专题11 相似及其性质4大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 相似及其性质 一、相似图形相关定义 相似图形：形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）. 相似三角形：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的相似比等于对应边的比，对应角相等. 二、相似的性质 相似多边形的性质 对应角相等，对应边成比例. 周长的比等于相似比. 面积的比等于相似比的平方. 对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比. 相似三角形的特殊性质 除具备相似多边形的所有性质外，相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方. 若两个三角形相似，且相似比为，则设其中一个三角形的边长为、、，周长为，面积为，对应高为，对应中线为，对应角平分线为；另一个三角形的对应边长为、、，对应周长为，对应面积为，对应高为，对应中线为，对应角平分线为. 三、相似的判定 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 相似多边形的判定：对应角相等，对应边成比例. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 相似的概念及性质 1. 下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与图中所给图形相似的是 ． 故选：D． 2. 已知△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长是6，则△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△DEF，， 所以周长的比为1：2， ∵△ABC的周长为6， ∴△DEF的周长为12． 故选：C． 3. 如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【解析】由题意得，△AOB∽△COD， ∵OB＝2，OD＝6， ∴△AOB与△COD的相似比为OB：OD＝2：6＝1：3， 故选：C． 题型二 相似的判定 4. 如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中，能判定△ACD∽△ABC相似的是（　　） A．∠ADC＝∠B B．AC•BC＝CD•AB C．AC2＝AD•AB D．AC2＝AD•BD 【答案】D 【解析】∵∠A＝∠A，， ∴△ACD∽△ABC． ∴能判定△ACD∽△ABC相似的是， 此时AC2＝AD•AB， 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边以每秒4cm的速度移动．P、Q分别从B、A同时出发，经过　　 秒钟后，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】0.8秒或2秒 【解析】设在开始运动后第x秒，△APQ与△ABC相似，由题意得：BP＝2xcm，PA＝（8﹣2x）cm，AQ＝4xcm， 分两种情况考虑：当∠APQ＝∠C，∠A＝∠A时，△APQ～△ACB； ∴，即， 解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△APQ与△ABC相似； 当∠APQ＝∠B，∠A＝∠A时，△APQ～△ABC， ∴，即， 解得：x＝2， 当x＝2秒时，△APQ与△ABC相似， 综上，当x＝0.8秒或2秒时，△APQ与△ABC相似．故答案为：0.8秒或2秒． 题型三相似的实际应用 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　） A．30cm B． C．20cm D． 【答案】B 【解析】根据题意得CD∥AB，∴△COD∽△BOA， ∴， ∵AB＝50cm， ∴，故选：B． 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝2m，BD＝1m，AQ＝10m，则树高PQ＝　　 m． 【答案】5 【解析】∵点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△AQP， ∴， ∵AB＝2m，BD＝1m，AQ＝10m， ∴， 解得PQ＝5，∴PQ＝5m，故答案为：5． 题型四位似及其应用 8. 如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0），∴， ∵∠DOE＝∠DOE， ∴△DOE∽△D'OE'， ∴， ∵DE＝3，∴，故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【答案】B 【解析】∵以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，△OA′B′与△OAB的相似比为2：1， ∴点A（2，1）的对应点A′的坐标为（﹣2×2，﹣2×1），即（﹣4，﹣2）．故选：B． 10. 如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 【答案】D 【解析】∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2）， ∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3，2），即（1，），故选：D． 1. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　） A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【解析】观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：D． 2. 如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点E为射线OB上的一个动点，现将线段OE绕点O顺时针旋转60°得到线段OE'，连接AE'，则当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，BE的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】∵四边形ABC是菱形，且AB＝8，对角线AC，BD交于点O， ∴AB＝CB＝8，OA＝OCAC，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°， ∴△AOB是直角三角形， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝8，∠AOB∠ABC＝30°，∴OA＝OCAC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB， 由旋转性质得：OE＝OE'，∠EOE'＝60°， ∴∠AOE'＝∠AOB﹣∠EOE'＝30°， ∴∠AOE'＝∠AOB＝30°， ∴当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，有以下两种情况： ①当∠E'＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△AOB，∴， ∴，∴OE'， ∴OE＝OE'，∵点E为射线OB上的一个动点， ∴BE＝OB﹣OE， 此时BE的长度为； ②当∠E'AO＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△OAB，∴，∴， ∴OE'，∴OE＝OE'，∵点E为射线OB上的一个动点， ∴BE＝OB﹣OE， 此时BE的长度为，综上所述：BE的长度为或．故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，若PA′与Rt△OAB的OB边垂直，则点P的坐标为（　　） A． B．（5，6） C． D． 【答案】A 【解析】如图2中，设PA'交OB于点T． ∵∠OAB＝90°，OE＝EB，∴EA＝EO＝EB＝5， ∴∠EAB＝∠B，由翻折的性质可知∠EAB＝∠A'， ∴∠A'＝∠B，∵A'P⊥OB， ∴∠ETA'＝∠BAO＝90°， ∴△A'TE∽△BAO，△AOB∽△TPB ∴，，∴，∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2， ∵，∴，∴PB＝2.5 ∴AP＝AB﹣PB＝8﹣2.5＝5.5，∴P（5.5，6），故选：A． 4. 如图，在矩形ABCD中，F为AB中点，连结DF，过点B作DF垂线，交DF延长线于点E，连结CE，若，则　　 ．（用含有k的代数式表示） 【答案】 【解析】延长DE交CB的延长线于G， ∵F是AB中点，∴AF＝FB， 在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠FBG＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠A，∵∠AFD＝∠BFG， ∴△GBF≌△DAF（SAS）， ∴AD＝BG＝BC， ∵△BCE与△GEG有相同的高，∴S△BCE＝S△BEG， ∴k， ∵BE⊥FG，即∠BEF＝∠FBG＝90° ∴∠FBE+∠EBG＝90°＝∠FBE+∠FBE， ∴∠BFE＝∠EBG， ∵∠FEB＝∠GEB＝90°，∴△BEG∽△BEF， ∴k， ∴，即， ∴，∴；故答案为：． 5. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”．“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”； 小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．” 结合上述师生的交流： （1）请你证明小聪发现的结论； （2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．” 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， ∴∠OAE＝∠OEM＝45°， ∵∠AOE＝∠EOM， ∴△AOE∽△EOM； （2）解：∵△AEH≌△BFE， ∴BE＝AH＝1， ∵AE＝3， ∴HE， ∵△HEG和△ABC是等腰直角三角形， ∴EGHE＝2，ACAB＝4， ∴OAAC＝2，OEEG， ∵△AOE∽△EOM， ∴OE：OM＝OA：OE， ∴：OM＝2：，∴OM，∵图2是中心对称图形， ∴MN＝2OM． 1. 将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 【答案】D 【解析】由折叠可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC， ∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；∴△ADE∽△ACB∽△AMN， ∴，， ∴BC＝2DE，DE＝2MN， ∴BC＝4MN， ∴BC＝2DE＝4MN，故B正确，不符合题意； ∵MN∥PQ∥BC， ∴，，， ∴，，故C正确，不符合题意； ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意，故选：D． 2. 在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为　　 cm． 【答案】 【解析】在正方形ABCD中，AB的长为10cm，如图，连接PD， ∴AD＝AB＝10cm， ∵点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE）， ∴DE（cm）， ∵四边形DEPQ是正方形， ∴PE＝DE，∠PED＝90°， ∴PD（cm）． 故答案为：． 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，CB＝3，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；…按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2025的值为　　 ． 【答案】 【解析】在矩形ABCD中，AB＝1，CB＝3，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD，则： ∴AB⊥BC， ∴， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1， ∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的边长的比为， ∴矩形ACC1B1的面积和矩形ABCD的面积的比10：9， ∵S1＝3×1＝3，，，⋯ ， ∴，故答案为：． 4. 如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1在射线OB上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积为1、4，则面积小于2025的阴影三角形共有　　 个． 【答案】6 【解析】由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知，， 由A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3，得，，所以可得OA1＝A1A2， 得出规律：；又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4， ∴，，继而可推出，，，，， 故可得小于2025的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案为：6． 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 相似及其性质 一、相似图形相关定义 相似图形：形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）. 相似三角形：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的相似比等于对应边的比，对应角相等. 二、相似的性质 相似多边形的性质 对应角相等，对应边成比例. 周长的比等于相似比. 面积的比等于相似比的平方. 对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比. 相似三角形的特殊性质 除具备相似多边形的所有性质外，相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方. 若两个三角形相似，且相似比为，则设其中一个三角形的边长为、、，周长为，面积为，对应高为，对应中线为，对应角平分线为；另一个三角形的对应边长为、、，对应周长为，对应面积为，对应高为，对应中线为，对应角平分线为. 三、相似的判定 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 相似多边形的判定：对应角相等，对应边成比例. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 相似的概念及性质 1. 下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 2. 已知△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长是6，则△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 3. 如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 题型二 相似的判定 4. 如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中，能判定△ACD∽△ABC相似的是（　　） A．∠ADC＝∠B B．AC•BC＝CD•AB C．AC2＝AD•AB D．AC2＝AD•BD 5. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边以每秒4cm的速度移动．P、Q分别从B、A同时出发，经过　　 秒钟后，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 题型三相似的实际应用 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　） A．30cm B． C．20cm D． 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝2m，BD＝1m，AQ＝10m，则树高PQ＝　　 m． 题型四位似及其应用 8. 如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（　　） A． B．4 C． D．5 9. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 10. 如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 1. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（　　） A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2. 如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点E为射线OB上的一个动点，现将线段OE绕点O顺时针旋转60°得到线段OE'，连接AE'，则当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，BE的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，若PA′与Rt△OAB的OB边垂直，则点P的坐标为（　　） A． B．（5，6） C． D． 4. 如图，在矩形ABCD中，F为AB中点，连结DF，过点B作DF垂线，交DF延长线于点E，连结CE，若，则　　 ．（用含有k的代数式表示） 5. 如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”．“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流： 吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”； 小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”； 小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．” 结合上述师生的交流： （1）请你证明小聪发现的结论； （2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．” 1. 将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQNQ D． 2. 在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为　　 cm． 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，CB＝3，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2相似于矩形ACC1B1；…按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作S1，矩形ACC1B1的面积记作S2，矩形AC1C2B2的面积记作S3，…，则S2025的值为　　 ． 4. 如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1在射线OB上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积为1、4，则面积小于2025的阴影三角形共有　　 个． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $