专题02 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系）3大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系） 1．一元二次方程的一般形式：（，、、为常数）. 根的判别式： 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程没有实数根. 2．根与系数的关系（韦达定理）：若方程 （）的两个实数根为 、，则 ，. 3.重要推论：实数根存在的前提是 ，运用韦达定理需先保证方程有实数根. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 根的判别式及应用 1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 4．若关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（　　） A．a＝3，c＝1 B．a＝﹣3，c＝1 C．a＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，c＝2 题型二 根与系数的关系及应用 5．已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根分别为a，b，则ab的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 6．已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 7．方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数的值是（　　） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 题型三 根的判别式与根与系数关系的综合应用 9．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 1. 小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是x＝2 2. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+1＝0有实数根，所有整数a的值之和为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3. 直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 4. 数学课上，老师要求同学们“解方程x2﹣3x+3＝0”，小东说“其中一个解是x＝1”，小清说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是（　　） A．小东说得对 B．小清说得对 C．小广说得对 D．三名同学说法都不对 5. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个关于x的方程a（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 6. 对于实数a，b定义新运算：a△b＝ab2﹣ab，若关于x的方程2△x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　 ． 7. 解一元二次方程x2﹣5x+□＝0，请你在“□”中填入一个整数，使得方程x2﹣5x+□＝0有实数根，则你填入的整数是　 　 ． 8. 已知a≠b，且满足2a2﹣5a+1＝0，2b2﹣5b+1＝0，那么的值为　　 ． 9. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0两实数根x1，x2满足，求k的值为　　 ． 10. 关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值． 1. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，我们就称这样的一元二次方程为“和系数”方程．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“和系数”方程，且a≠c，则该一元二次方程的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 2. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）的两个实数根α，β满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m＝0（m为常数）是“倒数方程”，则m的值为　　 ． 3. 阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程x2﹣8x+12＝0是　　 （填“①倍根方程”或“②方根方程”）． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，求c的值． （3）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0既是“倍根方程”又是“方根方程”，求2b+c的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系） 1．一元二次方程的一般形式：（，、、为常数）. 根的判别式： 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程没有实数根. 2．根与系数的关系（韦达定理）：若方程 （）的两个实数根为 、，则 ，. 3.重要推论：实数根存在的前提是 ，运用韦达定理需先保证方程有实数根. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 根的判别式及应用 1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【答案】D 【解析】A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×1＜0， ∴方程无实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D． 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1 【答案】B 【解析】根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0， 解得k＜1且k≠0． 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 【答案】B 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4•1•c＝0， 即4﹣4c＝0， 解得：c＝1， 故选：B． 4．若关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（　　） A．a＝3，c＝1 B．a＝﹣3，c＝1 C．a＝﹣3，c＝﹣1 D．a＝4，c＝2 【答案】B 【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且a≠0，∴Δ＝22﹣4ac＝4﹣4ac＞0， 解得：ac＜1， A、a＝3，c＝1，ac＝3＞1，不满足； B、a＝﹣3，c＝1，ac＝﹣3＜1，满足； C、a＝﹣3，c＝﹣1，ac＝3＞1，不满足； D、a＝4，c＝2，ac＝8＞1，不满足．故选：B． 题型二 根与系数的关系及应用 5．已知一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根分别为a，b，则ab的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【解析】由题意可知，， 故选：D． 6．已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 【答案】C 【解析】根据根与系数的关系得x1+x220． 故选：C． 7．方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于（　　） A．﹣5 B．2 C．﹣24 D．5 【答案】A 【解析】由条件可知，x1x2＝1， 则﹣5×1＝﹣5， ∴方程x2+4x﹣5＝0与x2﹣6x+1＝0所有实数根的乘积等于﹣5， 故选：A． 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数的值是（　　） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【答案】A 【解析】由条件可知x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，， ∴， ∴ ＝12﹣2×（﹣2024） ＝4049． 故选：A． 题型三 根的判别式与根与系数关系的综合应用 9．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 【解析】（1）证明：Δ＝（2k）2﹣4×1×（2k﹣3） ＝4k2﹣8k+12 ＝4（k﹣1）2+8， ∵（k﹣1）2≥0， ∴4（k﹣1）2+8＞0，即Δ＞0， ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2kx+2k﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝2k﹣3， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2k）2﹣2（2k﹣3）＝4k2﹣4k+6． 1. 小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是x＝2 【答案】A 【解析】∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程2mx2+nx+2＝0（m≠0）的一个根， ∴8m﹣2n+2＝0， 即4m＝n﹣1， 原方程为2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）， ∵Δ＝（﹣n）2﹣16m＝n2﹣4（n﹣1）＝n2﹣4n+4＝（n﹣2）2≥0， ∴此方程有两个实数根． 故选：A． 2. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+1＝0有实数根，所有整数a的值之和为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由不等式解得； 由解得：x＜3． 故解集为：． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故， 解得1＜a≤4． 由a﹣2≠0得a≠2； 由Δ＝42﹣4（a﹣2）×1≥0，得a≤6． 结合得1＜a≤4且a≠2，整数a为3、4，和为3+4＝7． 故选：B． 3. 直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】C 【解析】∵直线y＝﹣x+a不经过第二象限， ∴a≤0， 当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x， 当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程， ∵Δ＝22﹣4a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．故选：C． 4. 数学课上，老师要求同学们“解方程x2﹣3x+3＝0”，小东说“其中一个解是x＝1”，小清说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是（　　） A．小东说得对 B．小清说得对 C．小广说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【解析】方程x2﹣3x+3＝0中，a＝1，b＝﹣3，c＝3， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0， ∴方程无实数根， 则小东说得不对，小清说得不对，小广说得对． 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个关于x的方程a（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【答案】B 【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴方程a（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的x+3＝1或（x+3）＝﹣3． ∴x1＝﹣2，x2＝﹣6． 故选：B． 6. 对于实数a，b定义新运算：a△b＝ab2﹣ab，若关于x的方程2△x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　 ． 【答案】 【解析】∵a△b＝ab2﹣ab， ∴2△x＝2x2﹣2x＝k， 整理得：2x2﹣2x﹣k＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣k）＞0， 解得． 7. 解一元二次方程x2﹣5x+□＝0，请你在“□”中填入一个整数，使得方程x2﹣5x+□＝0有实数根，则你填入的整数是　 　 ． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】由题意得，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×□＝25﹣4□≥0， 即， ∵□是整数，∴□＝5，故答案为：5（答案不唯一）． 8. 已知a≠b，且满足2a2﹣5a+1＝0，2b2﹣5b+1＝0，那么的值为　　 ． 【答案】5 【解析】由题意可知，a、b是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根， ∴，， ∴，故答案为：5． 9. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0两实数根x1，x2满足，求k的值为　　 ． 【答案】﹣1 【解析】∵x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0两实数根x1，x2， ∴x1+x2＝2k﹣1，， 由 ， 代入得 （2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝11， 即 4k2﹣4k+1﹣2k2﹣2k+2＝11， 化简得 2k2﹣6k+3＝11， 即k2﹣3k﹣4＝0， 解得 k1＝4，k2＝﹣1， 又∵判别式Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0， ∴， 故k＝4 不符合，舍去，k＝﹣1符合题意，故答案为：﹣1． 10. 关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1≥0， 解得：k， ∴k的取值范围为k； （2）存在，∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2， ∵x1+x2和x1x2互为相反数， ∴x1+x2+x1x2＝0， 即﹣（2k﹣1）+k2＝0， 解得：k1＝k2＝1， ∴存在实数k＝1，使得x1+x2和x1x2互为相反数． 1. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，我们就称这样的一元二次方程为“和系数”方程．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“和系数”方程，且a≠c，则该一元二次方程的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“和系数”方程，∴b＝a+c， 由根的判别式Δ＝b2﹣4ac得： （a+c）2﹣4ac ＝a2+2ac+c2﹣4ac ＝a2﹣2ac+c2 ＝（a﹣c）2， ∵a≠c， ∴（a﹣c）2＞0，即Δ＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：D． 2. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）的两个实数根α，β满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m＝0（m为常数）是“倒数方程”，则m的值为　　 ． 【答案】3 【解析】设方程x2﹣（m+3）x+2m＝0的两个根为α和β，则α+β＝m+3，αβ＝2m， 由倒数方程的定义，， 代入得：，解得：m＝3， 经检验m＝3是原方程的解，且当m＝3时，原方程的Δ＝b2﹣4ac＝36﹣24＝12＞0，原方程有两个实数根． 故答案为：3． 3. 阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义： ①倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． 根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程x2﹣8x+12＝0是　①倍根方程　 （填“①倍根方程”或“②方根方程”）． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，求c的值． （3）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0既是“倍根方程”又是“方根方程”，求2b+c的值． 【解析】（1）①∵x2﹣8x+12＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝6， ∴x2＝3x1， ∴方程的一个根等于另外一个根的3倍，是倍根方程； 故答案为：①倍根方程； （2）由方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，设x1＝3x2，∵x1+x2＝6，x1•x2＝c， ∴3x2+x2＝6，3c， 解得x2，c； ∴c的值为； （3）∵方程x2+bx+c＝0既是“倍根方程”又是“方根方程”， ∴或， ∵x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c， ①当时，， ∴x2＝3或x2＝0（舍去）， ∴x1＝9，b＝﹣12，c＝27； ∴2b+c＝﹣24+27＝3； ②当时，， ∴或x1＝0（舍去）， ∴， ∴2b+c；综上所述，代数式2b+c的值为3或． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $