专题03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用（复习课件）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性等核心考点，依据高考评价体系分析近三年全国卷考点频次，梳理出单调性应用、奇偶性判断等6大常考题型，构建系统知识框架，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题动向+题型攻坚”实战训练，如通过题型6“利用单调性奇偶性解不等式”案例解析，培养学生数学思维和逻辑推理能力，帮助学生掌握解题技巧。教师可借助考点权重分析和易错点提示，精准指导复习，助力学生高效冲刺高考。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用 模块二 专题03 考点一 单调性、奇偶性 真题动向 必备知识（3大知识点） 命题预测（6大题型） 考点二 复数 真题动向 必备知识（4大知识点） 命题预测（大题型） 01 析·考情精解 命题轨迹透视 近三年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查为必考重点，分值占比稳定。题型以选择题、填空题为主，偶在解答题中渗透考查；命题常将四类性质结合考查，且多与函数图像、零点、不等式等知识综合。虽考查形式多样、综合性强，但核心仍围绕性质的理解与应用，部分题目在命题角度（如定性分析比较函数值大小）和形式上有创新，侧重考查数形结合、逻辑推理等数学思想，基础题易得分，压轴题则对综合运用能力要求较高。 考点频次总结     考点 2025年 2024年 2023年 函数的性质 一卷T5，5分 二卷T10，6分 I卷T6，5分 II卷T8，5分 甲卷（文）T11，5分 乙卷（理）T4，5分 乙卷（文）T5，5分 I卷T4，5分 II卷T4，5分 复数  二卷T1，5分 二卷T2，5分 甲卷（文）T1，5分 甲卷（理）T1，5分 I卷T2，5分，II卷T1，5分 甲卷（文）T2，5分，甲卷（理）T2，5分 乙卷（文）T1，5分，乙卷（理）T1，5分 I卷T2，5分，II卷T1，5分 2026命题 预测 2026年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查仍为必考重点，考情稳定。题型以选择、填空为主，偶在解答题中渗透，分值占比固定。命题延续多性质综合特点，常与函数图像、零点、不等式结合。部分题目在命题角度有创新，核心聚焦性质应用与思想运用，难度梯度分明。 02 构·知能框架 特别注意 【解析】 【答案】 D 03 破·题型攻坚 考点一 单调性和奇偶性 真题动向 【解析】 【答案】 B 【解析】 【答案】 D 03 破·题型攻坚 考点一 单调性和奇偶性 真题动向 【解析】 【答案】 2 03 破·题型攻坚 考点一 单调性和奇偶性 真题动向 【解析】 【答案】 D 03 破·题型攻坚 考点一 单调性和奇偶性 真题动向 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 知识1 单调性定义的等价形式 考点一 单调性和奇偶性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 单调性和奇偶性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 单调性和奇偶性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【1】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【2】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【3】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【4】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【5】 考点一 单调性和奇偶性 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【6】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【7】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的单调性及应用 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【8】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【9】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【10】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【11】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【12】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2利用函数的单调性求参数 【13】 考点一 单调性和奇偶性 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【14】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【15】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【16】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【17】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【18】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【19】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【20】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3函数奇偶性及应用 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4奇函数+常数型求值 【21】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4奇函数+常数型求值 【22】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4奇函数+常数型求值 【23】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4奇函数+常数型求值 【24】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【25】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【26】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【27】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【28】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5奇偶函数偏移 【29】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【30】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【31】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【32】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【33】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【34】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【35】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【36】 