专题06 图形的旋转【五大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题06 图形的旋转【五大题型】 利用旋转的性质求角度 1．（2023•西城区校级期末）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A．60° B．65° C．72.5° D．115° 2．（2023•昌平区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，且AD⊥BC．若∠CAE＝65°，∠E＝60°，则∠BAC的大小为（　　） A．60° B．75° C．85° D．95° 3．（2023•东城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　） A．150° B．90° C．30° D．60° 4．（2023•西城区校级期末）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 5．（2023•大兴区校级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 6．（2023•东城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC绕着点C旋转得到△DEC，DE交AB于点F，若∠ACB＝90°，∠DCB＝67°，那么∠AFE的度数为 　 　． 8．（2023•西城区校级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝ 　 　.（用含α的式子表示） 9．（2023•东城区校级期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　 　． 10．（2023•海淀区校级期末）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA′，若AC⊥A′B′，则∠AA′B′＝　 　度． 利用旋转的性质求线段长度 11．（2023•朝阳区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D．4 12．（2023•海淀区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝6，CG＝4，则CE的长为（　　） A． B． C．8 D．9 13．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（　　） A． B． C． D． 14．（2023•东城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A1B1C，取AC的中点E，A1B1的中点P，则在旋转过程中，线段EP的最大值为（　　） A．1 B．0.5 C．2 D．1.5 15．（2023•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝2，AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 　 　． 16．（2023•朝阳区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为　 　． 17．（2023•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝3，AC＝2，则AD的长为　 　． 18．（2023•海淀区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝3，点D在AC上，AD＝2CD，点E在BC的延长线上，将线段DE绕D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF，若AF∥BE，则AF的长是 　 　． 旋转中的坐标与图形变换 19．（2023•西城区校级期末）如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（　　） A．（7，3） B．（4，5） C．（7，4） D．（3，4） 20．（2023•海淀区校级期末）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0） 21．（2023•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 22．（2023•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA＝2，OC＝4，则点B′的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4） 23．（2023•丰台区校级期末）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（，1），若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是 　 　． 24．（2023•东城区校级期末）如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　 　． 25．（2023•延庆区校级期末）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为　 　；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为　 　． 26．（2023•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（3，3），（3，0）．正方形OABC从图中的位置出发，以每秒旋转90°的速度，绕点O沿顺时针方向旋转．同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，沿正方形的边，按照O→A→B→C→O→A…的路线循环运动．第1秒时点P的坐标为（1，0），第2秒时点P的坐标为　 　，第2023秒时点P的坐标为　 　． 旋转中的多结论问题 27．（2023•朝阳区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠ACD＝∠EAD B．∠ABC＝∠ADC C．∠EAC＝α D．∠EDC＝180°﹣α 28．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD，且△CHM可由△BEM旋转而得，延长CH交AD于F，则下列结论错误的是（　　） A．BM＝CM B．FMEH C．CF⊥AD D．FM⊥BC 29．（2023•东城区校级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 30．（2023•大兴区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，连接BE．下列结论：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正确结论的序号是 　 　． 31．（2023•昌平区校级期末）如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，PQ，若∠PBQ＝40°，下列结论：①△ACP≌△BCQ；②∠APB＝100°；③∠BPQ＝50°，其中一定成立的是　 　（填序号）． 32．（2023•海淀区校级期末）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立； （2）OM﹣ON的值不变； （3）△OMN的周长不变； （4）四边形PMON的面积不变， 其中正确的序号为　 　． 旋转综合 33．（2023•海淀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 　 　； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 34．（2023•西城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE． （1）求∠CBE的度数； （2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长． 35．（2023•朝阳区期末统考）已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF． （1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数； （2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明． 36．（2023•石景山区期末统考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BDBA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE． （1）求∠CAE的度数； （2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明． 37．（2023•东城区校级期末）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM． （1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD； （2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明． 38．（2023•东城区校级期末）已知：∠AOB是直角，过点O作射线OC，设∠AOC＝α（0°＜α＜180°，且α≠90°），将射线OC逆时针旋转45°得到射线OD． （1）如图1，若0°＜α＜45°，则∠AOC+∠BOD＝　 　°； （2）如图2，若45°＜α＜90°． ①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系 　 　； ②作∠AOD的角平分线OE，试判断∠COE与∠BOD之间的数量关系，并证明； （3）若OF平分∠BOC，请你直接写出∠DOF的度数（用含有α的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的旋转【五大题型】 利用旋转的性质求角度 1．（2023•西城区校级期末）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（　　） A．60° B．65° C．72.5° D．115° 解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°， ∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°； 答案：B． 2．（2023•昌平区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，且AD⊥BC．若∠CAE＝65°，∠E＝60°，则∠BAC的大小为（　　） A．60° B．75° C．85° D．95° 解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴∠C＝∠E＝60°，∠BAC＝∠DAE， ∵AD⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAF+∠EAC＝30°+65°＝95°， ∴∠BAC＝∠DAE＝95°． 答案：D． 3．（2023•东城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　） A．150° B．90° C．30° D．60° 解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C， ∴CA＝CA'，∠ACA'＝α， ∴∠A＝∠CA'A＝60°， ∴∠ACA'＝60°， ∴α＝60°， 答案：D． 4．（2023•西城区校级期末）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．75° 解：∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 由旋转性质知，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC＝30°，CB＝CE， ∴∠CEB＝∠CBE＝75°， ∴∠BED＝∠CEB﹣∠CED＝75°﹣30°＝45°， 答案：B． 5．（2023•大兴区校级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 解：由题意知△ABC≌△DEC， 则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC， ∴∠DAC75°， 答案：D． 6．（2023•东城区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， ∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°， ∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°． 答案：B． 7．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC绕着点C旋转得到△DEC，DE交AB于点F，若∠ACB＝90°，∠DCB＝67°，那么∠AFE的度数为 　157°　． 解：△ABC绕点C旋转得到△DEC， ∠B＝∠E，∠A＝∠D， ∠ACD＝∠BCE＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣61°＝23°， 在△ACB中，∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝90°， 在四边形ACEF中， ∠AFE＝360°﹣∠A﹣∠E﹣∠ACE ＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACE ＝360°﹣（∠A+∠B）﹣（∠ACB+∠BCE） ＝360°﹣90°﹣（90°+23°） ＝157°， 答案：157°． 8．（2023•西城区校级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE＝ 　90°　.（用含α的式子表示） 解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B， ∴∠ADB＝∠B， ∵∠BAD＝α， ∴∠ADE＝∠ADB90°， 答案：90°． 9．（2023•东城区校级期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　45°　． 解：∵∠AOC的度数为105°， 由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°， ∵△AOD中，AO＝DO， ∴∠A（180°﹣40°）＝70°， ∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°， 由旋转可得，∠C＝∠B＝45°， 答案：45°． 10．（2023•海淀区校级期末）如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA′，若AC⊥A′B′，则∠AA′B′＝　20　度． 解：若AC⊥A′B′，垂足为D， ∵AC⊥A′B′， ∴∠A′DC＝90°， 在Rt△A′CD中，∠DA′C＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣40°＝50°， ∵CA＝CA′， ∴∠CAA′＝∠AA′C（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AA′B＝70°﹣50°＝20°， 答案：20． 利用旋转的性质求线段长度 11．（2023•朝阳区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D．4 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°， 又∵∠ABO＝60°， ∴△ABO为等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°， ∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴AB＝EF＝2． 答案：C． 12．（2023•海淀区校级期末）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝6，CG＝4，则CE的长为（　　） A． B． C．8 D．9 解：连接EG， 由正方形ABCD，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，过点A作EF的垂线，BG＝6，CG＝4， 得AE＝AF，DE＝BF， 得AG垂直平分FE， 得EG＝FG， 由AB＝BC＝BG+GC＝6+4＝10，设CE＝x， 得DE＝10﹣x＝BF， 得EG＝FG＝BF+BG＝16﹣x， 由CE2+CG2＝EG2， 得x2+42＝（16﹣x）2， 得CE＝x＝7.5． 答案：B． 13．（2023•西城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（　　） A． B． C． D． 解：过点H作HM⊥BC于点M， ∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8， ∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6， ∴HM∥BE， ∵H是EG的中点， ∴MHBE＝4，BM＝GMBG＝3， ∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5， 在Rt△CHM中，CH． 答案：D． 14．（2023•东城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A1B1C，取AC的中点E，A1B1的中点P，则在旋转过程中，线段EP的最大值为（　　） A．1 B．0.5 C．2 D．1.5 解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴∠B＝30°，∠A＝60°， 由旋转得，∠B1＝30°，∠A1＝60°，A1B1＝2， ∵点P是A1B1的中点， ∴CP＝A1PA1B1＝1， ∴△A1CP是等边三角形， ∴∠A1CP＝60°， ∴CE+CP＞EP， ∴当点E、C、P三点共线时，EP最大，EP最大＝CE+CP， ∵点E是AC的中点，AC＝1， ∴CE＝0.5， ∴EP最大＝0.5+1＝1.5． 答案：D． 15．（2023•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝2，AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为 　3　． 解：由旋转性质可知，AC1＝AC，∠BAC1＝∠BAC+∠CAC1＝30°+60°＝90°， 则在Rt△BAC1中，BC1． 答案：． 16．（2023•朝阳区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为　3　． 解：旋转的性质易得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝3． 答案：3． 17．（2023•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝3，AC＝2，则AD的长为　5　． 解：∵∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD， ∴∠BAC+∠BDC＝120°+60°＝180°， ∴A，B，D，C四点共圆， ∴∠ECD＝∠ABD，在四边形ACDB中， ∠ABD+∠ACD＝360°﹣∠BAC﹣∠CDB＝360°﹣120°﹣60＝180°＝∠ACD+∠ECD， 即∠ACE＝180°即A、C、E共线， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠ADB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝∠BDC＝∠ADE＝60°，AD＝ED， 故△ADE是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， AD＝AE＝AC+AB＝3+2＝5． 答案：5． 18．（2023•海淀区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝3，点D在AC上，AD＝2CD，点E在BC的延长线上，将线段DE绕D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF，若AF∥BE，则AF的长是 　1　． 解：过点D作GH⊥AF于G，交BC于点H， ∵AF∥BE， ∴∠CHD＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠ACB＝60°， ∵AD＝2CD，AB＝3， ∴AD＝2，CD＝1， ∴AG，CH， ∴DH， ∵线段DE绕D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴∠HDE+∠GDF＝90°， ∠GDF+∠F＝90°， ∴∠HDE＝∠F， 在△HDE和△GFD中， ， ∴△HDE≌△GFD（AAS）， ∴GF＝DH， ∴AF＝AG+FG＝1， 答案：1． 旋转中的坐标与图形变换 19．（2023•西城区校级期末）如图，直线yx+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（　　） A．（7，3） B．（4，5） C．（7，4） D．（3，4） 解：直线yx+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点． 旋转前后三角形全等． 由图易知点B′的纵坐标为OA长，即为3， ∴横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7． 答案：A． 20．（2023•海淀区校级期末）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0） 解：如图，点B绕点D顺时针旋转90°到达点B′， 点B′的坐标为（4，0）． 答案：D． 21．（2023•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1） D．（2.5，0.5） 解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF， ∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E， 作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1）， ∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）． 答案：C． 22．（2023•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA＝2，OC＝4，则点B′的坐标为（　　） A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4） 解：∵OABC是矩形，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°得到矩形OA′B′C′， OC＝4，OA＝2． ∴OA′＝2，OC′＝4， ∴B′坐标为（4，2）． 答案：C． 23．（2023•丰台区校级期末）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（，1），若将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，B点到达B′点，则点B′的坐标是 　（）　． 解：将△OAB绕O点，逆时针旋转60°后，位置如图所示， 作B′C′⊥y轴于C′点， ∵A的坐标为， ∴OB，AB＝1，∠AOB＝30°， ∴OB′，∠B′OC′＝30°， ∴B′C′，OC′， ∴B′（，）． 24．（2023•东城区校级期末）如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（2，4）　． 解：令y＝0，则x+2＝0， 解得x＝2， 令x＝0，则y＝2， ∴点A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∴∠BAO＝30°， ∴AB＝2OB＝2×2＝4， ∵△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′， ∴∠BAB′＝60°， ∴∠OAB′＝30°+60°＝90°， ∴AB′⊥x轴， ∴点B′（2，4）． 答案：（2，4）． 25．（2023•延庆区校级期末）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为　（1，1）　；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为　（﹣1，﹣1）　． 解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得 D点坐标为（，），即（1，1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°， 2700°÷360＝7.5周， OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1）， 答案：（1，1），（﹣1，﹣1）． 26．（2023•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（3，3），（3，0）．正方形OABC从图中的位置出发，以每秒旋转90°的速度，绕点O沿顺时针方向旋转．同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，沿正方形的边，按照O→A→B→C→O→A…的路线循环运动．第1秒时点P的坐标为（1，0），第2秒时点P的坐标为　（0，﹣2）　，第2023秒时点P的坐标为　（﹣2，3）　． 解：第2秒时，点P在OA上，OP＝2，此时OA在y轴的负半轴上，P（0，﹣2）， 正方形每4秒一个循环，2023÷4＝505…3， ∴2023秒时，点B在第二象限， ∵2023÷12＝168…7 ∴点P在BC上，P（﹣2，3）， 答案：（0，﹣2），（﹣2，3）． 旋转中的多结论问题 27．（2023•朝阳区校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠ACD＝∠EAD B．∠ABC＝∠ADC C．∠EAC＝α D．∠EDC＝180°﹣α 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE， ∴△ABC≌△DAE，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠EAC＝α，AB＝AD，所以C选项不符合题意； ∵△ABC≌△DAE， ∴∠EAD＝∠CAB， ∵∠ACD＞∠CAB， ∴∠ACD＞∠EAD，所以A选项符合题意； ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADC，所以B选项不符合题意； ∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC， 而∠ADE＝∠ABC， ∴∠EDC＝∠ABC+∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，所以D选项不符合题意． 答案：A． 28．（2023•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD，且△CHM可由△BEM旋转而得，延长CH交AD于F，则下列结论错误的是（　　） A．BM＝CM B．FMEH C．CF⊥AD D．FM⊥BC 解：∵△CHM可由△BEM旋转而得， ∴BM＝MC，∠CHM＝∠BEH，ME＝MH， 而BE⊥AD，即∠BEF＝90°， ∴∠BEH＝90°+∠HEF， 又∵∠CHM＝∠CFE+∠HEF， ∴∠CFE＝90°， 即CF⊥AD， 又∵ME＝MH， ∴FMEH． 所以A，B，C都正确． 答案：D． 29．（2023•东城区校级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确； ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠A＝∠ADC，∠CBE， ∴∠A＝∠EBC，故④正确； ∵∠A+∠ABC不一定等于90°， ∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误． 答案：C． 30．（2023•大兴区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，连接BE．下列结论：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正确结论的序号是 　①②③　． 解：∵△DCE是由△ACB旋转得到， ∴CA＝CD，∠A＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠CDE， ∴CD平分∠ADE； 故①正确， 如图，设BC，DE交于点F， ∴∠BFE＝∠FCE+∠FEC＝∠FDB+∠FBD， ∵旋转， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴∠BDE＝∠BCE，故②正确； 由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CD，CB＝CE， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB， ∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE＝180°， ∴∠DCE+∠DBE＝180°， ∵∠DCE＝90°， ∴∠DBE＝90°， ∴BE⊥AB； 由旋转的性质，DE＝AB，而AB≠BC， ∴BC≠DE， 答案：①②③． 31．（2023•昌平区校级期末）如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，PQ，若∠PBQ＝40°，下列结论：①△ACP≌△BCQ；②∠APB＝100°；③∠BPQ＝50°，其中一定成立的是　①②　（填序号）． 解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ， ∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°， ∴∠PCQ＝∠ACB， ∴∠ACP＝∠BCQ，且AC＝BC，PC＝CQ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， 故①正确 ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠CBQ＝∠CAP， ∵∠BAP+∠CAP+∠ABP+∠PBC＝180°﹣∠ACB＝120° ∴∠ABP+∠BAP＝120°﹣（∠PBC+∠CBQ）＝120°﹣∠PBQ＝120°﹣40°＝80° ∵∠APB＝180°﹣（∠ABP+∠BAP）＝100° 故②正确 ∵∠BQC的度数不确定， ∴∠BQP的度数不确定，即∠BPQ的度数不确定． 故③错误 答案：①② 32．（2023•海淀区校级期末）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立； （2）OM﹣ON的值不变； （3）△OMN的周长不变； （4）四边形PMON的面积不变， 其中正确的序号为　（1）（4）　． 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE＝PF， 在△POE和△POF中， ， ∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）， ∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确， ∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误， 答案：（1）（4）． 旋转综合 33．（2023•海淀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝36°．则∠BAF的度数为 　63°　； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝54°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF＝∠ABC＝54°，AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA63°， 答案：63°； （2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8， ∴AE＝AB−BE＝4， ∴AF4． 34．（2023•西城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE． （1）求∠CBE的度数； （2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长． 解：（1）∵将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E， ∴CB＝CE，∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠CBE的度数为60°； （2）∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝DC，∠ACD＝60°， ∵∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB， ∴∠ACE＝∠DCB， ∵CB＝CE， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD＝5， ∵∠CBE＝60°，∠ABC＝30°， ∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°， 在Rt△ABE中，AB＝3， ∴BE4， ∴BE的长为4． 35．（2023•朝阳区期末统考）已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF． （1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数； （2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明． 解：（1）补全图形 如图： 延长AF，交BE的延长线于点G， 由题意：∠DAB＝α，∠ABE＝180°﹣α， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， ∴AD∥BE， ∴∠DAF＝∠G． 在△ADF和△GEF中， ， ∴△ADF≌△GEF（AAS）， ∴AD＝GE，AF＝GF， ∵AD＝AC， ∴GE＝AC， ∵BC＝BE， ∴GE+BE＝AC+CB， 即BA＝BG． ∵AF＝GF， ∴BF⊥AG． ∴∠AFB＝90°； （2）α＝60°时，使得成立，理由： 延长AF至点G使FG＝FA，连接BG，GE，延长GE交AB的延长线于点H，如图， 在△ADF和△GEF中， ， ∴△ADF≌△GEF（SAS）， ∴AD＝GE，∠DAF＝∠EGF， ∴GH∥AD， ∴∠DAB+∠H＝180°． ∵AD＝AC， ∴AC＝GE． ∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA， ＝180°﹣（∠DAB﹣α）﹣（∠EBA﹣180°+α） ＝180°﹣∠DAB+α﹣∠EBA+180°﹣α ＝180°﹣∠DAB+180°﹣∠EBA ＝∠H+∠EBH ＝∠BEG． 在△ABC和△BGE中， ， ∴△ABC≌△BGE（SAS）， ∴AB＝GB，∠ABC＝∠GBE， ∵FG＝FA， ∴BF⊥AG，∠ABG＝2∠ABF，∠ABG＝∠EBC， ∴∠AFB＝90°． ∵α＝60°， ∴∠EBC＝120°， ∴∠ABG＝120°， ∴∠ABF＝60°， ∴AF＝BF•tan∠ABF＝BF•tan60°BF． 36．（2023•石景山区期末统考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BDBA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE． （1）求∠CAE的度数； （2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明． 解：（1）取AB的中点O，连接CO，如图： 在Rt△ACB中，ACB＝90°， ∴COAB＝AO， ∵∠BAC＝60°， ∴△ACO是等边三角形， ∵线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE， ∴CD＝CE，即△CDE是等边三角形， ∴∠ACO＝∠ECD＝60°，CA＝CO， 即∠ACE＝∠OCD， ∴△ACE≌△OCD（SAS）． ∴∠CAE＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°． （2）FG＝AF+AE． 如图，过点D作DH∥CO交CB于M点，如图： 由 （1）可知：△ACE≌△OCD， ∴∠ACE＝∠OCD， ∵MH∥DC， ∴∠MDC＝∠OCD， ∵∠MDC＝∠HDG，∠ACE＝∠G， ∴∠HDG＝∠G， ∴HD＝HG， ∵F是DE的中点， ∴EE＝DF， ∵∠EAF＝∠DHF，∠AEF＝∠HFD， ∴△FE≌△HFD（AAS）， ∴AE＝HD，AF＝HF， ∴FG＝HF+HG＝AF+AE． 37．（2023•东城区校级期末）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM． （1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD； （2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明． 解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC， ∴△APC是等边三角形， ∴∠APC＝60°， ∴∠BPM＝60°， 又∵∠PBD＝120°， ∴∠BPM+∠PBD＝180°， ∴PM∥BD． （2）猜想，CM⊥MB，CMMB，理由如下： 如图2，延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，GD， ∵AM＝MD，GM＝BM， ∴四边形AGDB是平行四边形， ∴AG＝BD，AG∥BD， ∴∠BAG＝180°﹣∠ABD＝60°， ∴∠CAG＝120°， ∵△APC是等边三角形， ∴AC＝CP，∠CPB＝120°， ∵PB＝DB＝AG， ∴△CAG≌△CPB（SAS）， ∴CG＝CB，∠ACG＝∠PCB， ∴∠GCB＝60°， ∴△CBG是等边三角形， ∵GM＝BM， ∴CM⊥BM，CMMB． 38．（2023•东城区校级期末）已知：∠AOB是直角，过点O作射线OC，设∠AOC＝α（0°＜α＜180°，且α≠90°），将射线OC逆时针旋转45°得到射线OD． （1）如图1，若0°＜α＜45°，则∠AOC+∠BOD＝　45　°； （2）如图2，若45°＜α＜90°． ①请你直接写出∠AOC与∠BOD之间的数量关系 　∠AOC﹣∠BOD＝45°　； ②作∠AOD的角平分线OE，试判断∠COE与∠BOD之间的数量关系，并证明； （3）若OF平分∠BOC，请你直接写出∠DOF的度数（用含有α的代数式表示）． 解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DOC+∠AOC＝90°， ∵∠DOC＝45°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°﹣45°＝45°． 答案：45； （2）①∵∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝α+45°﹣90°＝α﹣45°， 而∠AOC＝α， ∴∠AOC﹣∠BOD＝45°， 答案：∠AOC﹣∠BOD＝45°； ②∠COE． 如图， ∵∠AOD＝α+45°，∠AOD的角平分线是OE， ∴∠AOEAOD（α+45°）， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝α（α+45°）， 由（1）得，∠BOD＝α﹣45°， ∴∠COE； （3）当OC在OA上方时，①当0°＜α＜90°时，如图， ∠DOF＝∠DOC﹣∠COF＝∠DOCBOC＝45°； ②当90°＜α＜180°时，如图， ∠DOF＝∠DOC+∠COF＝∠DOCBOC＝45°； 当OC在OA下方时，③当0°＜α＜90°时， ∠DOF＝∠COF﹣∠COD∠BOC﹣∠COD＝45°α﹣45°α； ③当90°≤α＜180°时， ∠DOF＝∠DOC+∠COF＝∠DOCBOC＝45°； 综上，∠DOF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$