专题01 平方根九类题型（专项训练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

专题01 平方根（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 2 题型三、与算术平方根有关的规律探索题 2 题型四、算术平方根的实际应用 2 题型五、平方根概念理解 3 题型六、求一个数的平方根（常考点） 3 题型七、已知一个数的平方根，求这个数（重点） 4 题型八、利用平方根解方程 4 题型九、平方根的应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求一个数的算术平方根 1．计算： （1） ， ； （2） ， ． 2．已知，则 ． 3．若一个数的算术平方根是25，则这个数是 ． 4．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ． 5．填空： （1）4的算术平方根是 （2）的算术平方根是 ； （3）0.01的算术平方根是 ； （4）3的算术平方根是 ； （5）的算术平方根是 ； （6）的算术平方根是 ； （7）的值是 ． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 6．若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 8．已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 9．，则 ． 10．若，则 ． 题型三、与算术平方根有关的规律探索题 11．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 12．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 13．若 ， 则 ． 14．观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 15．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型四、算术平方根的实际应用 16．正方形的面积为，则该正方形的边长为 ． 17．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 18．学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取 ．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 19．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 20．如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 题型五、平方根概念理解 21．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．1 B． C．0 D．7 22．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 23．下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 24．若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 25．一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 题型六、求一个数的平方根 26．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 27．的平方根是（　　） A． B． C． D． 28．49的平方根是 ． 29． ． 30．写出下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、已知一个数的平方根，求这个数 31．已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（   ） A．7 B．3 C．49 D．49或 32．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ． 33．如果一个数的平方根是，那么这个数是 ． 34．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 35．若正整数的两个平方根分别是和．求和的值． 题型八、利用平方根解方程 36．解方程：． 37．求下列各式中x的值： (1)； (2) 38．求下列各式的值： (1)． (2)． 39．求下列各式中的值： (1)； (2)． 40．求下列各式中的x值． (1) (2) 题型九、平方根的应用 41．已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 42．正方形的边长为，它的面积与长为、宽为的长方形的面积相等，求的值． 43．一个底为正方形的水池的容积是486m3，池深1.5m，求这个水池的底边长． 44．小文房间的面积为，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，求每块正方形地砖的边长． 45．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2025·广东肇庆·二模）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．8 3．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 4．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）8的平方根是 ． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 9．（2025·青海西宁·二模）在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是 ． 10．（2025·四川·二模）若a，b为实数，且，则的值为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 3 题型三、与算术平方根有关的规律探索题 4 题型四、算术平方根的实际应用 6 题型五、平方根概念理解 8 题型六、求一个数的平方根（常考点） 9 题型七、已知一个数的平方根，求这个数（重点） 10 题型八、利用平方根解方程 11 题型九、平方根的应用（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求一个数的算术平方根 1．计算： （1） ， ； （2） ， ． 【答案】 7 7 【解析】解：（1），， 故答案为：7；7． （2），， 故答案为：；． 2．已知，则 ． 【答案】1 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．若一个数的算术平方根是25，则这个数是 ． 【答案】625 【解析】解：若一个数的算术平方根是25，则这个数是， 故答案为：． 4．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ． 【答案】 【解析】解：∵是的算术平方根，3是的算术平方根， ∴，， ∴，， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 5．填空： （1）4的算术平方根是 （2）的算术平方根是 ； （3）0.01的算术平方根是 ； （4）3的算术平方根是 ； （5）的算术平方根是 ； （6）的算术平方根是 ； （7）的值是 ． 【答案】 2 0.1 【解析】解：（1）4的算术平方根是2， 故答案为：2； （2）的算术平方根是， 故答案为：； （3）0.01的算术平方根是0.1， 故答案为：0.1； （4）3的算术平方根是， 故答案为：； （5）的算术平方根是， 故答案为：； （6）的算术平方根是， 故答案为：； （7）∵， ∴的值是； 故答案为：． 题型二、利用算术平方根的非负性解题 6．若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 7．若三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故选：B． 8．已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】解：根据题意得：， 解得：， 所以，． 故选：C． 9．，则 ． 【答案】 【解析】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】 【解析】解：， 且， 解得，， ； 故答案为：． 题型三、与算术平方根有关的规律探索题 11．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【解析】解：∵， ∴． 故选：B． 12．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【解析】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 13．若 ， 则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 14．观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【答案】 【解析】解：， ， ……， 依此类推可知，第n个等式为：， 故答案为：． 15．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【解析】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 题型四、算术平方根的实际应用 16．正方形的面积为，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【解析】解：∵正方形的面积为， ∴该正方形的边长为． 故答案为：． 17．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【解析】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 18．学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取 ．其他同学想剪裁的尺寸如下，请按要求填表： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 【答案】 5 1 3 4 6 【解析】解：正方形的面积为边长， 正方形的边长， ∵，，，，，5的算术平方根为， ∴按要求填表如下： 正方形的面积/ 1 9 16 36 5 正方形的边长/ 1 3 4 6 故答案为：①5；②1；③3；④4；⑤6；⑥；⑦． 19．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 【答案】落到地面需要5秒． 【解析】解：∵， ∴当时，； 答：落到地面需要5秒． 20．如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为 ． 【答案】 【解析】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 题型五、平方根概念理解 21．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．1 B． C．0 D．7 【答案】B 【解析】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选：B． 22．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 23．下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 24．若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 【答案】 【解析】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴这个正数的值为， 故答案为：． 25．一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【答案】 0 【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b， ∴，． 故答案为：0；． 题型六、求一个数的平方根 26．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【解析】的平方根是． 故选：C． 27．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 28．49的平方根是 ． 【答案】 【解析】解∶49的平方根是． 故答案为：． 29． ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 30．写出下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是． 题型七、已知一个数的平方根，求这个数 31．已知一个正数的两个平方根是和，则这个正数的值是（   ） A．7 B．3 C．49 D．49或 【答案】C 【解析】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴与互为相反数， 互为相反数的两数和为， ， ， ， 解得， ∴，， 这个正数就是． 故选：C ． 32．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ． 【答案】 【解析】解：∵一个自然数的平方根为， ∴这个自然数为9， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是， 故答案为：． 33．如果一个数的平方根是，那么这个数是 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，这个数为． 故答案为：． 34．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 【答案】49 【解析】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 故答案为：49． 35．若正整数的两个平方根分别是和．求和的值． 【答案】， 【解析】解：依题意，得，解得：， ∴. 题型八、利用平方根解方程 36．解方程：． 【答案】，． 【解析】解：移项，得，即． 开平方，得． ∴，． 37．求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【解析】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 38．求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：； （2）解：， 开平方得：， 解得：，． 39．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 40．求下列各式中的x值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴． 题型九、平方根的应用 41．已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 【答案】B 【解析】解：设正方体棱长为，则 ， 解得：或， 由于棱长为正数，故舍去负解， ； 故选：B． 42．正方形的边长为，它的面积与长为、宽为的长方形的面积相等，求的值． 【答案】24 【解析】解：根据题意得：， 即， 解得：或-24（舍去）． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 43．一个底为正方形的水池的容积是486m3，池深1.5m，求这个水池的底边长． 【答案】这个水池的底边长为18m． 【解析】解：设水池的底边长为，由题意得 解得 ∵水池的底边长为正数， ∴ x=18 答：这个水池的底边长为18m． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程的应用，根据题目条件寻找等量关系，建模列式是解决本题的关键． 44．小文房间的面积为，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，求每块正方形地砖的边长． 【答案】每块地砖的边长是 【解析】解：设每块地砖的边长是， 则， 解得（舍去）或， 即每块地砖的边长是． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．注意实际问题中有关线段的长度都是非负数． 45．如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 【答案】这个长方体容器的长与宽至少是 【解析】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个长方体容器的长与宽至少是． 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 2．（2025·广东肇庆·二模）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】解：根据正方形的性质和勾股定理可得，大正方形的边长为， 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·三模）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【解析】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：2025的算术平方根是， 故选：A． 6．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 【答案】2 【解析】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）8的平方根是 ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为： ． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】 【解析】解；一个正方形的面积是，它的边长为， ，，且， ， 在整数与之间， ， 故答案为：． 9．（2025·青海西宁·二模）在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是 ． 【答案】 【解析】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 10．（2025·四川·二模）若a，b为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【解析】解：由题意得，，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$