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小 【解析】 考点一 单调性和奇偶性 【解析】 【答案】 A 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 【解析】 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 【解析】 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 【解析】 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 【解析】 03 破·题型攻坚 考点二 对称性和周期性 真题动向 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点二 对称性和周期性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点二 对称性和周期性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点二 对称性和周期性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点二 对称性和周期性 知识1不等式判断正误 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 03 破·题型攻坚 必备知识 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【1】 【解析】 考点二 对称性和周期性 【2】 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【3】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【4】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【5】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【6】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型1函数的周期性 【7】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2函数的对称性 【8】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2函数的对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2函数的对称性 【9】 【解析】 考点二 对称性和周期性 【10】 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2函数的对称性 【11】 【解析】 考点二 对称性和周期性 【12】 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型2函数的对称性 【13】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【14】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【15】 考点二 对称性和周期性 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【16】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【17】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【18】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【19】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型3利用双对称一周期 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4类周期函数及其应用 【20】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4类周期函数及其应用 【21】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4类周期函数及其应用 【22】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4类周期函数及其应用 【23】 考点二 对称性和周期性 【解析】 03 破·题型攻坚 命题预测 题型4类周期函数及其应用 【24】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【25】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【26】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【27】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【28】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【29】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【30】 【解析】 考点二 对称性和周期性 03 破·题型攻坚 命题预测 题型5原函数与导函数的奇偶性、对称性 【31】 【解析】 考点二 对称性和周期性 因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，4，5分）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 检验：当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称. ，故此时为偶函数. 1．（2023·全国乙卷·高考真题，4，5分）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5分）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以. 4．（2023·全国甲卷·高考真题，13，5分）若为偶函数，则 ． 因为，而，所以，即，由二次函数性质知， 因为，而，即，所以，综上，，又为增函数， 故，即. 则开口向下，对称轴为， 令， 5．