补充专题01 确定二次函数的解析式五种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

专题01 确定二次函数的解析式的五种模型 目录 题型一：利用平移求二次函数的解析式 1 题型二：利用顶点式求二次函数的解析式 4 题型三：利用一般式求二次函数的解析式 8 题型四：利用交点式求二次函数的解析式 12 题型五：利用翻折或对称求二次函数的解析式 18 题型一：利用平移求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据平移不改变函数开口方向及大小判断即可． 【详解】解：A.，开口方向改变，无法由平移得到； B.，开口大小改变，无法由平移得到； C.，二次函数无法由平移得到一次函数； D.，开口方向及大小均未改变，可以由抛物线平移得到； 故选：D. 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握平移规律是关键． 根据抛物线平移规则，左右平移时x左加右减，上下平移时常数项上加下减． 【详解】解：∵向上平移2个单位， ∴新解析式为 ； ∵再向右平移3个单位， ∴x替换为，得 ， ∴新抛物线解析式为 ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与平移，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与平移． 根据二次函数图象平移规律即可得解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，得； 再向左平移个单位，得， 得到的抛物线的解析式是 故答案为：． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移的逆变换，将新抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到原抛物线． 【详解】解：由题意，将新抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到原抛物线， ∴原抛物线的表达式为； 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． (3)直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的图象与性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）把化为顶点式，然后根据上加下减、左加右减的规律求解即可； （3）由二次函数的性质得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后求出当时和当时的函数值即可求解． 【详解】（1）设，把点，，代入，得 ， 解得， ∴； （2）∵， ∴该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 ； （3）∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵当时，， 当时，， ∴最大值为，最小值为． 6．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得平移后的抛物线顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】（1）解：设该抛物线解析式为， ∵点在该抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 题型二：利用顶点式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的图象如图，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解图象；由图象易得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象得顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，则二次函数解析式为， ∴， 解得：； ∴二次函数的解析式为； 故答案为． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由于二次函数的图象形状和开口方向相同，则二次项系数相等；已知顶点坐标，可直接用顶点式表示函数表达式． 【详解】解：二次函数的图象形状、开口方向与抛物线 相同， 二次项系数． 又顶点坐标为， 设二次函数表达式为顶点式， 代入，，，得 故答案为． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把点代入求出a的值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， 把点代入，则， 解得：； ∴这个二次函数的表达式为：． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与函数平移的特点． （1）设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知二次函数的顶点坐标为，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)若点在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，作差即可； （3）根据二次函数的增减性，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为，且图象过点， ∴设抛物线的解析式为，把代入解析式，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴； （3）∵点在该二次函数的图象上，且， ∴， 解得或． 题型三：利用一般式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在抛物线上，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将代入求a的值即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：． 故选：A． 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 1 6 … 则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求二次函数解析式、求自变量的取值范围等知识点，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质确定y的取值范围即可． 【详解】解：设，将点代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的顶点为，开口向上， 当时，；当时，， ∴当时，． 故答案为． 4．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求直线的解析式； (2)求二次函数的解析式； (3)设点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)二次函数解析式为 (3)当时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握以上知识，正确列式求解是关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）运用待定系数法求二次函数解析式即可； （3）根据题意，设，则，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：二次函数的图象经过点，，， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数解析式． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设存在点，列出方程求出的值，再利用待定系数法求出点坐标即可 【详解】（1）解：设抛物线方程为将，，三点代入可得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设存在点，由题意可知，以为底，则高为， ， 在中，以为底，则高为， ， 点在轴的下方， ， ， 在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得：， 解得，， 所以点的坐标为：，． 6．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求a的值； (2)将抛物线平移，使其顶点P落在直线上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D，则点D的纵坐标是否存在最值（最大值或最小值），若存在求出最值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系法法，抛物线的对称轴，平移，灵活运用函数的性质求解是解题的关键． （1）先求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式，再根据对称轴方程列二元一次方程组求解即可； （2）设平移后抛物线的顶点，先求出，然后根据二次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：依题得：当时，， 即， ，则， 解得：； （2）存在最大值，理由如下： 平移后的抛物线顶点在直线上，由于， 设平移后抛物线的顶点，则抛物线解析式为， 平移后的抛物线与轴的交点为， 令，则点的纵坐标， 对于任意都有， ， 点的纵坐标存在最大值，为． 题型四：利用交点式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外． 【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和， ∴ 和是的两个根， 设二次函数为， ∵函数图象过： ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴， ∴或 故选A． 3．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的对称性和增减性，求二次函数的最值，是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴的两个交点，设解析式为，再将代入求解； （2）求出抛物线的顶点坐标，找出最大值，再由对称性求出或时的y值，即得． 【详解】（1）设二次函数解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 当时，y最大值为4； 当或时，， ∴当时，． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图象经过点 , ,． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，？ 【答案】(1) (2) (3)当 或 时， 【分析】本题考查求二次函数的解析式,顶点坐标,利用二次函数图像求不等式的解集，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法或交点式求解析式； （2）通过配方化为顶点式求顶点坐标； （3）根据二次函数的图像和开口方向确定 时 的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图像经过点 和 ， 可设其解析式为： 又图像经过点 ，代入得： 解得： ∴二次函数解析式为：； （2）解： ， ∴顶点坐标为 ； （3）解：令，得， 即 , 由于二次项系数 ，函数图象开口向下， ∴当或时，． 6．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点，使的值最小，并求出点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，是否存在一点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，可设交点式，再代入点坐标求解解析式． （2）利用抛物线的对称性，对称轴上的点到、距离相等，得，当、、共线时和最小，先求对称轴，再求直线解析式，进而求坐标． （3）根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分三种情况（以、、为对角线），利用中点坐标公式求解点坐标． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为． 把代入得： 即 解得 ∴抛物线的解析式为， 展开得； （2）解：连接， 抛物线的对称轴为直线． ∵、关于对称轴对称， ∴，则，当、、三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 把代入，得，解得． ∴直线的解析式为． 点在对称轴上，把代入得， ∴． （3）解：设． 当以为对角线时， ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，即． 当以为对角线时，的中点坐标为，即的中点坐标为， ∴， 解得，即． 当以为对角线时，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，即． 综上，存在一点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、利用轴对称求最短路径、平行四边形的存在性问题，熟练掌握二次函数的性质、轴对称的性质以及平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键． 题型五：利用翻折或对称求二次函数的解析式 1．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 3．（2025·江苏苏州·二模）定义：对于抛物线（是常数，），若，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于两点． (1)求抛物线的函数表达式及点A、的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折，得到抛物线； ①抛物线___________准黄金抛物线（填“是”或“不是”）； ②当时，记抛物线、组成的新图象为“图象”，图象交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)①是；②或或． 【分析】（1）先根据定义和求出k，求解函数关系式，然后令，求出点A、B坐标； （2）根据折叠性质得出抛物线的解析式，然后根据准黄金抛物线判断即可； （3）根据相似三角形的性质分和讨论求解即可． 【详解】（1）对于抛物线，其中，， 因为抛物线是准黄金抛物线，根据定义，将，代入可得： ，即， 解得 所以抛物线的函数表达式为 令，即， 解得， 所以，; （2）①抛物线：沿轴翻折后得到抛物线， 则的表达式为， 此时，， 计算， 所以抛物线是准黄金抛物线 故答案为：是； ②存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线对称， ∴点N的横坐标为1， ∴； 如图2，当时，，此时，点纵坐标为2， 由，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图3，当时，， 此时，直线的解析式为， 联立方程组：， 解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以， 因此，综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，掌握数形结合思想和分类讨论思想的运用是解题的关键； 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由函数图象可知，当时，函数的值随值的增大而减小．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标为. (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象.若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图1中，作于．由，推出，由，，推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； （3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，同理求出当直线经过，时， 一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1中，作于． ， ∴ ， ，， ， ； 当点D在x轴上方时，设交轴于， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， ． 当点在轴下方时（即在点的位置时），同理可求得直线的解析式为， 联立，解得或． ； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：如图2中， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 在中，当时，， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 观察图象可知当且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 6．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）阅读与思考 下面是小樱同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 镜面抛物线 【概念理解】我们把对称轴相同，且关于轴对称的两条抛物线称为“镜面抛物线”，例如，抛物线的“镜面抛物线”为． 【解决问题】问题1抛物线的“镜面抛物线”为___________． 问题2如图1，求证：抛物线的“镜面抛物线”为． 证明：设抛物线的“镜面抛物线”为，根据“镜面抛物线”的概念可得， 将代入，得 任务： (1)问题1中，材料中的“ ”处应填___________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图2，抛物线的“镜面抛物线”为，直线交于点，交于点，点与点，点与点关于轴对称，点与点，点与点关于抛物线的对称轴对称．若四边形是正方形，则的值为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、新定义、正方形的性质等，综合性强，解题的关键是掌握二次函数相关的性质，能熟练准确进行相关运算． （1）求出抛物线关于轴对称后抛物线解析式即可解答． （2）将代入即可证明． （3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，根据点的横坐标为2，得出点的横坐标为，则．从而得出点的纵坐标分别为1和，则，将代入求解即可． 【详解】（1）解：， 故抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点是， ∴抛物线关于轴对称后的顶点坐标为，与y轴的交点是，开口方向变为向上，则， ∴抛物线关于轴对称后抛物线为， 故抛物线的“镜面抛物线”为． （2）解：将代入，得， 即． ， ， 抛物线的“镜面抛物线”为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 点的横坐标为2， 点的横坐标为， ． 两点关于轴对称， 点的纵坐标分别为1和， ， 将代入，得，解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 确定二次函数的解析式的五种模型 目录 题型一：利用平移求二次函数的解析式 1 题型二：利用顶点式求二次函数的解析式 4 题型三：利用一般式求二次函数的解析式 8 题型四：利用交点式求二次函数的解析式 12 题型五：利用翻折或对称求二次函数的解析式 18 题型一：利用平移求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）将抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位得到的抛物线的解析式是 ． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是 ． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． (3)直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 6．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 题型二：利用顶点式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数的图象如图，则它的解析式是 ． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知某二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线相同，且其顶点坐标是，则该二次函数的表达式是 ． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知某个二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求这个二次函数的解析式． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 6．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知二次函数的顶点坐标为，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)若点在该二次函数的图象上，且，请直接写出q的取值范围． 题型三：利用一般式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在抛物线上，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D．-1 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 3．（25-26九年级上·北京·月考）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 1 6 … 则当时，的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． (1)求直线的解析式； (2)求二次函数的解析式； (3)设点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 6．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求a的值； (2)将抛物线平移，使其顶点P落在直线上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D，则点D的纵坐标是否存在最值（最大值或最小值），若存在求出最值；若不存在，说明理由． 题型四：利用交点式求二次函数的解析式 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点是该函数图象上的一点，当时，求n的取值范围． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数的图象经过点 , ,． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，？ 6．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点，使的值最小，并求出点的坐标． (3)在平面直角坐标系中，是否存在一点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型五：利用翻折或对称求二次函数的解析式 1．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为 ． 3．（2025·江苏苏州·二模）定义：对于抛物线（是常数，），若，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于两点． (1)求抛物线的函数表达式及点A、的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折，得到抛物线； ①抛物线___________准黄金抛物线（填“是”或“不是”）； ②当时，记抛物线、组成的新图象为“图象”，图象交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标为. (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象.若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，直接写出的取值范围. 6．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）阅读与思考 下面是小樱同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 镜面抛物线 【概念理解】我们把对称轴相同，且关于轴对称的两条抛物线称为“镜面抛物线”，例如，抛物线的“镜面抛物线”为． 【解决问题】问题1抛物线的“镜面抛物线”为___________． 问题2如图1，求证：抛物线的“镜面抛物线”为． 证明：设抛物线的“镜面抛物线”为，根据“镜面抛物线”的概念可得， 将代入，得 任务： (1)问题1中，材料中的“ ”处应填___________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图2，抛物线的“镜面抛物线”为，直线交于点，交于点，点与点，点与点关于轴对称，点与点，点与点关于抛物线的对称轴对称．若四边形是正方形，则的值为___________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $