寒假作业02 等差数列的概念（6知识点+6大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 等差数列的概念 一、等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差数列通项公式的推导过程 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以，，，…… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 3、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 四、等差数列的性质 1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. 2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 3、若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． 4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． 5、通项公式的推广： (n，m∈N*)． 五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。 六、等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的概念辨析 1．（24-25高二下·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 2．（24-25高二·全国·课堂例题）由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 【答案】C 【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列是公差为2d的等差数列. 故选：C 3．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）（多选题）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 题型二 等差数列的通项与基本量计算 1．（25-26高二上·湖南·月考）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，利用通项公式列方程求解即可. 【详解】由题可知； 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】设公差为， 依题意，，解得. 故选：B 3．（24-25高二下·新疆喀什·期中）是首项，公差的等差数列，如果，那么序号（   ） A．1009 B．1012 C．1008 D．1010 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式可求答案. 【详解】由题意， 由可得. 故选：A 4．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求出，再利用等差数列的通项公式计算即可求解. 【详解】已知是等差数列， ， 由等差数列的性质可得，. 因此， ， 又因为，， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·新疆·月考）在实数和()之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项数与公差的关系，求出末项与首项的差，进而得到的值. 【详解】6个数构成等差数列，项数为6，公差为3,首项为，末项为， 则，故. 故选：D 6．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知正项等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正项等差数列的公差为，利用已知条件求出可得答案. 【详解】设正项等差数列的公差为， 由，， 得，，则. 故选：C. 7．（25-26高二上·重庆·月考）在等差数列中，，，（），则 ． 【答案】0 【分析】利用等差数列定义求出公差，代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 即，解得； 所以. 故答案为：0 8．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 【答案】B 【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为，． 故选：B. 题型三 等差中项的概念 1．（24-25高二上·上海松江·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）数列满足（），且，，则（    ） A． B．9 C． D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列项的性质结合通项公式计算求解. 【详解】因为 ，所以等差数列，设公差为， 所以，即得， 所以，所以， 则. 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确. 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义， 因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以， 因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 5．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】2 【分析】根据等差中项定义计算求解. 【详解】与的等差中项为:. 故答案为：2. 6．（23-24高二下·广东佛山·月考）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 【答案】27 【分析】利用等差数列的性质来求三个数的和即可. 【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得，所以插入的3个数之和为． 故答案为：. 题型四 等差数列的性质 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】直接根据等差数列的性质得到答案． 【详解】由于数列是等差数列， 所以， 故． 故选：B 2．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 3．设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 【答案】C 【分析】根据题意可判断也是等差数列，进一步可判断数列为常数列，得解. 【详解】因为，都是等差数列，所以也是等差数列． 又因为，， 所以数列的公差为0，即数列为常数列． 所以的第37项为100. 故选：C． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）在等差数列中，，则（   ） A．45 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，. . 故选：C. 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，则，则， 解得或， 又，所以. 故选：C 题型五 等差数列的证明 1．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【分析】先根据已知得出是等差数列，得出通项公式计算即可. 【详解】，又， 所以数列是公差为的等差数列，， 故选：B. 2．若数列满足：，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】通过递推关系式可变形为，可得是一个常数列，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 4．在数列中，，且．证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】因为在数列中，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列． 5．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据递推关系可求，； （2）将题设的递推关系整理为后可证明是等差数列，从而可求的通项公式. 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】由题意变形可得，可得结论. 【详解】由，得， 所以，所以数列是以为公差的等差数列． 题型六 等差数列的实际应用 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 2．（24-25高二下·山东德州·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题意得出，，然后结合等差数列的性质求出公差，即可得出答案. 【详解】设这十二个节气日影长为数列，则等差， 由题可知，， 由等差数列下标和性质得， ， 所以公差，则， 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【答案】A 【分析】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果. 【详解】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A 4．（24-25高二下·山东淄博·月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．101 C．21 D．19 【答案】C 【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果. 【详解】因为数列的前几项为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，则. 故选：C 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 【答案】A 【分析】由等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在公差为正数的等差数列中， 因为，所以， 又，所以或， 又因为公差为正数，所以，所以， 所以，则. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南驻马店·月考）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 【答案】B 【分析】利用等差数列下标的性质，通过已知的两个和式来推导出第三个和式的值. 【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为， 由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为， 小寒、雨水、清明日影长之和为， 大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为， 所以． 故选：B． 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质列出数列的通项公式，再根据求出公差，从而解出数列的通项公式，代入求解． 【详解】数列是等差数列，设公差为，则， 又， ， 数列的通项公式为：， ， ． 故选：C． 4．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 5．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【详解】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 6．（23-24高二下·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【分析】得到的值，由的每相邻两项之间都插入个数后构成新的等差数列得到的首项和公差，由此得到的通项公式，进而得到. 【详解】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则． 故选：B. 8．设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（24-25高二下·江西抚州·月考）在等差数列中，，，则＝ 【答案】78 【分析】利用等差数列的等和性可得可计算. 【详解】在等差数列中，， 则. 故答案为：. 10．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 【答案】 【分析】应用等差数列的通项公式可得且，结合列方程求公差. 【详解】设的公差为d，则，则， ∴， 而，即， ∴. 故答案为： 11．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知数列满足，，则等于 . 【答案】 【分析】先根据条件判断得数列是等差数列，再设公差为，根据条件列方程求出，进而可得. 【详解】由知，数列是等差数列， 设公差为，由，得， 所以． 故答案为：. 12．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 13．（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 【答案】，2，6或6，2， 【分析】先根据等差数列设出三个数，再根据条件得出方程计算即可. 【详解】 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 14．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 1．（23-24高二上·全国·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．199 【答案】C 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可得. 【详解】设该数列为，则； 由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即，所以，，，，， 将所有上式累加可得，所以， 所以； 即该数列的第15项为. 故选：C 2．（24-25高二上·河南·月考）已知正项等差数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解. 【详解】因为为等差数列，所以，， 则， 所以， 从而， 故， 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即. 【详解】解：设等差数列的公差为，且，则， ∴， ∴， ∵为等差数列，∴，(且为公差) ∴， ∴，∵，∴. 故选：A. 4．（多选题）若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】记的公差为，由已知可得，逐项计算判断即可. 【详解】记的公差为.因为，所以. 的正负不确定，故A错误. ，故B正确. 由，， 所以，故C正确. ，故D错误. 故选：BC. 5．（2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ． 【答案】27 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合，即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】由，，① ，② ②①得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令，得，又，， 所以，解得， . 故答案为：27. 6．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 等差数列的概念 一、等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差数列通项公式的推导过程 如果等差数列的首项是，公差是，根据等差数列的定义得到： ，，，… 所以，，，…… 由此归纳出等差数列的通项公式为． 3、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 四、等差数列的性质 1、若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. 2、对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 3、若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． 4、若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． 5、通项公式的推广： (n，m∈N*)． 五、设元法巧解等差数列中常见的设元技巧 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为。 六、等差数列的实际应用 1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息． 若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。 2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的概念辨析 1．（24-25高二下·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（24-25高二·全国·课堂例题）由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 3．（多选题）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 4．（25-26高二上·湖南长沙·期中）（多选题）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 题型二 等差数列的通项与基本量计算 1．（25-26高二上·湖南·月考）已知等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·新疆喀什·期中）是首项，公差的等差数列，如果，那么序号（   ） A．1009 B．1012 C．1008 D．1010 4．已知等差数列满足，则（    ） A．－3 B．3 C．－12 D．12 5．（25-26高二上·新疆·月考）在实数和()之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则的值为（    ） A．15 B．12 C． D． 6．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知正项等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·月考）在等差数列中，，，（），则 ． 8．（24-25高二下·广东广州·期末）已知两个等差数列及，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则（    ） A．45 B．50 C．54 D．60 题型三 等差中项的概念 1．（24-25高二上·上海松江·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）数列满足（），且，，则（    ） A． B．9 C． D．7 4．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 5．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 6．（23-24高二下·广东佛山·月考）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 题型四 等差数列的性质 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）在等差数列中，，则（   ） A．45 B．9 C．18 D．36 5．已知正项等差数列满足，则（   ） A．5 B． C． D． 题型五 等差数列的证明 1．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 2．若数列满足：，则的通项公式为 ． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 4．在数列中，，且．证明：是等差数列. 5．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 题型六 等差数列的实际应用 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 2．（24-25高二下·山东德州·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 4．（24-25高二下·山东淄博·月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．101 C．21 D．19 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 2．（24-25高二下·河南驻马店·月考）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二下·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（    ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 8．设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二下·江西抚州·月考）在等差数列中，，，则＝ 10．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 11．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知数列满足，，则等于 . 12．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 13．（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 14．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ） A．196 B．197 C．198 D．199 2．（24-25高二上·河南·月考）已知正项等差数列满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期末）已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（   ） A． B． C． D．不确定 4．（多选题）若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·重庆·专题练习）已知正项数列满足，且，则 ． 6．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $