第02讲 分式方程及其应用（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦分式方程及其应用，覆盖概念、解法、增根、应用四大中考核心考点，通过目标导图构建知识脉络，考点深解速通命题要点，命题突破破解6大常考题型，难点攻坚攻克增根与无解等易错点，形成“梳理-突破-检测”系统复习链，助力学生高效掌握分式方程全考点。 亮点在于“三阶递进”教学策略，如“分式方程解的情况求参数”题型，通过整式方程转化与增根检验培养推理意识，应用题环节结合燃油汽车费用问题抽象等量关系发展模型意识，分层练测配合即时反馈，确保不同层次学生提升，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第二章 数与式 第02讲 分式方程及其应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1分式方程的概念 考点2分式方程的解法 考点3分式方程的增根 考点4分式方程的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1分式方程的定义 题型2解分式方程 题型3 解分式方程错解复原问题 题型4 分式方程解的情况求参数 题型5 分式方程的应用之列方程 题型6 分式方程的实际应用问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知分式方程的增根求参数 难点2已知分式方程的无解求参数 难点3 根据分式方程解的情况求值 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 1. 混淆分式方程和分式：分式方程是含分式且分母有未知数的方程，分式只是代数式，不含等号。 2. 误判方程类型：若分母只有常数不含未知数，哪怕有分式形式，也不是分式方程。 3. 忽略隐含条件：分式方程的分母不能为0，解完后必须验根，避免出现增根。 ◇考点 2 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 1. 去分母时漏乘不含分母的项。 2. 去分母时忽略符号变化，当分子是多项式时，去分母后要给分子加括号，避免符号出错。 3. 解完后忘记验根，分式方程分母不能为0，必须把解代入最简公分母检验，排除增根。 ◇考点 3 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 1. 混淆增根与无解：增根是去分母后整式方程的解，但使最简公分母为0；无解可能是整式方程本身无解，或有解但都是增根。 2. 认为增根是原方程的解：增根不满足原分式方程的分母不为0的隐含条件，不是原方程的解。 3. 已知增根求参数时，只代入整式方程却不验证**：需先代入最简公分母确定参数值，再代入整式方程检验。 ◇考点 4 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 1. 列方程时等量关系找错，尤其是行程、工程问题，易混淆速度与时间、效率与工作量的关系。 2. 解完方程后忽略实际检验，未判断解是否符合人数、长度、时间等实际意义的正数要求。 3. 忘记验根步骤，即便解符合实际，也要代入最简公分母排除增根，避免分母为0的情况。 ◇题型 1 分式方程的定义 典例1（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 典例2（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 判断分式方程的核心技巧：看方程是否为等式，且分母中含有未知数，满足这两个条件就是分式方程。 若分母只有常数，哪怕式子是分式形式，也不是分式方程。 变式1下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◇题型 2 解分式方程 典例1（2025·山西·一模）解方程：． 典例2（2025·福建漳州·三模）解方程：． 解｜题｜技｜巧 1. 找最简公分母，方程两边同乘公分母消去分母； 2. 解转化后的整式方程； 3. 验根：把解代入最简公分母，不为0才是原方程的解。 变式1（2025·上海·模拟预测）解方程： 变式2（2025·上海浦东新·三模）解方程：． ◇题型 3 解分式方程错解复原问题 典例1（2025·广西柳州·三模）下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 典例2（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 解｜题｜技｜巧 解分式方程错解复原问题的技巧：先定位错解步骤（去分母漏乘、符号错误、验根缺失等），代入错误结果反推参数，再按正确步骤解方程。 变式1（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 变式2（2025·河北·模拟预测）下面是小倩同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解：方程两边同乘，得，    第一步 移项，得，        第二步 合并同类项，得，        第三步 系数化为1，得．        第四步 (1)以上解题过程中，第 步开始出现错误； (2)写出该方程正确的解题过程． ◇题型 4 分式方程解的情况求参数 典例1（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 典例2（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 解｜题｜技｜巧 1. 先去分母化为整式方程，用参数表示出未知数； 2. 分情况讨论：有解则解使最简公分母≠0，无解则整式方程无解或解均为增根，有增根则解使最简公分母=0。 变式1（2023·湖南·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 变式2（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． ◇题型 5 分式方程的应用之列方程 典例1（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 典例2（2025·山东青岛·模拟预测）青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 解｜题｜技｜巧 1. 分析**行程、工程、销售**等场景的核心等量关系（如速度=路程/时间）； 2. 设未知数后，用含未知数的分式表示相关量； 3. 依据等量关系列方程，注意量的单位统一。 变式1（2025·广东广州·二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分400元钱，每人分得若干，第二次比第一次减少6人，平分200元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为人，则可列方程为 ． 变式2（2025·山西朔州·模拟预测）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ． ◇题型 6 分式方程的实际应用问题 典例1（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 典例2（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 解｜题｜技｜巧 1. 审题梳理三类量的关系（如工程问题中工作量、效率、时间）； 2. 找等量关系（多用“相同”“比…多/少”“刚好完成”等表述）； 3. 设未知数后用分式表示相关量，列方程，解后双重检验（验根+验实际意义）。 变式1（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 变式2（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ ◇难点 1 已知分式方程的增根求参数 典例1关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 典例2若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 变式1当 时，方程会产生增根． 变式2若分式方程有增根，则它的增根是 ． ◇难点 2 已知分式方程的无解求参数 典例1关于的分式方程无解，则的值为 ． 典例2如果关于的方程无解，则的值为 ． 变式1已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 变式2已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． ◇难点 3 根据分式方程解的情况求值 典例1若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 典例2关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 变式1若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 变式2已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 4．（2025·四川·中考真题）方程的解为 ． 5．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 6．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 三、解答题 7．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 8．（2025·四川自贡·中考真题）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 9．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 10．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 二、填空题 4．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 5．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 6．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 三、解答题 7．（2025·上海·中考真题）解方程：． 8．（2025·新疆·一模）（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在答题卡______处打“√”；若错误，请打“×”，并写出你的解答过程． （2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 9．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 10．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 数与式 第02讲 分式方程及其应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1分式方程的概念 考点2分式方程的解法 考点3分式方程的增根 考点4分式方程的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1 分式方程的定义 题型2 解分式方程 题型3 解分式方程错解复原问题 题型4 分式方程解的情况求参数 题型5 分式方程的应用之列方程 题型6 分式方程的实际应用问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知分式方程的增根求参数 难点2已知分式方程的无解求参数 难点3 根据分式方程解的情况求值 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 1. 混淆分式方程和分式：分式方程是含分式且分母有未知数的方程，分式只是代数式，不含等号。 2. 误判方程类型：若分母只有常数不含未知数，哪怕有分式形式，也不是分式方程。 3. 忽略隐含条件：分式方程的分母不能为0，解完后必须验根，避免出现增根。 ◇考点 2 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 1. 去分母时漏乘不含分母的项。 2. 去分母时忽略符号变化，当分子是多项式时，去分母后要给分子加括号，避免符号出错。 3. 解完后忘记验根，分式方程分母不能为0，必须把解代入最简公分母检验，排除增根。 ◇考点 3 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 1. 混淆增根与无解：增根是去分母后整式方程的解，但使最简公分母为0；无解可能是整式方程本身无解，或有解但都是增根。 2. 认为增根是原方程的解：增根不满足原分式方程的分母不为0的隐含条件，不是原方程的解。 3. 已知增根求参数时，只代入整式方程却不验证**：需先代入最简公分母确定参数值，再代入整式方程检验。 ◇考点 4 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 1. 列方程时等量关系找错，尤其是行程、工程问题，易混淆速度与时间、效率与工作量的关系。 2. 解完方程后忽略实际检验，未判断解是否符合人数、长度、时间等实际意义的正数要求。 3. 忘记验根步骤，即便解符合实际，也要代入最简公分母排除增根，避免分母为0的情况。 ◇题型 1 分式方程的定义 典例1（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 典例2（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 解｜题｜技｜巧 判断分式方程的核心技巧：看方程是否为等式，且分母中含有未知数，满足这两个条件就是分式方程。 若分母只有常数，哪怕式子是分式形式，也不是分式方程。 变式1下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 变式2下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． ◇题型 2 解分式方程 典例1（2025·山西·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 典例2（2025·福建漳州·三模）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 解｜题｜技｜巧 1. 找最简公分母，方程两边同乘公分母消去分母； 2. 解转化后的整式方程； 3. 验根：把解代入最简公分母，不为0才是原方程的解。 变式1（2025·上海·模拟预测）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．两边都乘以将分式方程转化为整式方程，求得x的值，再进一步检验，从而得出答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得，，   整理，得 ， 化简，得， 解得，， 经检验、都是原方程的根， 所以原方程的根为，． 变式2（2025·上海浦东新·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键；方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 即， ， ， ，， 检验：时，，是原分式方程的解， 时，，不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． ◇题型 3 解分式方程错解复原问题 典例1（2025·广西柳州·三模）下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 【答案】任务一：一，漏乘了；任务二：正确解题过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据分式方程的解法步骤即可确定解题步骤错误之处及原因，最后根据分式方程解法步骤求解即可得到答案．熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了， 故答案为：一，漏乘了； 任务二：该题的正确解题过程如下： ， 去分母得， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 典例2（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 解｜题｜技｜巧 解分式方程错解复原问题的技巧：先定位错解步骤（去分母漏乘、符号错误、验根缺失等），代入错误结果反推参数，再按正确步骤解方程。 变式1（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 变式2（2025·河北·模拟预测）下面是小倩同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解：方程两边同乘，得，    第一步 移项，得，        第二步 合并同类项，得，        第三步 系数化为1，得．        第四步 (1)以上解题过程中，第 步开始出现错误； (2)写出该方程正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘时，左边的项没有乘以，故第一步开始出错； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘时，左边的项没有乘以，故第一步开始出错． 故答案为：一； （2）解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． ◇题型 4 分式方程解的情况求参数 典例1（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 典例2（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1. 先去分母化为整式方程，用参数表示出未知数； 2. 分情况讨论：有解则解使最简公分母≠0，无解则整式方程无解或解均为增根，有增根则解使最简公分母=0。 