（2023·全国甲卷·高考真题，11，5分）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 知识2判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 3、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是 偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 4、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 知识3常见奇、偶函数的类型 1、（且）为偶函数； 2、（且）为奇函数； 3、（且）为奇函数； 4、（且）为奇函数； 5、（且）为奇函数； （2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 的定义域，由，若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，若，解得函数定义域为，若为奇函数，必有，解得；又，解得， （2025·山东滨州·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 因为函数是周期为2的偶函数，且当时，， 所以． （2024·宁夏固原·一模）已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 因为为奇函数，定义域为，则，所以，则，此时， 则，满足题意故. （2025·黑龙江伊春·二模）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负，对于A：, ，满足，A正确； 对于B：，不满足，B错误；对于C：，不满足，C错误； 对于D：， ，不满足，D错误； 对于A，，A正确； 对于B，当时，，则，B错误； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，则，当时，，因此，C正确；对于D，，，即，因此在区间上有零点，D正确. （2025·广东珠海·三模）（多选）已知偶函数满足：当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．函数在区间上有零点 由，则， 则，又定义域为，故为偶函数，故B正确； 由已知得不到与关系，也得不到是否为，故A、C、D错误. （2025·山西吕梁·一模）定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 （2025·广西南宁·一模）（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得， 对A， ，A错误； 对B，，B正确； 对C，因为都是在上的增函数，所以在上单调递增，由为奇函数，所以不等式， 即，解得，C错误；对D，方程有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实根，整理得，令，则有两个不相等的正实根，由韦达定理和判别式可得，解得，D正确. （2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（    ） A． B． C． D． 的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确；，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数，当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 由且，得，即或，所以函数的定义域为，因为在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数的单调递增区间为. （2025·广东江门·二模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． （2024·湖北荆门·一模）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． （2024·四川宜宾·二模）已知，则函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 令，，易知是减函数，因为，又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又当时，，当时，，则函数的最大值是. （2025·广东阳江·二模）函数的单调递增区间是 ． 函数，由，解得或，函数的图象如图所示，由图可知，函数的单调递增区间为. 解：将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减， （2024·云南曲靖·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 由函数的对称轴为，若在上不单调，则满足，解得；又由函数，可得，若在上不单调，则满足，解得，所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，可得，所以实数的取值范围为. （2025·宁夏中卫·一模）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为.若，，求导得，要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得，因为，则，所以，若在上单调递增，则②，解得，所以. （2025·江苏南京·模拟预测）若函数，在上 单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025·云南丽江·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 根据题意，函数对任意的，且，都有，所以在上为增函数，又，所以有，即，解得， （2025·吉林松原·二模）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. （2025·四川成都·一模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． （2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得 ，因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得.综上，a的取值范围为. （2024·福建漳州·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得；(ii) 若，在单调递增，满足题意；(iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. ，令，定义域为，关于原点对称，则，所以函数为奇函数，因 为在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值为，最小值为，所以，即，所以，所以． （2025·河北保定·一模）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 （2025·广东深圳·一模）已知函数的最大值为M，最小值为m，则 . ==2+，令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故,故. （2025·湖南湘潭·二模）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则 . .因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. （2024·甘肃平凉·二模）设函数的最大值为，最小值为，则 . ，设，定义域关于原点对称，由，知函数为奇函数，，因为，，所以. （2025·广东韶关·二模）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 令，由为奇函数，得，又为偶函数，∴，∴，用替换，则， ∴，即4为的周期．根据 ，令，得，令，得， 又为偶函数，且，∴，，又的周期为4，∴，，∴．∵余， ∴． （2025·河南洛阳·二模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，，，且对任意，都有，则 ． 由题设，则， 所以，即关于对称，又，则， 由于，又任意都有，所以， 由，故， 而，故，故．综上，． （2025·广西玉林·一模）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A． B．， C． D． 对于A选项，对任意的，，当时，， 所以，在等式中，令，可得，故，A错；对于C选项，因为函数是定义在上的偶函数，则 ，所以，即，所以，C对；对于B选项，对任意的，， 所以，即函数是周期为的函数，要求函数的值域，只需求函数在上的值域即可，当时，，则，当时，，故当时，，则当时，，，故当时，函数的值域为，故，，B对；对于D，因为，则，故，D错. （2024·贵州铜仁·二模）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 . ∵为偶函数，∴，又是定义域为的奇函数，∴，且，∴，∴，∴，∴，∴是一个周期为20的周期函数， ∴，，∴． 因为为奇函数，所以． 令，得，所以，B错误．将代入，得，A正确．将代入，得，所以，C正确． 将代入，得，D正确． （2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（    ） A． B． C． D． 当时，， 当时，，而，所以是奇函数，当时，，因此函数在时，单调递减， 而，且该函数是实数集上的奇函数，所以该函数在实数集上为减函数， 所以不等式转化为，即，解得， （2025·安徽黄山·一模）已知函数，则满足不等式 的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 当时，，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增.又因为，且时， 所以当时，，当时，. 由奇函数的性质：当时，，当时，. 对于不等式，当时，只需，所以或， 解得或，又，则；当时，只需，所以或，解得或，又，则. 综上所述，的取值范围是. 易得在上单调递增，且.因为是奇函数，所以在上单调递增，且.由，得，得或，解得或，所以不等式的解集为. （2024·云南玉溪·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2025·山东济宁·模拟预测）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增，由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. （2024·陕西榆林·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 因为是定义域为的偶函数，所以，在区间上单调递减，则在区间上单调递增，可知，所以，即. （2024·广西柳州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是 ；不等式的解集为 . 由图象可知：当时，；；当时，；因为是定义在上的奇函数，则，且当时，；；当时，；综上所述：的零点为，0，1，共3个；对于不等式，可知与同号，可得或，所以不等式的解集为. （2025·四川内江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 . 不妨设，由可得， 不等式两边同除得， 令，则，故函数在上为增函数，因为函数为上的奇函数，由题意可知，函数的定义域为，，故函数为偶函数，故函数在上为减函数，因为，则，由可得，当时，，即满足不等式，当时，则，由可得，所以，解得； 当时，则，由可得，，解得；综上所述，不等式的解集是. 由题知对一切成立， 于是. 1．（2025·全国一卷·高考真题，5,5分）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11,6分）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是，即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论：任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 知识1函数的周期性： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 知识2函数的对称性： 对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的对称中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 知识3函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 知识4原函数与导函数的性质 （1）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称 （2）奇函数的导数为偶函数 （3）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称 （4）偶函数的导数为奇函数 （5）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称 偶函数的导数为奇函数 （6）若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T （7）若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点 （2025·河南南阳·模拟预测）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（    ） A． B． C． D． 根据为偶函数及，. 由题函数是周期为2的奇函数，且， 所以. （2025·河北保定·三模）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 （2025·四川绵阳·一模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为 ． 由题设， 所以是周期为3的奇函数，则. （2025·安徽阜阳·一模）如果且，则的值为（    ） A．1012 B．2024 C．1013 D．2026 因为，所以，又，所以，则. （2025·四川德阳·模拟预测）已知定义在R上的函数满足则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 由题设，当时，，即当时，3是函数的一个周期， 则． （2024·河南驻马店·三模）（多选）已知定义在R上的连续函数是偶函数，且满足，且，，，都有，则（    ） A． B．在单调 C． D．在有三个极值点 由可知，所以，A错误； 因为,，，都有，所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，由周期性可知在单调递增，所以在不单调，B错误；由A项知的周期为8，所以，又，且在单调递增，故，C正确；由为偶函数知是的一个极值点，又的周期为8，则是的一个极值点，又，，则，所以的图象关于直线对称，即是的一个极值点，因此在内有三个极值点，D正确； （2024·河南商丘·一模）已知是定义在上且周期为2的函数，当时，，则 ． 是定义在上且周期为2的函数，当时，， 则，， 所以. （2025·山东东营·三模）已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 任意取函数上一点，则， 对于A，点关于点成中心对成的点为点， ，故A错误； 对于B，点关于点成中心对成的点为点， ，故B错误； 对于C，点关于点成中心对成的点为点， ，故C正确； 对于D，点关于点成中心对成的点为点， ，故D错误. （2025·宁夏吴忠·一模）函数的图像关于点中心对称，则 . 函数的图像关于点中心对称， 所以，解得，所以. 因为函数，定义域为，则，故函数为奇函数，则关于原点对称，因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，且函数关于点对称，因此函数关于点对称， （2025·广西南宁·三模）已知函数，则下列函数的图象关于中心对称的是（    ） A． B． C． D． （2025·湖北随州·二模）函数的图象的对称中心为 ． 函数，则函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，而函数图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. （2024·安徽滁州·三模）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 由，即关于对称，又在上为严格减函数，则在上为严格增函数，由，则，即，所以不等式的解集为. （2025·山东烟台·一模）若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则 . 函数（）满足，故其图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，故它们图象的交点也关于直线对称，两函数图象的交点分别为，，…，，不妨设，则必有在直线上，即，，故. （2024·安徽淮南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调减，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 因为，所以，又是定义在上的偶函数，且在上单调减，所以在上单调增，所以， （2025·辽宁抚顺·一模）函数对任意，，且为奇函数，给出下列说法，其中错误的个数为（    ） （1）若时，，则；（2）的周期为； （3）的图象关于点对称；（4）. A．个 B．个 C．个 D．个 ，图象关于直线对称；为奇函数，，图象关于点对称； ，，，即，， 的周期为，（2）错误； ，，又， ，为奇函数，若时，， 则，（1）错误； 图象关于点对称，周期为，图象关于点对称，（3）正确； ，，（4）错误. （2025·辽宁本溪·一模））设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 因为为偶函数，所以，即（①）可知关于对称，通过（②），可知（③），联立①②式可得：，联立②③式可得：，易得周期为4，①中令,②中令可得；故，所以， （2024·辽宁盘锦·模拟预测）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. ∵是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称； ∴，又是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称；∴，∴∴， 即的周期为.又易知，∴， ∴，，即，的一个零点恰为．∵，令，解得， 又，所以，所以在区间至少有个零点． 对于A，由得的图象关于点对称，故A正确；对于B，由，令可得，得，故B正确；对于C，由是奇函数，且，可知3是的一个周期，所以的最小正周期不可能是6，故C错误；对于D，，，，，在上至少有9个零点，故D正确． （2025·河南开封·三模）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 （2024·河北唐山·二模）（多选）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．关于对称 由为奇函数得：，则关于对称， 所以，即，则，即，由为偶函数得：，则关于对称， 所以，即，综上，，则，故，易知的周期为，所以，而为奇函数，故为奇函数，B正确；因为关于对称且关于对称，关于，对称，所以D错误；，A错误；因为的周期为，所以在上的单调性与在上单调性一致， 由时单调递减，且关于对称，所以在上也单调递减，所以在上为减函数，所以在上为减函数，C正确． 由，则函数关于直线对称， 当时，，且时，， 则时，，则，即；时，，则，即，且；作出函数的大致图象，如图，由图可知，，则，即的最大值为. （2025·河北秦皇岛·一模）若函数在上满足：.当时，，且当时，.对，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解：，，，时，，， ，时，，，，； ，时，，，，； ，时，，，，． 当，时，由，解得或． 若对任意，，都有，则，即． （2025·吉林吉林·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 当时，.；当时，. ；当时，.；当时，.；所以当时， 解得因为的最大值为1，结合图像知 （2025·湖南湘潭·三模）设函数的定义域为，且满足，当时，.若时，的最大值为1，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 当时，.因为，所以 ，即.在直角坐标系内，画出 时，的图象（如图所示）.由于时， 的最小值为，所以时，当时，的最小值为，因此，为使时，恒成立，需，即，解得或，故选C （2025·浙江宁波·二模）定义域为的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （2024·广东湛江·三模）定义域为的函数满足，当 时， .若存在，使得不等式成 立，则实数的取值范围是 . 因为，所以当时，，则 ，当时，,当 时，,所以当时，的最小值是，又因为存在，使得不等式成立，等价于，则, 则实数的取值范围是. 因为为偶函数，所以，即， 所以关于直线对称，求导得 关于点对称，即，又为偶函数，则，所以关于直线对称， 推导周期：及，得， 得，得，得函数的周期为4，由，得，得， 共项和，因为，所以， （2025·福建龙岩·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记 ，已知和都是偶函数，且，则的值为（   ） A．1 B．－1 C．2025 D．－2025 （2024·河南周口·一模）已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（   ） A．3为的一个周期 B．关于点对称 C．是偶函数 D． 对于A，由，令，则，即函数关于点中心对称，结合，， 所以，因此，3是的一个周期，故A正确；对于B，，令，得，又因为，所以，也即关于点中心对称，故B正确；对于C，由B选项可知，两边对x求导，得，即，因此是偶函数，故C正确；对于D，由，令，得，即，得，由，令，可得，进一步，根据周期性，，故D错误． （2025·甘肃天水·二模）（多选）已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（    ） A． B．的一个周期为8 C． D．的图象关于对称 因为是奇函数，所以，令，可得，解得，A错误；因为是偶函数，则，且， 用代替可得，即.又，则，所以，从而有，所以的一个周期为8，B正确；因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，所以，C正确；由，两边同时对求导得，即，所以函数的图象关于直线对称，D正确. （2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数和的定义域均为R，且是的导函数，若和均为奇函数，则（    ） A． B．0是的一个极值点 C．和均为周期函数 D． 因为是奇函数，所以，两边求导可得， 所以，因为是的导函数，即， 所以是偶函数，令，可得，所以， 因为均为奇函数，所以， 令，可得，可得， 又是偶函数，所以，故A正确； 因为是偶函数，所以，求导可得， 所以，令，可得，从而可得， 由，可知在两侧导数值异号，所以0是的一个极值点，故B正确；由，又是偶函数，所以， 所以，所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，因为， 所以，所以， 所以也是以4为周期的周期函数，故C正确； 由以4为周期的周期函数，所以， 又是奇函数，所以，所以，所以， 所以，所以，又， 所以，所以， 所以，无法确定，故D错误. （2025·江苏徐州·二模）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 对于A，因为为奇函数，所以，取可得，A正确．对于B，因为，所以， 所以．又， 故，所以函数的图象关于点对称，B错误． 对于D，因为，所以， 所以为常数． 因为，所以， 所以，取可得，所以． 又，所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数． 因为，所以， 所以， 所以，D 正确．对于C，因为，所以，所以，故函数为周期为4的函数，，所以函数为周期为4的函数，又， 所以， 所以，C正确． （2025·云南保山·一模）已知函数，则 ． 由于的图象的对称轴为直线，所以关于点对称， 从而有．令， 则，所以，得． （2025·河北沧州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则 . 为偶函数，，，为奇函数， ，，即，， ，即函数的周期为4，，又， ，，，即， 由，得，，. $