专题01 一元二次方程5大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.其一般形式为（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项.注意：是一元二次方程的重要前提，若，则方程退化为一元一次方程. 二、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 对于形如（）或（）的方程，可直接开平方求解，解得或.适用于缺少一次项的一元二次方程. （2）配方法 步骤：①把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右边；③配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方；④将左边化为完全平方式，右边化为非负数，再用直接开平方法求解. （3）公式法 对于一般形式（），先计算根的判别式： 当时，方程有两个不相等的实数根，； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根. （4）因式分解法 将方程化为两个因式乘积等于0的形式，即，则解得，.适用于能因式分解的一元二次方程，求解简便快捷. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+2x＝x2﹣1 B． C．﹣x2＝﹣3x﹣2 D．xy+2＝6y+1 【答案】C 【解析】A．x2+2x＝x2﹣1，化简后得2x+1＝0，是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，其中的分母含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C．﹣x2＝﹣3x﹣2是一元二次方程，故选项符合题意； D．xy+2＝6y+1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；故选：C． 2．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【答案】C 【解析】由题意得，一元二次方程的二次项系数为 3，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5． 故选：C． 3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的一个根，则b的值为（　　） A．b＝5 B．b＝﹣5 C．b＝3 D．b＝﹣3 【答案】A 【解析】由条件可得：22﹣b×2+b+1＝0， 即4﹣2b+b+1＝0， 整理得：5﹣b＝0， ∴b＝5．故选：A． 题型二 直接开平方法求解 4．方程（x+1）2＝16的根是（　　） A．x1＝﹣5，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x＝﹣3 【答案】A 【解析】（x+1）2＝16，直接开平方得：x+1＝±4， 由x+1＝﹣4，解得：x＝﹣5， 由x+1＝4，解得：x＝3， ∴该方程的解为：x1＝﹣5，x2＝3．故选：A． 5．下列解方程正确的是（　　） A．x2＝﹣64解：x＝±8 B．（x﹣1）2＝36解：x﹣1＝6，∴x＝7 C．x2＝7解：x＝± D．25x2＝1解：25x＝±1，∴x＝± 【答案】C 【解析】A、x2＝﹣64没有实数解，所以A选项错误； B、（x﹣1）2＝36，解：x﹣1＝±6，∴x1＝7，x2＝﹣5，所以B选项错误； C、x2＝7，解：x＝±，所以C选项正确； D、25x2＝1解：5x＝±1，∴x＝±，所以D选项错误．故选：C． 题型三 配方法求解 6．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝9 D．（x﹣4）2＝21 【答案】B【解析】x2﹣4x﹣5＝0， 移项，得：x2﹣4x＝5， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：x2﹣4x+4＝5+4， ∴（x﹣2）2＝9， 故选：B． 7．如图是小明在解方程时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】出错的步骤是③，应该是在②步的基础上，两边同时加上4， 得（x﹣2）2＝6， 故选：C． 8．方程x2﹣4x＝n可配成（x﹣m）2＝1，则m，n的值分别是（　　） A．2，1 B．2，﹣3 C．4，1 D．4，﹣3 【答案】B 【解析】∵x2﹣4x＝n， ∴x2﹣4x+4＝n+4， （x﹣2）2＝n+4， ∵方程x2﹣4x＝n可配成（x﹣m）2＝1， ∴m＝2，n+4＝1，∴n＝﹣3．故选：B． 题型四 公式法求解 9．若一个一元二次方程的根为x，则该一元二次方程为（　　） A．﹣9x2+6x+2＝0 B．﹣6x2+9x+4＝0 C．6x2﹣9x+2＝0 D．6x2﹣9x﹣2＝0 【答案】C 【解析】若一个一元二次方程的根为x，则该一元二次方程为6x2﹣9x+2＝0， 故选：C． 10．定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，则方程（x+1）☆2＝（3⊕x）﹣2的解是（　　） A．x1＝0.5，x2＝﹣2 B．x1＝0.5，x2＝﹣1 C．x1＝﹣0.5，x2＝2 D．x1＝﹣0.5，x2＝1 【答案】A 【解析】∵a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，∴方程的左边：（x+1）☆2＝（x+1）2×2＝2（x+1）2， 方程的右边：（3⊕x）﹣2＝2×3+x﹣2＝x+4， ∴方程化为2（x+1）2＝x+4， 2（x2+2x+1）＝x+4， 2x2+3x﹣2＝0， 解方程：， ∴，，故选：A． 题型五 因式分解法求解 11．一元二次方程x2＝x的根为（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1 【答案】C 【解析】x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x1＝0，x2＝1，故选：C． 12．对于任意实数a、b，定义新运算：a∇b＝ab2+b，例如：2∇3＝2×32+3＝21，则方程5∇（﹣x）＝0的解为（　　） A．x1＝0， B．x1＝1， C．x1＝﹣5，x2＝0 D． 【答案】A 【解析】∵a∇b＝ab2+b， ∴5∇（﹣x）＝5×（﹣x）2+（﹣x）＝0， 5x2﹣x＝0， x（5x﹣1）＝0， x＝0或5x﹣1＝0， x1＝0，．故选：A． 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【答案】C 【解析】由题意可得：m2﹣2＝2， m2＝4， 解得：m＝±2，故选：C． 2．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【答案】C 【解析】由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，故选：C． 3．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【答案】A 【解析】根据题意可得：， 解得k＝﹣2．故选：A． 4．用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】2x2﹣6x+1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选：B． 5．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【答案】C 【解析】根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025．故选：C． 6．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．12 C．20 D．12或20 【答案】C 【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣8x+15＝0， 因式分解得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x＝3或x＝5， 分两种情况：①当AB＝AD＝3时，3+3＜8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝5时，5+5＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故选：C． 故选：D． 7．结合因式分解法写出一个两个实数根分别为2和﹣1的一元二次方程： ． 【答案】x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 【解析】两个实数根分别为2和﹣1的一元二次方程为：a（x﹣2）（x+1）＝0， ∴这个方程可以是x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 8．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为　． 【答案】 【解析】由题意得方程2a+1＝a2，利用公式法解方程可得： 或（舍）， 故答案为：． 9．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣5，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是　 ． 【答案】x1＝﹣2，x2＝2． 【解析】由题意知2x﹣1＝﹣5或2x﹣1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 1．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（　　） A．1或1 B．1或﹣1 C．1或1 D．1或﹣1 【答案】D 【解析】①当x≥﹣x，即x≥0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1， ∴x＝x2﹣x﹣1， 解得：x＝1（1不符合舍去）； ②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1， 解得：x＝﹣1（1不符合舍去）， 即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1或﹣1，故选：D． 2．定义新运算：规定ad﹣bc，例如2×8﹣4×6＝﹣8，若0，则x的值为　　 ． 【答案】﹣3或 【解析】由题意可得：3x2﹣（6﹣7x）×1＝0， 整理，得：3x2+7x﹣6＝0， 解得：，故答案为：﹣3或 ． 3．【阅读材料】为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4． 当y1＝1时，即x2﹣1＝1，∴；当y2＝4时，即x2﹣1＝4，∴． ∴原方程的解为：． 【解答问题】 （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用　　 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解决问题：若（m2+n2﹣2）（m2+n2）＝8，求m2+n2的值． 【解析】（1）由题知，由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．故答案为：换元； （2）设m2+n2＝x，则原方程可化为（x﹣2）•x＝8， 解得x1＝﹣2，x2＝4． 因为m2+n2≥0，所以m2+n2＝4． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.其一般形式为（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项.注意：是一元二次方程的重要前提，若，则方程退化为一元一次方程. 二、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 对于形如（）或（）的方程，可直接开平方求解，解得或.适用于缺少一次项的一元二次方程. （2）配方法 步骤：①把二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右边；③配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方；④将左边化为完全平方式，右边化为非负数，再用直接开平方法求解. （3）公式法 对于一般形式（），先计算根的判别式： 当时，方程有两个不相等的实数根，； 当时，方程有两个相等的实数根，； 当时，方程无实数根. （4）因式分解法 将方程化为两个因式乘积等于0的形式，即，则解得，.适用于能因式分解的一元二次方程，求解简便快捷. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+2x＝x2﹣1 B． C．﹣x2＝﹣3x﹣2 D．xy+2＝6y+1 2．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的一个根，则b的值为（　　） A．b＝5 B．b＝﹣5 C．b＝3 D．b＝﹣3 题型二 直接开平方法求解 4．方程（x+1）2＝16的根是（　　） A．x1＝﹣5，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝5 C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x＝﹣3 5．下列解方程正确的是（　　） A．x2＝﹣64解：x＝±8 B．（x﹣1）2＝36解：x﹣1＝6，∴x＝7 C．x2＝7解：x＝± D．25x2＝1解：25x＝±1，∴x＝± 题型三 配方法求解 6．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝9 D．（x﹣4）2＝21 7．如图是小明在解方程时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．方程x2﹣4x＝n可配成（x﹣m）2＝1，则m，n的值分别是（　　） A．2，1 B．2，﹣3 C．4，1 D．4，﹣3 题型四 公式法求解 9．若一个一元二次方程的根为x，则该一元二次方程为（　　） A．﹣9x2+6x+2＝0 B．﹣6x2+9x+4＝0 C．6x2﹣9x+2＝0 D．6x2﹣9x﹣2＝0 10．定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a☆b＝a2b，则方程（x+1）☆2＝（3⊕x）﹣2的解是（　　） A．x1＝0.5，x2＝﹣2 B．x1＝0.5，x2＝﹣1 C．x1＝﹣0.5，x2＝2 D．x1＝﹣0.5，x2＝1 题型五 因式分解法求解 11．一元二次方程x2＝x的根为（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1 12．对于任意实数a、b，定义新运算：a∇b＝ab2+b，例如：2∇3＝2×32+3＝21，则方程5∇（﹣x）＝0的解为（　　） A．x1＝0， B．x1＝1， C．x1＝﹣5，x2＝0 D． 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 2．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 3．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 4．用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 5．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 6．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．12 C．20 D．12或20 7．结合因式分解法写出一个两个实数根分别为2和﹣1的一元二次方程： ． 8．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为　． 9．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣5，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是　 ． 1．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（　　） A．1或1 B．1或﹣1 C．1或1 D．1或﹣1 2．定义新运算：规定ad﹣bc，例如2×8﹣4×6＝﹣8，若0，则x的值为　　 ． 3．【阅读材料】为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4． 当y1＝1时，即x2﹣1＝1，∴；当y2＝4时，即x2﹣1＝4，∴． ∴原方程的解为：． 【解答问题】 （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用　　 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解决问题：若（m2+n2﹣2）（m2+n2）＝8，求m2+n2的值． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $