专题12 相似三角形模型6大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 相似三角形模型 一、相似三角形基础 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示. 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例（比例称为相似比，记为）. 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（）. 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 二、常见相似三角形模型 A字型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边相交，构成的小三角形与原三角形相似（含“正A字”和“斜A字”）. 8字型模型：两条直线相交，形成对顶角，另外两组边分别平行或共线，构成的两个三角形相似（含“正8字”和“斜8字”）. 母子相似模型：直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形与原直角三角形均相似（即“母子直角三角形相似”）. 一线三等角模型：在一条直线上有三个相等的角，这三个角的两边分别相交，构成的两个三角形相似（常见于直角、60°角、45°角等）. 旋转相似模型：两个三角形通过旋转后，对应角相等、对应边成比例，仍保持相似关系. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 A字型 1. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解析】△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC， ∴EH∥BC∥FG， ∴△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC， ∴AE＝EF＝BF， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，S△AFG﹣S△AEH＝S阴影， ∴， ∴， ∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝54﹣24＝30，故选：C． 题型二 母子型 2. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝6，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为　　 ． 【答案】 【解析】∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∴， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，S△ABD＝a， ∴，即，∴， 故答案为：． 题型三 X字型 3. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为12cm、9cm，若CD的长为2cm，则AB的长为（　　） A． B．2cm C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点O作OF⊥CD并延长FO交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴，∴，故选：C． 4. 如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边BC上，连接CF，DE，交于点G．若DE∥AC，BD＝2AD，BF＝2DF，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，DE∥AC，过点B作BP∥AC，交CF的延长线于点P， ∴BP∥DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC，△GCE∽△PCB，∴，， ∵BD＝2AD，AB＝BD+AD， ∴， ∴，∴BP＝3EG， ∵BP∥DG，∴△BFP∽△DFG， ∴，∵BF＝2DF，∴， ∴BP＝2DG， 又∵BP＝3EG，∴3EG＝2DG，∴，故选：B． 题型四 手拉手型 5. 如图，∠1＝∠2，从下列条件“①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；②；④.”中选择一个作为添加条件，使△ABC∽△ADE．这个条件可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE， 当①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；④时，△ABC∽△ADE． 故选：B． 6. 如图，在△ABC和△ADE中，E是边BC上一点，且∠CAE＝∠BAD，AB•AE＝AC•AD． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若，AB＝8，BC＝10，求DE的长． 【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE， ∵AB•AE＝AC•AD，即， ∴△ABC∽△ADE； （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵，AB＝8，BC＝10，∴，解得DE＝8． 题型五 背靠背型 7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为　　 ． 【答案】 【解析】∵CD＝4，AD⊥BC，AD＝3， ∴， ∵在Rt△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠CAB＝∠CDA＝90°， ∵∠C＝∠C， ∴△CDA∽△CAB， ∴，∴，∴，∴， 故答案为：． 题型六一线三等角型 8. 如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B，当P在AB上何位置时，△ADP∽△PDC？ 【解析】当点P为AB的中点时，△ADP∽△PDC， ∵∠DPC＝∠A， ∴180°﹣∠DPC＝180°﹣∠A， ∴∠ADP+∠APD＝∠BPC+∠APD， ∴∠ADP＝∠BPC， ∵∠A＝∠B， ∴△ADP∽△BPC， ∴， ∵点P为AB 的中点， ∵AP＝BP， ∴，即， ∵∠DPC＝∠A， ∴△ADP∽△PDC． 1. 如图，在正方形ABCD中，边长为6，点E，F分别是AB，BC边上的点，且BE＝CF，DE平分∠ADB，连接AF，分别交BD，DE于点M，N．点G是DM的中点，连接NG．下列结论其中正确的有（　　）个． ①NG∥AD； ②∠FMC＝45°； ③DE垂直平分AM； ④BF2＝AF•EN； ⑤△DNG的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°， 在△CBM和△ABM中， ， ∴△CBM≌△ABM（SAS）， ∴∠BAM＝∠BCM，CM＝AM， ∵CF＝BE， ∴BC﹣CF＝AB﹣BE，即BF＝AE， 在△DAE和△ABF， ， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BFA， ∵∠DAF+∠BFA＝90°， ∴∠DAF+∠ADE＝90°， ∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝90°，即AM⊥DN， ∵DE平分∠ADB， ∴DE垂直平分AM，MN＝AN，故③正确； ∵点G是DM的中点， ∴NG为△AMD的中位线， ∴AD∥NG，故①正确； ∵∠FAB＝∠EAN，∠ABF＝∠ANE＝90°， ∴△ABF∽△ANE， ∴， ∵BF＝AE， ∴BF2＝EN•AF故④正确； ∵DE垂直平分AM， ∴AD＝DM＝CD＝6， ∴∠DMC＝∠DCM， ∵∠BAM+∠ABM＝∠BMF，∠BMF+∠CMF+∠DMC＝180°， ∴45°+∠BAM+∠CMF+∠DMC＝180°， ∵∠BCM+∠DCM＝90°，∠BCM＝∠BAM， ∴∠FMC＝45°，故②正确； 如图，作MH⊥AD于H， ， 则△DMH为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵MN＝AN， ∴， ∵点G是DM的中点， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：C． 2. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　 ． 【答案】 【解析】连接DE． ∵CD＝2BD，CE＝2AE， ∴2， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABD， ∴S△AEF＝S△BDF， ∴S△AEFS△ABD， ∵BDBC， ∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4， ∴△AEF的面积的最大值，故答案为：． 3. 如图，正方形ABCD中，将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG，AH，AG分别交对角线BD于点E，F．如果，那么EF•ED的值为　　 ． 【答案】19 【解析】由题意可知，在正方形ABCD中，∠BAC＝∠ADB＝45°， ∵将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG， ∴∠HAF＝∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠ADE＝45°， ∵∠AEF＝∠AED， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴．所以EF•ED的值为19， 故答案为：19． 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝2，则CE的长是 　　 【答案】 【解析】如图，过点E作EF⊥CD交BC于点F， ∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB＝45°，AB＝AE， 由勾股定理得，∴， ∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠CFE＝45°， ∴∠BFE＝180°﹣∠CFE＝135°， ∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣∠AEB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AED＝∠FBE，∵AD∥BC， ∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°， ∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴． ∵AD＝2，∴，解得，∴．故答案为：． 5. 如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝12，BC＝18，求GH长． 【解析】（1）证明：∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠PED+∠EPD＝90° 由折叠知，∠EPG＝∠A＝90°， ∴∠EPD+∠HPC＝90°， ∴∠PED＝∠HPC， 又∵∠D＝∠C，∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵P为CD中点，且AB＝12，BC＝18， ∴CD＝12，AD＝18， ∴CP＝DP＝6， 设PE＝AE＝x，则DE＝18﹣x，∵DE2+DP2＝EP2， ∴（18﹣x）2+62＝x2，解得x＝10．∴PE＝10，DE＝8． ∵△EDP∽△PCH， ∴，，∵PG＝AB＝12，∴． 6. 在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E，将△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0≤α＜360°）． （1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD，求证：． （2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长． 【解析】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴，由题意可得：∠EAD+∠DAB＝∠BAC+∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAB，∴△ADC∽△AEB，∴． （2）由题意可得：BC＝5， ∴， ∵DE∥BC， ∴，∵AD＝2， ∴DE＝1，由（1）知， ∴， ∴， ∴， 如图，当点D在BE上时， ∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＝90°， ∵， ∴， ∴BE＝BD+DE＝11+1＝12， ∴， 如图，当点D在BE的延长线上时， 在Rt△ADB中，，， ∴BE＝BD﹣DE＝11﹣1＝10， ∴， 综上所述：线段CD的长为或． 1. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　　 个． 【答案】7 【解析】设网格的边长为1． 则AC＝2，AB＝4，BC2． 连接P2P5， AP5，AP2，P2P5． ∵， ∴△ACB∽△AP5P2． 同理可找到△P2P4P5，△CP4P5，△ACP1，△AP2P4，△AP4P5和△ACB相似，共7个．故答案为：6． 2. 3. 4. 5. 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 相似三角形模型 一、相似三角形基础 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示. 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例（比例称为相似比，记为）. 对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（）. 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 二、常见相似三角形模型 A字型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边相交，构成的小三角形与原三角形相似（含“正A字”和“斜A字”）. 8字型模型：两条直线相交，形成对顶角，另外两组边分别平行或共线，构成的两个三角形相似（含“正8字”和“斜8字”）. 母子相似模型：直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形与原直角三角形均相似（即“母子直角三角形相似”）. 一线三等角模型：在一条直线上有三个相等的角，这三个角的两边分别相交，构成的两个三角形相似（常见于直角、60°角、45°角等）. 旋转相似模型：两个三角形通过旋转后，对应角相等、对应边成比例，仍保持相似关系. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 A字型 1. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 题型二 母子型 2. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝6，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为　　 ． 题型三 X字型 3. 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为12cm、9cm，若CD的长为2cm，则AB的长为（　　） A． B．2cm C． D． 4. 如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边BC上，连接CF，DE，交于点G．若DE∥AC，BD＝2AD，BF＝2DF，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 题型四 手拉手型 5. 如图，∠1＝∠2，从下列条件“①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；②；④.”中选择一个作为添加条件，使△ABC∽△ADE．这个条件可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6. 如图，在△ABC和△ADE中，E是边BC上一点，且∠CAE＝∠BAD，AB•AE＝AC•AD． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）若，AB＝8，BC＝10，求DE的长． 题型五 背靠背型 7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为　　 ． 题型六一线三等角型 8. 如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B，当P在AB上何位置时，△ADP∽△PDC？ 1. 如图，在正方形ABCD中，边长为6，点E，F分别是AB，BC边上的点，且BE＝CF，DE平分∠ADB，连接AF，分别交BD，DE于点M，N．点G是DM的中点，连接NG．下列结论其中正确的有（　　）个． ①NG∥AD； ②∠FMC＝45°； ③DE垂直平分AM； ④BF2＝AF•EN； ⑤△DNG的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　 ． 3. 如图，正方形ABCD中，将△ABC绕着点A逆时针旋转到△AHG，AH，AG分别交对角线BD于点E，F．如果，那么EF•ED的值为　　 ． 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝2，则CE的长是 　　 5. 如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝12，BC＝18，求GH长． 6. 在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E，将△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0≤α＜360°）． （1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD，求证：． （2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长． 1. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　　 个． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $