 题型14 圆与圆的位置关系 43 题型15 两圆的公共弦 46 题型16 两圆的公切线 49 考点1 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为 2.倾斜角的取值范围 二、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度 4.越大，直线越陡峭 三、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点， 则 当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 四、利用斜率证三点共线. 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在. 题型1 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高二上·山东·阶段练习）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【详解】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 5．（25-26高二上·江西·阶段练习）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，由正切函数的性质可得， 故选：C. 6．（多选题）（25-26高二上·四川·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得直线恒过点，再求出，的值，结合图象求解即可. 【详解】直线恒过点，且斜率为， 因为，，如图所示： 由图知，当时，直线与线段没有交点，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，观察该直线倾斜角的变化，可得出的取值范围. 【详解】如下图所示： 将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转， 当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则； 当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则， 当直线与轴重合时，. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交，   由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k取值范围是 ，其倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据直线与线段相交可得出直线斜率范围，再由正切函数的性质得出倾斜角的范围. 【详解】因为， 又过点的直线l与线段AB有公共点，如图，    所以，即； 因为，所以， 由正切函数的性质可知或. 故答案为：； 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段练习）已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 考点2 直线的方程 一、直线的方程 （1）直线的点斜式方程 设直线经过一点，斜率为，则方程叫作直线的点斜式方程. 注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 （2）直线的斜截式方程 设直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线方程为，这个方程叫作直线的斜截式方程. （3）直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 （或）. ②当时，直线方程为 （或）. （4）直线的截距式方程 设直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为，且则方程叫作直线的截距式方程. 注意：当直线在轴上的截距、轴上的截距都为0时，可设直线方程为，利用直线经过的点的坐标求解，得到直线方程. （5）直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于的二元一次方程（其中不同时为0）叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程（不全为0）， 当时，方程可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当时，它表示垂直于轴的直线. 当时，，方程可以写成x=，它表示垂直于轴的直线. 二、两条直线平行或垂直 （1）两直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2， 则有. 2 当直线不重合且斜率都不存在时， （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，. （3）一般式表示 直线 与 1 两直线平行不重合 且 2 两直线垂直 题型3 直线的方程 1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知直线经过点，且直线的方向向量，则直线的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】由直线的方向向量求得直线斜率，再由点斜式即得直线方程. 【详解】由直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又直线经过点，故其方程为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）过点且斜率为的直线，其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程的点斜式直接判断. 【详解】因为过点且斜率为的直线， 其点斜式方程为：. 故选：A 3．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线过点，直线.若，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程. 【详解】直线的斜率，由，得直线的斜率， 而直线过点，则直线的方程为，即. 故答案为： 4．（多选题）（24-25高二上·云南·阶段练习）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 5．（多选题）（25-26高二上·江西·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】对于A，先求，根据直线的方向向量的定义判断A，对于B，结合倾斜角为的直线方程的形式判断，对于C，结合直线方程的两点式的适用范围判断，对于D，先求过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0的直线方程，再利用截距式求过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0的直线方程，由此判断D. 【详解】对于A，，所以， 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选：AB. 6．（多选题）（25-26高二上·福建·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线在y轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D．点在直线l：上，直线l方程为 【答案】CD 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断． 【详解】对于A，直线方程为，令，则， 即直线在y轴的截距是，故A错误； 对于B，设直线倾斜角为， 直线，故直线的斜率是， 则，则，故B不正确； 对于C，若直线l的方向向量是，则直线l的斜率是，故C正确； 对于D，点在直线l：上，则， 即， 直线可化为，故D正确． 故选：CD 题型4 两直线平行与垂直 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线：与直线：平行，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两条直线平行的条件列出关于的方程求解． 【详解】直线：与直线：平行， ，即，解得，且，满足两直线不重合条件， ． 故答案为：． 3．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知为实数，直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若，则，故， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（多选题）（广东省多校2025-2026学年高二上学期10月份联考数学试卷）已知直线，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据两直线平行和垂直分别列出方程求出的值，对照各选项即可判断. 【详解】若，则，解得或. 当时，，方程均为，此时与重合； 当时，，，此时. 所以时，，故A正确，B错误. 若，则，解得，所以C正确，D错误. 故选：AC. 5．（多选题）（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 【答案】BC 【分析】AD选项，可举出反例；BC选项，根据斜率于直线的平行，垂直关系可以判定. 【详解】A选项，当斜率均不存在，也平行，故A错误； B选项，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确； C选项，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为，则两直线垂直，故C正确； D选项，当两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，也垂直，故D错误. 故选：BC 6．（多选题）（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 【答案】BCD 【分析】由直线斜率与倾斜角关系可判断A，由直线平行、垂直关系可判断BC，由截距概念可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，经验证符合，故C正确； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选：BCD． 7．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【详解】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 考点3 直线的交点与距离公式 一、直线的交点 直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 二、距离公式 （1）两点间的距离公式：设，则 （2）点到直线距离公式：设，，则点到直线的距离 （3）两平行线间距离公式：，，则的距离为． 三、点、直线的对称 （1）点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） （2）直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 （3）点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． （4）直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 4 若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 题型5 直线的交点问题 1．（25-26高二上·江西·阶段练习）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【详解】由题，解得，则交点为， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 2．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【分析】由题意，直线不过另外两条直线的交点，且与它们不平行，列出不等式即可得解. 【详解】联立直线方程，即直线的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以不过，且与都不平行， 即，所以，满足的条件为且且. 故选：BC. 3．（25-26高二上·浙江舟山·阶段练习）方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件的定义，结合两直线交点的求法、代入法进行求解即可. 【详解】，或， 由， 直线，和直线的交点为， 把代入中，得， 显然直线，直线，直线是三条不同的直线， 故选：A 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 5．（多选题）（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 题型6距离公式的应用 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段练习）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 2．（25-26高二上·吉林·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，故， 两边平方得，解得或. 故选：D 3．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（    ） A．过原点 B．过点 C．且 D．直线可能过点 【答案】ABD 【分析】通过直线与直线平行或相交，通过特殊值逐个判断即可. 【详解】由得，直线方程为 对于A，取，则过原点和平行，满足点到直线的距离相等，正确； 对于B，当直线与直线相交时， 因为点到直线的距离相等， 所以的中点在直线上，B正确； 对于C，当时，即，此时直线与直线相交， 由B可知：，若，则，前后矛盾，C错误； 对于D，当直线与直线相交时， 由B可得，即， 即直线可能过点，D正确， 故选：ABD 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 5．（多选题）（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设与直线平行的直线方程为 ，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为 ，由两平行直线间的距离公式可得 ，解得或，故所求直线方程为 或． 故选：AD 6．（多选题）（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 7．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）两条平行直线与之间的距离为（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】借助平行线间距离公式计算即可得. 【详解】因为直线与平行，所以， 直线即为， 所以两条平行直线之间的距离为. 故选：C. 题型7 点、直线的对称问题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 5．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：B 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过点，然后利用关于原点对称的性质求出其对称点，即可得解. 【详解】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点. 故选：A 考点4 圆的方程 一、圆的方程 （1）圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 （2）圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）直径圆方程: 以 为直径的圆的方程为 二、点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： （1）若在圆外 或 ，则， （2）若在圆上 或, 则， （3）若在圆内 或 ．则， 3、 圆的轨迹 （1）直接法 根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 （2）定义法 1 到定点的距离等于定 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 到两定点距离之比为定值： 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 圆的半径 （用角分线原理来证明） 题型8 圆的方程 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线恒过定点，则以为圆心，2为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定点后结合圆的标准方程定义即可得. 【详解】，令，解得， 故直线恒过定点， 则以为圆心，2为直径的圆的方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知圆心在直线上，且与轴交于，两点，则圆的标准方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意圆心在线段的中垂线上，即可求出圆心坐标，再求出圆的半径，即可得解. 【详解】因为圆与轴交于，两点，线段的中垂线方程为， 所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，由，解得，所以圆心坐标为， 又点与两点间的距离为半径，即半径， 所以所求圆的方程为. 故选：A 3．（25-26高二上·河南郑州·阶段练习）圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由圆心在直线上，经过原点，可设圆的方程为，由在轴上截得弦长为2，可算得a，即可求解. 【详解】由圆心在直线上，经过原点，可设圆的方程为， 令，得， 由在轴上截得弦长为2，得，， 所以圆的方程为或. 故选：C 4．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知点，点B，C是直线与圆的交点，则经过点A，B，C的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】由题设圆的方程为：，代入，即可求得方程. 【详解】因点B，C是直线与圆的交点， 则设过B，C的圆的方程为：，代入， 则，则过过点A，B，C的圆的方程是： . 故答案为： 6．（多选题）（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】AD 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 7．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）方程表示圆，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的定义计算判断. 【详解】因为方程表示圆， 则或. 故选：A. 题型9 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆及点在圆外，列出不等式求解. 【详解】方程表示圆， 则，即，解得或. 点在圆外， 则，即，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆内，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 4．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点在圆外，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 5．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标 ． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型10 圆的轨迹 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 2．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 3．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，，根据为的中点可得，进而代入圆的方程即可求解. 【详解】设，， 由于为的中点，则，即， 又在圆上 所以，则， 所以的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设中点为，由直角三角形和圆的性质，有，代入坐标化简可得结果. 【详解】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内， 设中点为，如图所示， 因为，，所以， 所以，化简得. 即的轨迹方程为. 故答案为：. 考点5 直线与圆位置关系 一、直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图形 代数意义 交点个数 0 1 2 联立直线与圆方程后得到关于的一元二次方程 二、直线与圆相交弦长 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1) 几何法(推荐)：半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2) 代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②联立直线与圆的方程，方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，弦长或. 三、求圆的切线方程 (1) 定点在圆上：过圆上一点与圆相切的直线有一条 求切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. 重要结论： 1 经过圆上一点的切线方程为 2 经过圆上一点的切线方程为 3 经过圆上一点的切线方程为 (2) 定点在圆外：过圆外一点与圆相切的直线有二条 求切线方程 1 几何法（主要方法）：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知数的值. 2 代数法：设出切线的方程，利用，求出未知数的值. 四、求切线长 过圆外一点作圆的切线，切点为A，则切线长 题型11 直线与圆位置关系 1．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出圆心及半径，再应用点到直线距离求出即可判断直线和圆的位置关系. 【详解】因为圆C的方程为，所以圆心为半径为， 则圆心到直线距离，所以，所以则直线l与圆C相交. 故选：A. 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，判断坐标参数的关系，根据圆心到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C外，可知， 可得， 圆心到直线的距离， 因为，所以，所以直线与圆相交； 故选：B. 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 5．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C 6．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内含 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】根据条件，利用两圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆心距为，又， 则，所以两圆相交， 故选：D. 题型12 直线与圆相交 1．（25-26高二上·江西鹰潭·阶段练习）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 即曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆在轴及轴上方部分的半圆， 直线经过定点，如图， 当直线与半圆相切时，， 所以直线与曲线恰有两个公共点时，由图可知，， 即. 故选：D． 2．（2025高二·福建·专题练习）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系分析判断可得. 【详解】直线过定点， 由，得到（）， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示： 当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点， 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值. 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 4．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知直线：与圆：交于，两点，点在圆上，且，若，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设弦的中点为，根据题意结合数量积的运算律可得，结合垂径定理整理可得，代入运算求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：过定点， 则，可知点在圆内，可知直线与圆必相交， 设弦的中点为，则， 因为，可得，    则， 又因为， 可得，可得，即， 所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．-1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可. 【详解】直线化简为，即直线恒过定点. 当时，取得最小值. ，则直线的斜率为，解得. 故选：B 6．（25-26高二上·江苏·阶段练习）设b为实数，已知圆，直线l：．根据下列条件求实数b的取值或范围． (1)当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ (2)当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ (3)当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为1个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； （2）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为2个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； （3）首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为3个，可得：，然后根据关系式计算参数即可； 【详解】（1）由题知圆的方程为, 所以圆心为,半径为, 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 解得或. （2）若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 解得或. （3）因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 直线方程为:, 所以圆心到直线的距离为:, 解得, 故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于1． 题型13 直线与圆相切 1．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在平面直角坐标系中，一道光线沿直线经轴反射，反射光线与圆恰有一个公共点，则 . 【答案】 【分析】分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 因为直线：即为， 令，可得，即直线过定点， 根据对称性可知，直线过定点，斜率为， 则直线：，即， 依题意可得，整理可得，解得. 故答案为：.    2．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点在圆上，点，若的最小值为1，则过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】点与圆的位置关系，判断线段长度最小时的情况，列出方程，求出参数，根据直线与圆的位置关系，求出直线方程. 【详解】由题意得圆心为，半径为，当圆上点到点距离最近时，如下图所示； 可得，解得， 当斜率不存在时，切线为，满足题意； 当切线斜率存在时，设直线：， 根据点到线距离公式可得，解得， 所以方程为，化简得； 故答案为：或. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 6．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据切线长，将所求问题转化为求的最小值，进而利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中， ， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 故答案为：2    考点6 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系的判定方法 几何法：利用圆心距和两圆半径比较大小，设圆与圆的圆心距为，则有 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 四条 外切 三条 相交 两条 内切 一条 内含 无 代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交； 当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 二、两圆公切线位置情况 位置关系 公切线条数 图示 外离 4      外切 3    相交 2      内切 1    内含 0    三、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 四、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 题型14 圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆与，则两圆位置关系是 . 【答案】相交 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】由题意得 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， ，，， ∵， ∴圆与圆两圆相交 故答案为：相交. 2．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 【答案】(1)相离 (2)不存在 【分析】（1）将代入圆，求出圆、圆的圆心和半径，求出两圆的圆心距，判断圆心距与两个半径的和或差的绝对值的大小关系得解； （2）求出圆、圆的圆心和半径，若圆与圆内含，得到两圆的圆心距与两个半径差的绝对值的不等式，计算得到无解，从而得到结论. 【详解】（1）当时，圆，即， 圆心，半径， 又圆，圆心，半径， 两圆的圆心距，， ，当时，圆与圆相离. （2）圆，化为， 则圆心，半径， 若圆与圆内含，则，即， 可得，显然无解， 不存在实数，使得圆与圆内含. 3．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 题型15 两圆的公共弦 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A．2 B．4.5 C．5 D．6.5 【答案】B 【分析】计算两圆圆心距离及其半径之和与之差的关系可得两圆位置关系，则可将两圆方程相减得到公共弦方程，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径，圆圆心为，半径， 则，，， 则，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即为，则在，即有， 则， 当且仅当，即、时等号成立，即的最小值为. 故选：B. 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 3．（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆和圆的公共点为，，则（    ） A． B．直线的方程是 C． D．为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，利用弦长公式逐项判断即可. 【详解】对于A，圆的圆心，半径为1，圆，圆心，半径为2，圆心距为2，故A错误； 对于B，公共弦所在的直线方程为：，即，故B正确； 对于C，圆心到的距离为，所以，故C正确； 对于D，，，，为等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选题）（25-26高二上·重庆·阶段练习）圆和圆的交点为A， B，则有（   ） A．圆的圆心为，半径为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．线段AB中垂线方程为 D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】求出圆的标准方程即可判断A选项，根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作差得出公共弦所在直线方程，判断选项B； 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项C；利用点到直线的距离即可判断选项. 【详解】对于，由圆：可得， 所以圆的圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由圆：与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故B正确； 对于C，圆：的圆心为，， 则线段中垂线斜率为，即线段中垂线方程为：，整理可得，故C正确； 对于D，圆，圆心到的距离为，半径， 所以P到直线AB距离的最大值为，故D不正确； 故选：ABC 5．（多选题）（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】ABC 【分析】两圆方程相减可求出直线的方程，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，求出，再由可求得结果，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，由于,故两圆相交，则公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B正确， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：ABC. 6．（多选题）（25-26高二上·江苏·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为4 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】ABD 【分析】利用两圆的公共弦方程计算可判定A，利用弦长公式可计算判定B，利用两直线位置关系结合圆的对称性可判定C，利用圆的性质结合图象可判定D. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以直线过圆心，易知为的中点， 又因，所以，所以垂直平分线段，，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为 ，D对. 故选：ABD. 题型16 两圆的公切线 1．（25-26高二上·湖南·阶段练习）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【分析】先判断两圆位置关系可得公切线条数，再分不同情况进行讨论即可得. 【详解】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 2．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 3．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先需要明确两个圆的圆心和半径，然后根据两圆恰有两条公切线的位置关系（相交），利用两圆相交时圆心距与两圆半径的关系来求解的取值范围. 【详解】圆：方程为，其圆心为，半径. 单位圆：圆心在原点，半径. 两圆的圆心距. 因为两圆恰有两条公切线，所以两圆相交，所以，即， 得，所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； (3)求圆和圆的公切线的方程. 【答案】(1)外离 (2) (3)，或，或，或 【分析】（1）根据两圆圆心距、半径和差之间的关系进行判断即可； （2）根据两圆外切的性质进行求解即可. （3）根据圆的公切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 因为， 所以圆和圆外离； （2）设圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆为圆， 因此圆的半径为， 直线的方程为，设圆的坐标为， 由，负值舍去， 圆的方程为 （3）当两圆的公切线不存在斜率时，设直线方程为， 所以有，即公切线方程为； 当两圆的公切线存在斜率时，设直线方程为， 所以有，或 当时，有，代入中， 得，，或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，， 此时公切线方程为； 当时，有，代入中，， 解得， 此时公切线方程为， 所以公切线方程为，或，或，或.    学科网（北京）股份有限公司 $