专题06 旋转及其综合应用3大必刷题型（巩固培优）九年级数学人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 旋转及其综合应用 一、旋转的基础概念 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等； 对应线段相等，对应角相等； 旋转前后的图形全等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度。 二、旋转的相关应用 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 旋转作图步骤 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 找出图形的关键点； 分别作出这些关键点绕旋转中心旋转后的对应点； 按原图形的顺序连接各对应点，得到旋转后的图形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 旋转的基本概念与性质 1. 如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在AC的延长线上，若AB＝11，AE＝7，则线段CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3. 如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝5，D为BC边上的点，BD，△ABD绕着点A逆时针旋转90°后到达△ACE的位置，那么DE为（　　） A． B． C． D． 题型二 中心对称与中心对称图形 5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） 6. 如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠A＝90°，CD＝2，CO＝3，则BC＝（　　） A．5 B． C． D． 7. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 　　 ． 题型三 旋转的作图 8. 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，且点A、B、C的对应点分别为点A1，B1，C1，请在图中画出△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为点A2，B2，C2）． 1. 如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，若点A的坐标为（3，1），则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4） 2.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（1，3） 3. 已知P是正△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，∠APB＝150°，则PC＝（　　） A．3 B． C． D． 4. 已知点，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A2，依此作法继续下去，则点A2025的坐标是（　　） A． B． C． D．（﹣2，0） 5. 如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG＝2，CG＝1，则CE的长为　　 ． 6．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数是 　　 ． 1. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心O旋转n°后能与自身重合，那么n的值可能是（　　） A．22.5 B．30 C．45 D．60 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 　　 ． 3. 在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形ABCD的对角线交于点O，过O的直线EF，将平行四边形ABCD等分成面积相等的四边形AEFD和四边形CFEB． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，其中45°＜∠ABD＜90°，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，作直线ED交AC于点F． （1）求∠CEB的度数； （2）用等式表示FD，BE，AD的数量关系，并证明． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 旋转及其综合应用 一、旋转的基础概念 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等； 对应线段相等，对应角相等； 旋转前后的图形全等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度。 二、旋转的相关应用 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 旋转作图步骤 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； 找出图形的关键点； 分别作出这些关键点绕旋转中心旋转后的对应点； 按原图形的顺序连接各对应点，得到旋转后的图形。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 旋转的基本概念与性质 1. 如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，可得B符合． 故选：B． 2. 如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在AC的延长线上，若AB＝11，AE＝7，则线段CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】∵将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE， ∵AB＝11，AE＝7， ∴AD＝11，AC＝7， ∴CD＝AD﹣AC＝11﹣7＝4．故选：B． 3. 如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解析】如图， ∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'， 作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B， 即旋转中心是B．故选：B． 4. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝5，D为BC边上的点，BD，△ABD绕着点A逆时针旋转90°后到达△ACE的位置，那么DE为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠ACB＝45°，BC， ∴CD＝BC﹣BD． ∵△ABD绕着点A逆时针旋转90°后到达△ACE的位置， ∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴DE．故选：C． 题型二 中心对称与中心对称图形 5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 6. 如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠A＝90°，CD＝2，CO＝3，则BC＝（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵△AOB与△COD关于点O成中心对称， ∴CD＝AB＝2，AO＝CO＝3， ∴AC＝6， ∵∠A＝90°， ∴BC2．故选：D． 7. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为 　　 ． 【答案】 【解析】连接AC交l于点O． ∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线， ∴O为AC的中点，为平行四边形的中心． ∴OA＝OC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠NAO＝∠MCO，． 又∠AON＝∠COM， ∴△AON≌△COM（ASA）． ∴AN＝CM． ∴． 又ED＝2，AD＝4，AB＝3，∴．∴CM．故答案为：． 题型三 旋转的作图 8. 将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】△AOB与△DOE关于点O中心对称的只有D选项．故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，且点A、B、C的对应点分别为点A1，B1，C1，请在图中画出△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为点A2，B2，C2）． 【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2BC2即为所求； 1. 如图，△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，若点A的坐标为（3，1），则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣3，﹣4） 【答案】C 【解析】∵△ABC与△A′B′C关于点C（0，﹣1）成中心对称，点A的坐标为（3，1）， 设A′（m，n），依题意，， 解得：m＝﹣3，n＝﹣3，∴点A′的坐标为（﹣3，﹣3）， 故选：C． 2.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，1） D．（1，3） 【答案】A 【解析】在正方形中，点A的坐标为（1，0）， 点B（0，1）， ∵C（0，4）， ∴OC＝4， ∴BC＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝3， ∴D（1，3）， 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣1）；第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，﹣3）；第3次旋转结束时，点D的坐标为（﹣3，1）；第4次旋转结束时，点D的坐标为（1，3）， 由以上分析判断可得：旋转4次为一个循环． ∵2025÷4＝506⋯1， ∴经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，为（3，﹣1）； 经过第2025次旋转后，点D的坐标为（3，﹣1）． 故选：A． 3. 已知P是正△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，∠APB＝150°，则PC＝（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，将三角形ABP绕点A逆时针旋转60°得三角形ACD，连接PD， 则AP＝AD，∠PAD＝60°，∠ADC＝∠APB＝150°，DC＝BP＝2， ∴△APD是等边三角形， ∴PD＝AP＝1，∠ADP＝60°， ∴∠PDC＝90°， ∴PC， 故选：D． 4. 已知点，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A2，依此作法继续下去，则点A2025的坐标是（　　） A． B． C． D．（﹣2，0） 【答案】C 【解析】∵点绕原点顺时针旋转60°多次，旋转6次后坐标循环， 2025÷6＝337⋯⋯3，余数为3， ∴点A2025与点A3坐标相同， 点A3绕原点O旋转3×60°＝180°得到点， ∴点A3与点关于原点对称，则A3， ∴点A2025的坐标是， 故选：C． 5. 如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG＝2，CG＝1，则CE的长为　　 ． 【答案】2.4 【解析】如图，连接EG， ∵BG＝2，CG＝1， ∴BC＝BG+CG＝2+1＝3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°， 由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， ∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG， 设DE＝x，则CE＝CD﹣DE＝3﹣x，BF＝DE＝x，FG＝BF+BG＝x+2， ∴EG＝x+2， 在Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2， ∴（3﹣x）2+12＝（x+2）2， 解得x＝0.6； ∴CE＝3﹣x＝3﹣0.6＝2.4；故答案为：2.4． 6．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数是 　　 ． 【答案】30°或150° 【解析】当点D在点A的左侧时，如图1所示． ∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC（180°﹣∠BAC）＝70°． ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ABC＝70°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°． 当点D在点A的右侧时，如图2所示． ∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB（180°﹣∠BAC）＝70°． ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝70°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°． ∴当AD∥BC时，∠BAE的度数为30°或150°．故答案为：30°或150°． 1. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心O旋转n°后能与自身重合，那么n的值可能是（　　） A．22.5 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【解析】∵360°÷8＝45°， ∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即n＝45． 故选：C． 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 　　 ． 【答案】 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴， ∵△BCD为等边三角形， ∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°， 如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F， 则，∠FCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝30°， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：OD＜DE+OE， ∴， ∵OD的最大值为， 故答案为：． 3. 在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形ABCD的对角线交于点O，过O的直线EF，将平行四边形ABCD等分成面积相等的四边形AEFD和四边形CFEB． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 【解析】如图所示： 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，∠ADB＝90°，其中45°＜∠ABD＜90°，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，作直线ED交AC于点F． （1）求∠CEB的度数； （2）用等式表示FD，BE，AD的数量关系，并证明． 【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC．即∠ABD＝∠CBE， 又∵BA＝BC，BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°； （2），理由如下： 过点C作CH⊥CE交EF于点H， 在 Rt△DBE 中，DB＝BE，∠DBE＝90°， ∴∠BED＝∠BDE＝45°， ∵∠ADB＝∠CEB＝90°， ∴∠ADF＝∠CEH＝45°， ∵CH⊥CE， ∴∠ECH＝90°， ∴∠CHE＝45°， ∴CE＝CH， ∵△ABD≌△CBE， ∴AD＝CE， ∴AD＝CH， 又∵∠ADF＝∠CHF＝45°，∠AFD＝∠CFH， ∴△ADF≌△CHF（AAS）， ∴DF＝HF． 在Rt△HCE中，HE2＝CH2+CE2， ∵CE＝CH， ∴， 在Rt△DBE中，DE2＝DB2+BE2， ∵DB＝BE， ∴， ∵HE＝HD+DE， ∴， ∵CE＝AD， ∴，即． 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $