专题07 圆的基本性质与计算4大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 圆的基本性质与计算 一、圆的基本性质 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆的性质： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反过来，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的对角互补。 二、圆的相关计算 圆的周长公式：（其中为周长，为圆周率，为半径） 圆的面积公式：（其中为面积，为圆周率，为半径） 弧长公式：（其中为弧长，为圆心角的度数，为圆周率，为半径） 扇形面积公式： （其中为扇形面积，为圆心角的度数，为圆周率，为半径） （其中为扇形面积，为弧长，为半径） 圆锥相关计算： 圆锥的侧面积：（其中为侧面积，为圆锥底面半径，为圆锥母线长） 圆锥的全面积：（其中为全面积，为圆锥底面半径，为圆锥母线长） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆的基本概念与定理 1. 下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 2. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 题型二 圆周角与圆心角的相关计算 3. 如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 4. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC是（　　） A．50° B．40° C．70° D．30° 题型三正多边形与圆 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 6. 如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 题型四 圆的周长与面积计算 7. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 9．如图，将⊙O的圆周12等分，A，B，C是等分点，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．105° C．210° D．150° 10．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠BED＝30°，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2. 已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（　　） A．6 B．7 C．12 D．16． 3. 如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝　40　 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 　　 cm． 4. 如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 5. 如图①，正六边形对角线的交点称作正六边形的中心，中心到顶点的线段称作正六边形的半径，研究发现正六边形半径将其分割成6个全等的等边三角形． 【探究一】如图②，以正六边形一组对边为对边的矩形，其长边长为，求这个正六边形ABCDEF的半径． 【探究二】如图③，若将一个矩形GHIJ放在正六边形ABCDEF中，G、J为正六边形边的中点，且正六边形能完全覆盖住这个矩形，已知，为保证正六边形ABCDEF能完全覆盖矩形GHIJ，则矩形的GH边长不能超过　　 cm． 1. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝8cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．7 B．8 C．9 D．10 2. 如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 3. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　108　 ． 4. 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，⋯，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　　 ． 5. 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　　 ．（结果保留π） 6. 如图，司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，是现在所用指南针的始祖．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将⊙O八等分（点A∼H），连接FD，HC并延长交于点P． （1）点P位于点H的南偏东　　 度的方向上； （2）连接HD，求证：PD＝HD． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 圆的基本性质与计算 一、圆的基本性质 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆的性质： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反过来，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的对角互补。 二、圆的相关计算 圆的周长公式：（其中为周长，为圆周率，为半径） 圆的面积公式：（其中为面积，为圆周率，为半径） 弧长公式：（其中为弧长，为圆心角的度数，为圆周率，为半径） 扇形面积公式： （其中为扇形面积，为圆心角的度数，为圆周率，为半径） （其中为扇形面积，为弧长，为半径） 圆锥相关计算： 圆锥的侧面积：（其中为侧面积，为圆锥底面半径，为圆锥母线长） 圆锥的全面积：（其中为全面积，为圆锥底面半径，为圆锥母线长） 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆的基本概念与定理 1. 下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【解析】A、直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，说法错误，故不符合题意； B、等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，说法错误，故不符合题意； C、圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，说法错误，故不符合题意； D、半圆是圆的一条弧，其度数为180°，说法正确，故符合题意． 故选：D． 2. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 故选：A． 题型二 圆周角与圆心角的相关计算 3. 如图，AB、CD是⊙O的直径，．若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为（　　） A．32° B．48° C．60° D．64° 【答案】D 【解析】∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠AOC＝∠BOD＝32°， ∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝64°． 故选：D． 4. 如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC是（　　） A．50° B．40° C．70° D．30° 【答案】B 【解析】∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝40°， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°，故选：B． 题型三正多边形与圆 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 【答案】B 【解析】如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°， ∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∵α＝∠1，β＝∠2， ∴α+β＝150°， 故选：B． 6. 如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M， ∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BMAB＝1， 在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝1， ∴OM， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 题型四 圆的周长与面积计算 7. 