专题13 锐角三角函数3大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为（不为直角），其对边为、邻边为、斜边为，则： 正弦： ; 余弦：; 正切：; 二、特殊角的三角函数值 锐角 三、锐角三角函数的性质 取值范围：对于锐角，，，. 增减性： 正弦函数随锐角的增大而增大； 余弦函数随锐角的增大而减小； 正切函数随锐角的增大而增大. 同角三角函数关系： 平方关系： 商数关系： 互余角三角函数关系：若，则，. 四、锐角三角函数的应用 解直角三角形：在直角三角形中，已知除直角外的两个元素（至少一个是边），可利用三角函数求出其余未知元素. 实际应用：常见场景包括仰角、俯角问题，方位角问题，坡度、坡角问题等，核心是将实际问题转化为直角三角形问题求解. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一锐角三角函数的定义 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 2. 如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 4. 已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值． 题型二 特殊角的三角函数值 5. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（　　） A．sin30° B．sin45° C．cos60° D．tan45° 6. 在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sinC的值是（　　） A． B． C．1 D． 7. 若2sin（α+10°）＝1，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．35° C．50° D．80° 8. 计算：（1）； （2）2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 题型三 解直角三角形及其应用 9. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 10. 如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　） A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米 11. 如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度EF，小高用高1.5m的测量仪在点A处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2m，AB＝5m，则树顶离水面的高度EF为（结果保留一位小数，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　） A．9.1m B．7.6m C．8.6m D．8.1m 1. 如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B．2 C． D． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，，延长AC到点D，使得，连结BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（　　） A． B． C． D． 3. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（　　） A． B． C． D． 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠BPC的值是　　 ． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E是AD上一点，连接BE并延长交CD延长线于点F，且DF＝AB，，连接CA，若2∠ADC﹣∠ACB＝90°，BC＝6，则AD的长度为 　　 ． 6. 如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 1. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若tanA，则点C的位置可以在（　　） A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处 2. 定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 3. （1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为（不为直角），其对边为、邻边为、斜边为，则： 正弦： ; 余弦：; 正切：; 二、特殊角的三角函数值 锐角 三、锐角三角函数的性质 取值范围：对于锐角，，，. 增减性： 正弦函数随锐角的增大而增大； 余弦函数随锐角的增大而减小； 正切函数随锐角的增大而增大. 同角三角函数关系： 平方关系： 商数关系： 互余角三角函数关系：若，则，. 四、锐角三角函数的应用 解直角三角形：在直角三角形中，已知除直角外的两个元素（至少一个是边），可利用三角函数求出其余未知元素. 实际应用：常见场景包括仰角、俯角问题，方位角问题，坡度、坡角问题等，核心是将实际问题转化为直角三角形问题求解. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一锐角三角函数的定义 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【答案】【解析】由题意可得：， ∴． 故选：D． 2. 如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示：sinA，tanA，cosB，sinB，故选：C． 3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝5，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵AC＝5，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 4. 已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BD为AC边上中线，求sin∠ABD和tan∠ABD的值． 【解析】过D作DE⊥AB于E， 设BC＝2a，则AC＝2a，AD＝CD＝a，由勾股定理得：BDa， 由勾股定理得：AB2a， ∵∠A＝∠B＝45°，∠DEA＝90°， ∴AE＝DE＝AD×cosAaa， ∵在Rt△BED中，由勾股定理得：BEa， ∴sin∠ABD，tan∠ABD． 题型二 特殊角的三角函数值 5. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（　　） A．sin30° B．sin45° C．cos60° D．tan45° 【答案】D 【解析】∵sin30°，sin45°，cos60°，tan45°＝1， ∴最大值为tan45°． 故选：D． 6. 在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，sinC的值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】∵∠A＝105°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°， ∴sinC＝sin30°． 故选：A． 7. 若2sin（α+10°）＝1，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．35° C．50° D．80° 【答案】A 【解析】由条件可知， ∵，且α为锐角，∴α+10°＝30°， ∴α＝20°， 故选：A． 8. 计算：（1）； （2）2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 【解析】（1）原式1 1 ＝1； （2）原式＝223×1 ＝1+1﹣3 ＝﹣1． 题型三 解直角三角形及其应用 9. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D， ∵∠B＝45°， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴AD＝DB， ∵∠C＝60°． ∴∠CAD＝30°， ∵AC＝4， ∴CD2， ∴AD＝BD＝2， ∴BC＝2+2 ∴△ABC的面积•BC•AD2（2+2）＝26．故选：D． 10. 如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　） A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】AB的长为12米，AB与AC的夹角为α， ∴在Rt△ABC中，，BC＝12sinα（米）． 故选：A． 11. 如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度EF，小高用高1.5m的测量仪在点A处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2m，AB＝5m，则树顶离水面的高度EF为（结果保留一位小数，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　） A．9.1m B．7.6m C．8.6m D．8.1m 【答案】A 【解析】如图，过点A作AM⊥EF于点M， 由题意得：MF＝2m，∠ECH＝45°，∠EDH＝28°，AC＝BD＝HM＝1.5m，AB＝CD＝5m， ∵∠ECH＝45°，∠EHC＝90°， ∴△CHE是等腰直角三角形， 设EH＝CH＝x， ∵∠EDH＝28°， ∴， 解得：x≈5.6（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴EF＝EH+HM+MF＝5.6+1.5+2＝9.1（m）， ∴树顶离水面的高度EF为9.1m，故选：A． 1. 如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】过点B作BE⊥AC，垂足为E．由于点都在格点上， ∴AC5， BC． ∵S△ABC＝S△ADC﹣S△BCDCD•AD﹣CD•BD5×55×2 ＝12.5﹣5 ＝7.5． S△ABCCA•BE，∴BE． ∴CE． ∴tan∠ACB．故选：D． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，，延长AC到点D，使得，连结BD，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点B作BF⊥AC，交AC于点F， 由条件可知，设BF＝3x，则AB＝5x，∴AB＝AC＝5x，， ∴CF＝AC﹣AF＝x， ∴，∵， ∴CD＝2x， ∴FD＝CF+CD＝3x， ∴FD＝BF， 由条件可知∠FDB＝45°， ∵过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，即BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠BDE﹣∠FDB＝45°， 过点E作EG⊥CD，交CD于点G， ∴∠GED＝∠CDE＝45°，∴GD＝GE，设GD＝GE＝y， ∴CG＝CD﹣GD＝2x﹣y， ∵∠CGE＝∠CFB＝90°，∠GCE＝∠FCB，∴△CGE∽△CFB， ∴，∴，∴，∴， ∴CE， ∴，故选：D． 3. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE，＝BC＝15km， 由题意得：∠DCF＝60°， ∴，， ∴， 由题意得，∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴， ∴．故选：C． 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠BPC的值是　　 ． 【答案】2 【解析】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上， 取格点E，连接AE、BE，如图所示： 根据图形可知：BE∥CD，∴∠ABE＝∠BPC， ∵，，， 又∵， ∴△ABE为直角三角形，∴． 故答案为：2． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E是AD上一点，连接BE并延长交CD延长线于点F，且DF＝AB，，连接CA，若2∠ADC﹣∠ACB＝90°，BC＝6，则AD的长度为 　　 ． 【答案】 【解析】设∠ACB＝α， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠DCA＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣α， ∵2∠ADC﹣∠ACB＝90°， ∴∠ADC（90°+∠ACB）＝45°， 在△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠DCA＝180°， ∴∠DAC+45°90°﹣α＝180°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠ADC＝∠DAC＝45°， ∴AC＝CD， 在Rt△BCF中，BC＝6，tan∠F，∴， ∴CF＝8， 设AB＝x，则DF＝AB＝x， ∴CD＝CF﹣DF＝8﹣x， ∴AC＝CD＝8﹣x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+62＝（8﹣x）2，解得：x， ∴DF＝AB＝x，AC＝CD＝8﹣x， 过点A作AH⊥CD于H，如图所示： ∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形ABCH是矩形， ∴CH＝AB＝x，AH＝BC＝6， ∴DH＝CD﹣CH， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD．故答案为：． 6. 如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【解析】（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 1. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若tanA，则点C的位置可以在（　　） A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处 【答案】D 【解析】过点C1作C1D1⊥AB于点D1，连接AC1，如图， ∴AD1＝1，C1D1＝2，∴， ∴A选项不符合题意；如图， 由题意：C2B⊥AB，C2B＝2，AB＝5，∴AD2＝4，C2D2＝2， ∴tanA， ∴B选项不符合题意； 过点C3作C3D3⊥AB于点D3，连接AC3，BC3如图， ∴AD3＝2，C3D3＝4，∴， ∴C选项不符合题意； 过点C4作C4D4⊥AB交AB延长线于点D4，连接AC4，BC4如图， ∴AD4＝8，C4D4＝4，∴，∴D选项符合题意；故选：D． 2. 定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【答案】 【解析】如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形，∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD，∴secA． 3. （1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数． （2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　90　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值． 【解析】（1）如图所示，取格点E、F，连接BC， ，， ∴∠α＝∠BAE，∠β＝∠CAF ，， ， ∴，AC2＝（10）2＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝∠α+∠β＝45°； （2）∵∠α，∠β均为锐角，，， ∴∠α＝60°，∠β＝30°， ∴∠α+∠β＝90°；故答案为：90； （3）如图所示，， ∴tan∠HDG＝tanα，tan∠HDF＝tanβ， ∴∠HDG＝∠α，∠HDF＝∠β， ∴∠α+∠β＝∠HDF+∠HDG＝∠GDF； ∴，， ， ∴， ∴DG2+FG2＝DF2， ∴∠FGD＝90°， ∴， ∵∠α+∠β＝∠θ， ∴∠θ＝∠FDG，∴． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $