专题01 二次函数的图象和性质的六种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

专题01 二次函数的图象和性质的六种模型 目录 题型一：二次函数的图象和性质 1 题型二：利用二次函数的性质求解 3 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 6 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 10 题型五：画二次函数的图象 15 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 23 题型一：二次函数的图象和性质 1．（25-26九年级上·安徽池州·期中）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．关于轴对称 C．顶点是 D．有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点和最值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴其开口向上， ∴有最小值，且最小值为， 综上所述，可知选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线，下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，关键掌握对称轴公式和顶点坐标求法． 根据二次函数的一般式，通过系数判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】∵抛物线为，， ∴抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； ∴当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，， ∴顶点坐标为，故D错误． 故选：B． 3．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．若和是抛物线上两点，则当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（开口方向、对称轴、最值、单调性），解题的关键是结合二次函数的系数与顶点式分析其图象特征． 由二次项系数为负判断开口向下；配方得顶点式，确定对称轴与最大值；根据对称轴两侧的单调性，判断两点函数值的大小关系，进而找出错误结论． 【详解】解：， ，抛物线开口向下， 故A正确； 对称轴为直线 ， 故B正确； 当 时， 取最大值2， 故C正确； 当 时，若 均小于1，则 随 增大而增大，有 ； 但若 均大于1，则 随 增大而减小，有 ， 故D错误． 故选D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，随增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若，则图象与轴交于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数化成顶点式为． A、由可知，函数图象开口向下，则此项错误，不符合题意； B、由函数的顶点式和可知，当时，随增大而减小，则此项错误，不符合题意； C、由函数的顶点式可知，图象顶点的横坐标为，则此项正确，符合题意； D、因为二次函数与轴的交点坐标为，所以若，则图象与轴交于正半轴，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）已知：二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．若图象与轴有交点，则 C．当时，不等式的解集是 D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，包括单调性、判别式、不等式解集和平移变换．根据二次函数的基本性质逐项判断． 【详解】解：∵ 二次函数 ，开口向上，对称轴 ． ∴ A∶ 当 时， 随 增大而减小，正确，符合题意． B∶ 图象与 轴有交点时，判别式 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． C∶ 当 时，不等式 的解集为 或 ，不是 ，错误，不符合题意． D∶ 平移后函数为 ，过点 时，代入得 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． 故选 A． 题型二：利用二次函数的性质求解 6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．直接利用对称轴公式进行计算即可． 【详解】解：二次函数 中，, ，对称轴公式为 ， 代入得 ， 故对称轴为直线 ； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南京·月考）若点，在函数的图像上，则 （用“＜”、“”或者“”连接）． 【答案】＜ 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 通过计算点A和点B的纵坐标表达式，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数， 将点代入，得 ； 将点代入，得 ． 因为， 所以， 故， 即． 故答案为：＜． 8．（25-26九年级上·广东·期中）已知二次函数，当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 二次函数开口向上，顶点在内，最小值在顶点处． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为，在范围内， 将代入函数得， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键； 根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线对称，由于点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵与轴平行，点，均在抛物线上 ∴点A与点B关于直线对称 ∵点A的坐标为 ∴点的坐标为   故答案为：. 10．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 11．（25-26九年级上·全国·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 12．（2025·江西抚州·模拟预测）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于，逐一排除； 【详解】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 14．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 15．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出，．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键． 观察二次函数图象，找出，，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 16．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）已知二次函数的图像如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴， ， ， ∴①错误； 当时，由图像知， 把代入解析式得：， ， ∴②错误； ∵，， ， ∴③正确； 由①②知且， ∴，即， ∴，④正确； ∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ， ， ∴⑤错误． 故正确的是③④，共2个， 故选：A． 17．（25-26九年级上·广东珠海·月考）二次函数（）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，根据图象得、，进而判断得，即可得选项①错误；由二次函数图象的对称性即可判断选项②正确；由图象可知时，，判断选项③正确；由对称轴可得，再由图象得，即可判断选项④． 【详解】解：①由抛物线图象得：开口向下，即；，，即， ，选项①错误； ②抛物线对称轴为，且时，， 当时，，选项②正确； ③∵由图象可知时，，选项③正确； ④， ， 由图象可知，当时，， ，选项④正确； 故正确的有②③④， 故选：C． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ①； ②； ③； ④若t为任意实数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与其系数之间的关系，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式可得，根据与y轴的交点位置可得，据此可判断①；可求出当时，，据此可判断②；把点A的坐标代入解析式，可推出，据此可判断③；求出函数的最大值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线的图像与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴函数的最大值为 ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 19．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. 根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①②，特殊点判断③，最值判断④，进而作答． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①②错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④正确. 即正确的结论有③、④共2个. 故选：C. 20．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．①④⑤ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得b的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴为， ∴，故结论①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误，不符合题意； ∴当时，，故结论④错误，不符合题意； ∵二次函数图象对称轴为直线， ∴是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②⑤． 故选：A． 题型五：画二次函数的图象 21．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：列表， 如图： （3）解：根据图象可知：在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 22．（25-26九年级上·天津·月考）已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当时，y的取值范围为________； (4)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则m的取值范围为________． 【答案】(1)直线， (2)见详解 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）由（2）得对称轴为直线，顶点坐标为；再分别算出当和时对应的函数值，再进行比较大小，即可作答． （4）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表如下： … 0 … … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）解：由（1）得函数的对称轴为直线，顶点坐标为 由（2）的函数图像，得出函数开口方向向上， 在处有最小值，且， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵， 当时，y的取值范围为． （4）解：∵点和都在此函数的图像上， 由函数图像可知， 当时，或． 23．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知抛物线． (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出的图像； 0 1 2 3 (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则 （用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围 ； ②当时，直接写出的范围 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)① ②或 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质， 对于（1），先列表，再描点，连线可得抛物线； 对于（2），根据抛物线的性质可知当时，函数值y随着x的增大而减小，再比较x的值可得答案； 对于（3），①根据图象的性质可知当时，；当时，，即可得出答案；②根据图象的性质求出函数值小于等于3时自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： （2）解：观察二次函数的图象可知抛物线开口向下，对称轴是， 当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，， ∴时，； ②当或时，． 故答案为：①；②或． 24．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出的图象； (3)根据图象，回答下列问题： ①当取何值时，随的增大而增大？ ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大；② 【分析】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图象与性质，正确画出图象是解答本题的关键． （1）直接利用配方法将一般式化为顶点式即可求； （2）利用顶点式，结合“五点画图法”即可画出函数图象； （3）①观察图象即可求解； ②根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线； （2）解：如图所示， 0 6 8 6 0 （3）解：①由图象知，当时，y随x的增大而增大； ②∵，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小， 当时，，时，， ∴当，的取值范围是． 25．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数的解析式是 (1)将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； (2)结合函数图象，直接写出时x的取值范围； (3)当时，求y的取值范围； (4)若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与轴，轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象． （2）结合函数图象，可得时x的取值范围． （3）结合二次函数图象可得当时，y的取值范围． （4）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得：，， 当时，则， ∴与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为． 画图如下： ． （2）解：结合函数图象，时x的取值范围为：或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴函数最小值为， 当时，， 当时，y的取值范围为． （4）解：如图， ∴不等式的解集为：． 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 26．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数（是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)最大值为 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示n即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 所以该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：将点坐标代入二次函数解析式得，， 所以，， 所以当时，取得最大值为． 27．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图像的对称轴． (2)若函数图像与轴的两个交点分别为点（点在原点的左侧），且． ①求的值． ②若，两点在该二次函数图像上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（）根据对称轴方程解答即可； （）①令，则，设方程的两个根分别为，且，由根和系数的关系得，，又由已知得，即可得，，进而即可求解；由①得二次函数，可得当时，，，进而得到且，，解不等式即可求解； 本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴， 即二次函数图像的对称轴为直线； （2）解：①令，则，设方程的两个根分别为，且， 由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得； ②∵， ∴二次函数， 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，，两点在该二次函数图像上，且， ∴且，， ∴． 28．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知抛物线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)若抛物线经过点，顶点坐标为． （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）当顶点纵坐标取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）b、c的值分别为2、1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些知识是关键． （1）根据对称轴的表达式即可求解； （2）（ⅰ）把点M的坐标代入中，得到b、c的关系，再根据顶点坐标即可求解； （ⅱ）求出关于的函数表达式的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴； （2）解：（ⅰ）∵抛物线经过点， ∴把点M的坐标代入中，得， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴； 即关于的函数表达式为； （ⅱ）， ∴当顶点纵坐标取最大值时，函数的顶点为， ∴，， 即b、c的值分别为2、1． 29．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的对称轴． (2)若点在函数图象上，其中． ①若的最大值是1，求m的值． ②若点也在函数图象上，且，对于满足的任意，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当时，，再根据二次函数的顶点式即可求解； （2）①，得到二次函数图象开口向上，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，有最大值，据此列出方程，即可求出m的值；②当时，有最大值，当时，，再结合对于满足的任意，都有，列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：①， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵的最大值是1， ∴， 解得； ②由①得，当时，有最大值， 当时，， ∵对于满足的任意，都有， ∴， 解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01二次函数的图象和性质的六种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数的图象和性质 题型二：利用二次函数的性质求解.3 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题.6 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题10 题型五：画二次函数的图象15 题型六：二次函数的图象和性质综合问题..23 题型专练 题型一：二次函数的图象和性质 1.(25-26九年级上·安徽池州期中)已知抛物线y=2(x+3)-5,下列说法正确的是() A.开口向下 B.关于y轴对称 C.顶点是(3，-5 D.y有最小值-5 2.(25-26九年级上·北京期中)已知抛物线y=-x2+4x-1,下列结论正确的是（) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.当x>2时，y随x的增大而增大 D.抛物线的顶点坐标为2,4) 3.(24-25九年级下·湖北黄石·期中)已知抛物线y=-x2+2x+1,下列结论错误的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x=1 C.当x=1时，y取最大值2 D.若(x,y)和x2,y2是抛物线上两点，则当x>x2时，》>y2 4.(25-26九年级上上海浦东新·期中)已知二次函数y=ax2+bx+ca<0),下列说法正确的是() A.图象开口向上 卫当会时，y随指大面塔大 C.图象顶点横坐标为- D.若c>0,则图象与y轴交于负半轴 2a 5.(25-26九年级上甘肃酒泉·月考)已知：二次函数y=x2-4x-a,下列说法正确的是() A.当x<1时，y随x的增大而减小 B.若图象与x轴有交点，则a≤4 C.当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3 D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a=-3 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二：利用二次函数的性质求解 6.(25-26九年级上·浙江温州月考)二次函数y=2x2-x+2的对称轴为直线x= 7.(24-25九年级上江苏南京·月考)若点A-2,y),B(5,y2)在函数y=ax2-4ax+1(a<0)的图像上，则 (用“<”、“>”或者“=”连接). 8.(25-26九年级上广东·期中)己知二次函数y=x2+2x-1,当-2≤x≤2时，y的最小值为 9.(25-26九年级上全国·期末)如图，已知抛物线y=(x-1)2+k,点A,B均在抛物线上，且AB与x轴平 行.若点A的坐标为0,2 则点B的坐标为」 10.(24-25九年级下.湖北黄石期中)己知二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为 -6,则a的值为一 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 11.(25-26九年级上·全国·月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx-a(a,b为常数，且a≠0) 的图像与二次函数y=ax2-bx的图像可能是() D 12.(2025江西抚州模拟预测)函数y=ax+1与y=ax2+bx+1a≠0)的图象可能是() 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中然 13.(25-26九年级上安徽合肥期中)若a≠0，函数y=a与y=-ar2+2a在同一平面直角坐标系中的大致 图象可能是() 14.(25-26九年级上，安徽阜阳期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=C(c≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() VA 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26九年级上山东烟台期中)已知二次函数y=-(x-a-b的图象如图所示，则反比例函数 y=-b与一次函数y=x-b的图象可能是() 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 16.(25-26九年级上·安微安庆月考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论： ①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤mam+b)>a+b,(m≠1的实数)其中正确的结 论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 17.(25-26九年级上·广东珠海·月考)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 论：①abc>0;②4a+2b+c>0;③a-b+c<0;④2c<3b;其中正确的个数有() x=1 -1/0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.(25-26九年级上·安徽合肥月考)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A(-1,0),与y轴 的交点在(0,2)与0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.则以下结论中正确的有() ①abc<0: ②9a+3b+c>0: ③c-3a>0; ④若t为任意实数，则at2+bt<4a+2b. X=2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.(25-26九年级上·重庆期中)如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象经过点 对称轴为直 线x=1,下列结论：①abc<0;②2a+b>0;③a-2b+4c=0;④a+b≤mam+b)(其中m≠1)；正确 的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 20.(25-26九年级上山西太原·月考)如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点(3,0 ,二次函数图象对称轴为直线x=1,给出五个结论：①b>0;②当x<1时，y随着x的增大而增大；③ a-b+c<0;④4a-2b+c>0;⑤am2+bm-a-b≤0.其中正确结论是() 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A八3,0)元 x1 A.①②⑤ B.①②③ C.①④⑤ D.①②④ 题型五：画二次函数的图象 21.(25-26九年级上福建龙岩·期中)已知二次函数y=x2-4x+3. A 6 5 3 3 6543-2-10 3456x 5 -6 (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象， (3)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围. 0 1 2 3 4 y=x2-4x+3 3 0 -1 0 3 22.(25-26九年级上·天津·月考)已知二次函数y=x2+4x+3. 3 1-2 5-4-3-2-1. 12345x 人 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像： 当 2<x<1时，y的取值范围为 (4)若点A(0,y,)和B(m,y2)都在此函数的图像上，且y<2,结合函数图像，则m的取值范围为 -3 y=x2+4x+3 3 0 -1 23.(25-26九年级上·湖北襄阳·期中)已知抛物线y=-x2+2x+3. 养 5升 3 2 1Y -4-3-2-10 2345主 (1)补全表格，并在如图的直角坐标系内描出表中各点，画出y=-x2+2x+3的图像； -1 0 2 (2)点A(x,)和点B(x2,y,),两点在该抛物线上，且满足1<x<x2,则-（用>或<）填空： (3)①当0<x<2时，直接写出y的范围_： ②当y≤3时，直接写出x的范围_ -1 0 1 2 3 2 0 3 4 3 0 24.(25-26九年级上·青海西宁.期中)已知抛物线y=-2x2+4x+6. 7/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 珠 9 8 7 6 -上-- 5 5-4-3219 12345x 3 3 5 (1)请用配方法将y=-2x2+4x+6化为y=ax-h)+k的形式，并直接写出对称轴： (2)在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出y=-2x2+4x+6的图象： (3)根据图象，回答下列问题： ①当x取何值时，y随x的增大而增大？ ②当1<x<4时，直接写出y的取值范围. -1 0 1 2 3 0 6 8 6 0 25.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)已知二次函数的解析式是y=x2+2x-3. V 54 -F 3 -5-4-3-2-10 2345x 人3 (I)将二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角 坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）： (2)结合函数图象，直接写出y>0时x的取值范围； (3)当-2<x≤2时，求y的取值范围： (4)若一次函数y=c+b的图象经过(0，-3)和(-3,0)两点，根据图象直接写出不等式kx+b>x2+2x-3的解 集 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 26.(25-26九年级上·安徽合肥月考)已知二次函数y=x2+mx+3m-1(m是常数). (1)当m=-2时，求该二次函数图象的顶点坐标 (2)若点P(m,n是该二次函数图象上的任意一点，求m-n的最大值. 27.(25-26九年级上浙江衢州月考)已知二次函数y=ax2-2ax+3(a为常数，且a≠0). (1)求该二次函数图像的对称轴， (2)若函数图像与x轴的两个交点分别为点A,B(点A在原点0的左侧)，且0B=30A. ①求a的值. ②若(t,),（t+1,y2)两点在该二次函数图像上，且3<y2≤y,求t的取值范围. 28.(25-26九年级上安徽毫州月考)已知抛物线y=x2+bx+c. (1)若抛物线的对称轴为直线x=-2,求b的值。 (2)若抛物线经过点M(-1,0),顶点坐标为m,n. (i)求n关于m的函数表达式； (ⅱ)当顶点纵坐标取最大值时，求b,c的值. 29.(25-26九年级上·浙江温州期末)已知二次函数的解析式为y=-x2+2mx-m2+4. (1)若m=2, ①直接写出二次函数的顶点坐标； ②点M(n,y)，N(n+2,y2都在该二次函数的图象上，且y<2,求的取值范围； (②)当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值 30.(25-26九年级上浙江杭州期中)己知二次函数y=x2-2mx+m2+m(m为常数). (1)当m=1时，求该二次函数图象的对称轴 (2)若点Axy在函数图象上，其中m-3≤x≤m+1. ①若片的最大值是1，求m的值. ②若点B(x2y2)也在函数图象上，且x2=2-3m,对于满足m-3≤x1≤m+1的任意x,都有<y2,求m的 取值范围. 9/9