变式1（2023·湖南·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 变式2（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． ◇题型 5 分式方程的应用之列方程 典例1（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 典例2（2025·山东青岛·模拟预测）青岛地铁7号线是连接即墨城区与青岛市区的一条在修地铁路线．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成的轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装，结果提前6天完成了安装任务．设施工队原计划每天安装，根据题意可列方程为 ． 【答案】（合理即可） 【分析】本题考查了列分式方程，施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装；据此即可求解； 【详解】解：施工队原计划每天安装，则改进了安装技术后每天安装； 由题意得：， 故答案为： 解｜题｜技｜巧 1. 分析**行程、工程、销售**等场景的核心等量关系（如速度=路程/时间）； 2. 设未知数后，用含未知数的分式表示相关量； 3. 依据等量关系列方程，注意量的单位统一。 变式1（2025·广东广州·二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分400元钱，每人分得若干，第二次比第一次减少6人，平分200元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系、列出分式方程是解题的关键． 设第一次分钱的人数为人，根据“第二次每人分得的钱与第一次相同”建立方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则可列方程为： ， 故答案为：． 变式2（2025·山西朔州·模拟预测）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可． 【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． ◇题型 6 分式方程的实际应用问题 典例1（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 典例2（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 解｜题｜技｜巧 1. 审题梳理三类量的关系（如工程问题中工作量、效率、时间）； 2. 找等量关系（多用“相同”“比…多/少”“刚好完成”等表述）； 3. 设未知数后用分式表示相关量，列方程，解后双重检验（验根+验实际意义）。 变式1（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 变式2（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． ◇难点 1 已知分式方程的增根求参数 典例1关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 典例2若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 变式1当 时，方程会产生增根． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 变式2若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． ◇难点 2 已知分式方程的无解求参数 典例1关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 典例2如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 变式1已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 变式2已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． ◇难点 3 根据分式方程解的情况求值 典例1若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 典例2关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 变式1若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 变式2已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 二、填空题 4．（2025·四川·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验． 先去分母化为整式方程，进而解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解：， ， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：． 5．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 6．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 三、解答题 7．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 8．（2025·四川自贡·中考真题）去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？ 【答案】10筐 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得：，再解方程即可. 【详解】解：设小李平均每小时掰玉米筐，则小张平均每小时掰玉米筐． 方程两边同乘得：， 展开并化简：， 移项：， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； 所以，小李平均每小时掰玉米10筐． 9．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 10．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元 (2)该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 二、填空题 4．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 5．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答． 【详解】解：解，可得， 的方程的解为非负数， ， 解得， ， ， 即， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 8．（2025·新疆·一模）（1）小丁和小迪分别解方程的过程如表： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是． 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在答题卡______处打“√”；若错误，请打“×”，并写出你的解答过程． （2）某学校课后兴趣小组在计划开展手工制作活动，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】（1）小丁和小迪的解法都不正确，解答过程见解析；（2）这些卡纸最多可以做成12个包装盒 【分析】本题主要考查了解分式方程、由实际问题抽象出二元一次方程组等知识点，掌握分式方程的解法以及找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． （1）先根据解分式方程的步骤判定正误，然后再将分式方程化成整式方程求解，最后检验即可完成正确解答； （2）设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：（1）小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下： ， 两边同乘，去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：将代入中，可得， 则是分式方程的解， 故原分式方程的解是． （2）设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意可得：，解得， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则能做出12个侧面，24个底面，这些卡纸最多可以做成12个包装盒． 9．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 10．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null