如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 【答案】D 【解析】由题知， 因为OA＝OB＝18cm，且AB＝18cm， 所以△OAB是等边三角形， 所以∠AOB＝60°， 所以的长为：6π（cm）． 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 【答案】D 【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴，∴， 故选：D． 9．如图，将⊙O的圆周12等分，A，B，C是等分点，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．105° C．210° D．150° 【答案】B 【解析】∵将⊙O的圆周12等分， ∴每一份等分圆周的弧的度数为360°÷12＝30°， ∵之间有7份等分的圆周， ∴的弧的度数为7×30°＝210°， ∴． 故选：B． 10．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 【答案】D 【解析】由题意得，圆锥的底面圆周长为2π， 故圆锥的底面圆的半径为1， 所以圆锥的高为：， 该圆锥的体积是：π． 故选：D． 1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠BED＝30°，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点O作OF⊥CD，连接OC， 由条件可知AB＝AE+BE＝6，， ∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2， ∵OF⊥CD，∠AEC＝∠BED＝30°， ∴， 由勾股定理可得：， ∵OF⊥CD， ∴， 故选：C． 2. 已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（　　） A．6 B．7 C．12 D．16． 【答案】B 【解析】∵AB＝AC＝AD， ∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动， AE＝3，EC＝1， ∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4， EF＝AE+AF＝3+4＝7， 由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7， 故选：B． 3. 如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝　40　 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 　　 cm． 【答案】2 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝70°， ∵∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝20°， ∵AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝20°， ∵点M为BC的中点， ∴BM＝MC， ∵以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N， ∴MN＝MC， ∴BM＝MC＝MN， ∴点B、C、N在以点M为圆心的圆上， ∴∠NMC＝2∠DBC＝40°， ∵MCBC＝18cm， ∴弧CN的长度为2π•MC•4π， 设这个圆锥的底面圆半径为rcm， 则2πr＝4π， 解得r＝2， ∴这个圆锥的底面圆半径为2cm． 故答案为：40，2． 4. 如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】 【解析】如图，连接OB． ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB＝OC， ∵OA＝OC， ∴OA＝AB， ∴▱OABC是菱形， ∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOBπ×12． 故答案为：． 5. 如图①，正六边形对角线的交点称作正六边形的中心，中心到顶点的线段称作正六边形的半径，研究发现正六边形半径将其分割成6个全等的等边三角形． 【探究一】如图②，以正六边形一组对边为对边的矩形，其长边长为，求这个正六边形ABCDEF的半径． 【探究二】如图③，若将一个矩形GHIJ放在正六边形ABCDEF中，G、J为正六边形边的中点，且正六边形能完全覆盖住这个矩形，已知，为保证正六边形ABCDEF能完全覆盖矩形GHIJ，则矩形的GH边长不能超过　　 cm． 【解析】（1）如图②，由于AE＝10cm，则AM＝MEAE＝5cm， 在Rt△AOM中，AM＝5cm，∠AOM60°， ∴OA510（cm）， 即正六边形ABCDEF的半径为10cm； （2）如图③，设GH交OA于点N，GJ交OF于点P，由正六边形的性质以及对称性可得，△PFG是正三角形，且PGGJ＝8cm， 在Rt△ANG中，∠GAN＝60°，AG＝PG＝8cm， ∴GN＝sin60°×AG5（cm）， ∴为保证正六边形ABCDEF能完全覆盖矩形GHIJ，则矩形的GH边长不能超过2GN＝15（cm）， 故答案为：15． 1. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD＝8cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】如图，连接OA， 根据题意得，DC⊥AB， ∴， ∵CD＝8cm，OD＝OA＝5cm， ∴OC＝CD﹣OD＝3cm， ∴， 在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2， ∴， ∴AB＝2AC＝8cm． 故选：B． 2. 如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【解析】∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 3. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝　108　 ． 【答案】108 【解析】∵⊙M的周长为2π cm， ∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6π cm， ∴6π， 解得n＝108， 故答案为：108． 4. 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，⋯，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　　 ． 【答案】20 【解析】根据题意，图中阴影部分面积是20， 故答案为：20． 5. 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此类推进行操作，其中，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　　 ．（结果保留π） 【答案】π 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝1， ∴第一次操作（扇形DAE）， 以点A为圆心，以AD为半径， ∵AD＝1，圆心角n＝90°， ∴S1π， 第二次操作（扇形EBF）， 以点B为圆心，以BE为半径， ∵BE＝2，圆心角n＝90°， ∴S2π， 第三次操作（扇形FCG）， 点C为圆心，以CF为半径， ∵CF＝3，圆心角n＝90°， ∴S3， 第四次操作（扇形GDH）， 点D为圆心，以DG为半径， ∵DG＝4，圆心角n＝90°， ∴S44π， ∴S1+S2+S3+S4π+ππ+4ππ． 故答案为：π． 6. 如图，司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，是现在所用指南针的始祖．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将⊙O八等分（点A∼H），连接FD，HC并延长交于点P． （1）点P位于点H的南偏东　67.5　 度的方向上； （2）连接HD，求证：PD＝HD． 【解析】（1）连接HF、OF、OC，如图所示： ∵点A～H将⊙O八等分， ∴， ∴在⊙O中， ∴点P位于点H的南偏东67.5度的方向上． 故答案为：67.5； （2）证明：连接OH，OD， 由题意可得： ∴，， ∴H、O、D三点共线，在⊙O中， ∴HD为⊙O的直径， ∴∠HFD＝90°， 又∵∠FHC＝67.5°， ∴∠FPH＝90°﹣∠FHC＝22.5°， ∴∠DHC＝∠DPH， ∴DH＝DP． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $