专题02 二次函数应用的六种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数应用的六种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数的应用之增长率、销售问题 题型二：二次函数的应用之拱桥问题 .6 题型三：二次函数的应用之投球问题 14 题型四：二次函数的应用之喷水问题 .21 题型五：二次函数的应用之图形问题… ...29 题型六：二次函数的应用之图形运动问题 35 题型专练 题型一：二次函数的应用之增长率、销售问题 1.(25-26九年级上·湖北武汉·期中)某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第x(1≤x≤90)天的售价与 销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元. 时间x(天) 1≤x<45 45≤x≤90 售价（元/件) x+30 70 每天销量（件) 160-2x (1)求当45≤x≤90时，y与x的函数关系式： (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元(a>0)给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润 为3872元，求a的值， 2.(25-26九年级上·宁夏固原期中)固原市新华百货连锁超市“双11”打算促销一种玩具，每件进价为40元. 市场调查反映，每星期的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图线段AB所示. (件) 500 B 0 40 0x(元) (I)写出每星期的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式. 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如果该超市每个星期想获得4000元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该超市每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利 润是多少？ 3.(24-25九年级上·四川绵阳·期末)今年某超市以每件30元的进价购进一批商品，当商品售价为每件40元 时，9月份销售500件，第10月和第11月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，11月份的销售量达到 720件。 (1)求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； (2)经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每 降价1元，月销售量增加180件，当商品每件降价多少元时，商场12月可以达到最大利润？最大利润是多少 元？ 4.(25-26九年级上·广东汕头·期中)今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时， 三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量 达到400件 (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率. (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现， 该商品每降价1元，月销量增加50件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利最大？最大利润是多少？ 5.(24-25九年级上·江苏苏州月考)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某 商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品.当商品售价为每件40元时，一月份可销售256件，二、 三月该商品十分畅销，销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三月 这两个月的月平均增长率不变， ()求二、三月这两个月的月平均增长： (②)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如 表： 销售单价（元） 35 36 37 38 39 40 月平均销售量（件》 600 560 520 480 440 400 若要使四月份利润最大，则商品应降价多少元？ 题型二：二次函数的应用之拱桥问题 6.(25-26九年级上·广东惠州·期末)如图是抛物线形的拱桥，水面AB=4米，拱顶C离水面2米， 2/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式. (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 7.(25-26九年级上·陕西渭南·期中)如图，是某船停在水上的示意图.此船轮廓线可以看作抛物线的一部 分，船的吃水宽度0A=20米，最大吃水深度为5米（即抛物线的顶点P到水面0A的距离为25米）.以点 12 12 O为原点，OA所在直线为x轴，垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系. y/米个 船、 p x/米 (①)求该船轮廓线0PA所在抛物线的解析式： (2)已知船头B高出水面2米（即点B到水面OA的距离为2米），求船头B到点O的水平距离. 8.(25-26九年级上·安微淮北月考)某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成.如图所示，其拱 形为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆AB间按相同的间距二米用5根立柱 3 加固，0C的长为三米. (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式： (2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到0.1米）： (⊙)现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使0C的长为米，立柱间距仍然为米，试判断一根长为7米的钢 筋能不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由 9.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考)回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一 个装饰性拱门.拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米.为稳固结构，需要在拱门内 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处.同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节 徽标，徽标中心距离地面5米。 6m D 8m (图1)》 已知条件 1.以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上， 2.支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面. 3.微标中心位于拱门中垂线上. 问题 ()根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式。 (2)计算支撑杆的长度 (3)学校宣传部要求微标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为1.2米.判断当微标悬挂后，其 最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明 (④)由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变.此时拱门的最大水平跨度（即拱门 底部宽度)增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 10.(25-26九年级上山西大同期中)项目式学习 材料一大同公园是大同市最旱的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆.下图为某项目小组为大同 公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部L呈抛物线型，水平横梁AB=16米， L的最高点C到AB的距离C0=4米，以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系， 材料二经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入L2,L两条 抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线L2,L关于CO所在直线对称.MN,MD,NE为框架， 点M是L与L的交点，点N是L与L的交点，MN∥AB,MD⊥AB,NE⊥AB 材料三为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架FGHK,如图3所示，其中点F,K在 L上，点G,H分别在L2,L上，且GH<MN,FK∥AB,FGOC. A 图1 图2 图3 (1)求抛物线L的函数表达式： 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2已知抛物线L,的函数关系式为y=3x+3x+4 ,3 16 ①直接写出MN的长： ②要做一个与矩形框架FGHK同样大小的牌匾，上书“大同公园四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形 框架FGHK的宽度FG尽量做到最宽，请你求出FG的最大值. 题型三：二次函数的应用之投球问题 11.(25-26九年级上·全国期中)发石车图1是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车， 攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD, 己知墙宽BC为2米，A0为23米，AB为6米.以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标 系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线y=(x-15)+k·若发射石块在空中飞行的最大高 度为9米。 AD衣 图1 图2 (1)求抛物线的解析式（不要求写x的取值范围）： (2)石块能否飞越防御墙？V3≈1.73 12.(25-26九年级上·宁夏固原·期中)投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷 实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系如图所示，已 知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为3.6米. 3.6 2 (1)求y关于x的函数表达式： (2)根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4米时， 此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由 13.(25-26九年级上·湖北襄阳·期中)我国正在举行第十五届全运会比赛，由广东、香港、澳门联合承办， 在11月15日周六晚，江苏女子足球队获得冠军.球射向球门的路线呈抛物线形.运动员从球门正前方8m 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B,此时球离地面3m,球门0C高为2.44m. (1)以0C为y轴，OA为x轴建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式. (②)通过计算判断运动员此次射门能否射入球门内. (3)点D为0C上一点，且0D=2.25m,若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当运动员带球向 正后方移动n米再射门，足球恰好经过OD区域（含点O和D),直接写出n的取值范围. 14.(25-26九年级上·贵州遵义期中)小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解 答这道题， 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长.小星在点A(6,1)处将沙包（看作点）抛出，其运动 的路线为拋物线C:y=a(x-3)2+2（a为常数，a≠0)的一部分，小丽恰在点B(0,c)处接住沙包，然后竖 在点C处将沙包回传，其运动的路线为揽物线℃，：y=，?+x+2(为常数)的一音 8 y/m C O 6 x/m (1)求抛物线C的解析式； (2)若抛物线C,经过点(6,1，求n的值； (3)若小星在x轴上方、距离x轴1m的高度上，且与点A的水平距离不超过1m的范围内可以接到回传的沙包， 求的整数值.（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 15.(24-25九年级下·全国·期末)【提出问题】小芳在观看排球比赛时发现排球被垫起后，沿弧线运动，那 么排球运动过程中距地面的竖直高度y(m)与距垫球点的水平距离x(m近似满足怎样的函数关系？对此， 她和同学小宛一起进行了探究. 球网 A O 9m 9m 左边界 右边界 【分析问题】经实地测量，排球场地长为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.建立如图所示的平面直角 坐标系.测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表（近似值精确 6/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 到0.01)，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点(x,y). 水平距离x/m 0 2 4 6 竖直高度ym 2 2.44 2.71 2.8 【解决问题】 ()请在如图的平面直角坐标系中画出排球的运行轨迹： A 2 12345678910i12131415161718衣 (②)根据表格数据和所画轨迹形状，可知y与x近似满足的函数关系式为 (③)通过计算，判断小宛这次发球能否过网； (④)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA,排球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网， 又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度OA的取值范围 题型四：二次函数的应用之喷水问题 16.(25-26九年级上河北张家口月考)如图斜坡AC上种有若干树木，底部有一喷水管BC,某时刻从B处 喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状.建立恰当的平面直角坐标系，得到点A(0,2)，点 已知喷水管8C及所有树木都与0C垂直，抛物线的解析式为y8已 O (I)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (②)若DE,MN为两棵等高小树(MN在左侧，小树粗细忽略不计，点M,D均在斜坡上且与点C不重 合抛物线恰好经过E,N两点，当MN4时，求两裸树间的水平距离 17.(25-26九年级上·辽宁沈阳·月考)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置0A、A处 的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高 度y(m与水平距离x(m)之间的函数图象，点C,D为两个水柱的落水点，点E,F为两个水柱的最高点.点 1 F的坐标为 11 1, 喷头的高度为4m。 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 v/mA E D x/m (1)求右面抛物线的函数关系式： (2)若需要在OD上的点M处竖立雕塑MN,OM=1.5m,MW=2m.MN⊥OD,问：顶部N是否会碰到水 柱？请通过计算说明。 18.(25-26九年级上·湖北恩施期中)某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带 有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水 柱落地处离池中心的水平距离也为3m, 44 3 3m 1 1m ←-3m 01234x 图① 图② (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单 位：m)满足的关系式近似为 水管的原设计高度应为 m. (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加0.63m; ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y=α(x-1.2)+3.6.若要使两种调试的水珠落地点 相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出a的值 19.(25-26九年级上·北京·期中)如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心0处竖直安装一根高度为 1.25的水管OA,A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看 作是抛物线的一部分.建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处C距离喷水池中心O的水平 距离0D为1m,最大竖直高度CD为2.25m. 图1 图2 (1)①请直接写出水流的最高处C的坐标 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②求喷出水流的竖直高度y(m)与距离水池中心O的水平距离x(m)之间的关系式（不要求写出自变量的取 值范围)： (②)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持 不变，若水流离喷水池中心0的最远水平距离不超过2.8m，水流最大竖直高度大于2.5m,直接写出喷头高 度h的取值范围. 20.(25-26九年级上·广西南宁月考)项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究。 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的 安全性. 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A,B是喷药口，A,B,O,在同一条 水平直线上，AB=60cm,如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系.喷药口点A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方 向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C,OC=300cm. 图1 图2 图3 图4 (1)依题意，得点A的坐标为： 求出点A所在抛物线的函数表达式. 问题解决； (2)启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm,为了精准喷药，需要调整无人机的高度到 图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为EF的区域，且EF=30cm时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷 洒农药，求无人机应该下降的高度； (3)如图4，在直线AB上再增加2个喷药口M和N,M在A左侧，N在B右侧，MA=AB=BN,当无 人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度P9的长。 题型五：二次函数的应用之图形问题 21.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图：用长为24米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长 AB为x米，面积为y平方米。 (1)求矩形的另一边BC的长=米（用含x的式子表示） 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求y关于x的函数关系式： (3)当x为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？ 22.(25-26九年级上·贵州遵义期中)为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知 的实践，实现“做中学”，正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为80的栅栏，围成一块一边靠墙的 矩形实验田，墙长为42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位： m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m2). 42 墙 实验田 (1)直接写出y与x的函数解析式： (2)矩形实验田的面积S能达到750m吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23.(25-26九年级上·浙江杭州期中)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠 墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药.学 校已订购篱笆120米（恰好用完） B (I)设AB=x,整个花园的面积为S,求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价 25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 24.(25-26九年级上·江苏南通·月考)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=100mm,高AD=60mm ,把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. B B G D HO 图1 图2 (I)求证：△AEF∽aABC; (②)求这个正方形零件的边长： (3)如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 10/13 专题02 二次函数应用的六种模型 目录 题型一：二次函数的应用之增长率、销售问题 1 题型二：二次函数的应用之拱桥问题 6 题型三：二次函数的应用之投球问题 14 题型四：二次函数的应用之喷水问题 21 题型五：二次函数的应用之图形问题 29 题型六：二次函数的应用之图形运动问题 35 题型一：二次函数的应用之增长率、销售问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）固原市新华百货连锁超市“双11”打算促销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图线段所示． (1)写出每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式． (2)如果该超市每个星期想获得4000元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？ (3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该超市每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)550元 (3)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据总利润单件利润销售量，即可列出方程，即可求解； （3）设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式， 将代入，得：， 解得 ∴每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）解：由题意，得：， 整理得， 解得， 又∵，要尽快减少库存，且y随x增大而减小， ∴ 答：应将销售单价定为50元； （3）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元， 由题意，得：． ∵，， ∴当时，w取得最大值为6250， 答：当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． (1)求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； (2)经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每件商品降价元时，商场月份可以达到最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 根据题意，得，    化简，得， 解得，（不合题意，舍去）．     答：第十，十一这两月销售量的月平均长率为． （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元． 由题意得，，     即，     ∴当时，w有最大值，． 答：当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润， 最大利润为8820元． 4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加50件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)降价元时，最大利润为元 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的最值问题。 （1）设月平均增长率为，根据三月份和五月份的销售量关系列方程求解； （2）设降价元，根据利润=（售价进价）销售量建立二次函数关系，利用二次函数的顶点公式求最大利润． 【详解】（1）设平均每月增长率为， 由题意得，三月份销售件，五月份销售件， ， ， ， 或（舍去）， ； 月平均增长率为． （2）设降价元，则售价为元，销售量为件， 利润， ， 有最大值， 顶点横坐标， ， 降价元时，利润最大，最大利润为元． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品．当商品售价为每件40元时，一月份可销售件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三月这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三月这两个月的月平均增长； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，销售单价与月平均销售量的关系如表： 销售单价（元） 35 36 37 38 39 40 月平均销售量（件） 若要使四月份利润最大，则商品应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)要使四月份利润最大，则商品应降价元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设二、三月这两个月的月平均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量二、三月这两个月的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，设总利润为w元，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设二、三月这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三月这两个月的月平均增长率为； （2）解：由表格可知，当商品售价为每件40元时，销售量达到400件，若商品售价每降价1元，销售量就会增加40件． 设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，设总利润为w元， 根据题意得：， ∵ ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：要使四月份利润最大，则商品应降价元． 题型二：二次函数的应用之拱桥问题 6．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）．以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该船轮廓线所在抛物线的解析式； (2)已知船头高出水面2米（即点到水面的距离为2米），求船头到点的水平距离． 【答案】(1) (2)米． 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）求出抛物线的顶点，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的自变量的值，根据题意选择合适的解即可． 【详解】（1）解：∵船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）． ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入得到 解得 ∴该船轮廓线所在抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴船头到点的水平距离为米． 8．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆间按相同的间距米用根立柱加固，的长为米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式； (2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到米）； (3)现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使的长为米，立柱间距仍然为米，试判断一根长为米的钢筋能不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由． 【答案】(1) (2)栅栏所需钢筋的总长度为米． (3)一根长为米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏，理由见解析 【分析】本题考查抛物线的解析式求解、抛物线的实际应用以及线段长度的和差运算，合理建立坐标系、正确计算立柱的实际长度是解题关键． （1）以抛物线顶点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系； （2）利用横杆间隔确定每根立柱的横坐标，代入抛物线解析式求出对应值，再分别用减去该值即为立柱的实际长度，将所有立柱长度和横杆的长度相加即可； （3）由新的长度确定点坐标，求出栅栏抬高后的解析式，然后使用（2）的方法求出每根立柱的实际长度，将所有立柱长度和横杆的长度相加即可． 【详解】（1）解：以点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系，如图所示： 横杆间按相同的间距米用根立柱加固，的长为米， 的坐标为， 设抛物线的解析式为，则 ， 解得， 抛物线的解析式为 答：抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当，， 当，， 当，， 当，， 当时，， 立柱的实际长度米， 横杆的长度米， 栅栏所需钢筋的总长度米． 答：栅栏所需钢筋的总长度为米． （3）解：一根长为米的钢筋符合要求． 栅栏抬升后，点坐标为， 设此时的抛物线解析式为， ， 解得， 此时抛物线解析式为， 当，；时，． 栅栏所需钢筋的总长度， ， 一根长为米的钢筋符合要求． 答：一根长为米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏． 9．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距离地面5米． 已知条件 1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上． 2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面． 3．徽标中心位于拱门中垂线上． 问题 (1)根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式． (2)计算支撑杆的长度 (3)学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为米．判断当徽标悬挂后，其最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明． (4)由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 【答案】(1) (2)支撑杆长度为米 (3)徽标最高点不会被拱门遮挡 (4)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握知识点是解题的关键． （1）以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标为，且过点，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）将代入解析式，求出y的值即可； （3）求出徽标最高点距地面的距离为（米），徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，，则徽标最高点不会被拱门遮挡，即可解答； （4）根据题意求出增加百分比为，新拱门的顶点仍为，设新拱门解析式，由新拱门过点，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图 由题意，抛物线顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）支撑杆支点距中心线2米，即， 当时， ， ∴支撑杆长度为米． （3）徽标中心距地面5米，到拱门顶部距离1米，徽标直径米，则徽标最高点距地面： （米） 徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，． ∴徽标最高点不会被拱门遮挡． （4）跨度增加百分比： 原跨度8米，新跨度10米，增加量为米， 增加百分比：． ∵新拱门的顶点仍为， ∴设新拱门解析式， ∵新跨度10米，端点横坐标为5，即新拱门过点， ∴， 解得， ∴新解析式为． 10．（25-26九年级上·山西大同·期中）项目式学习 材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二  经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三  为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 【答案】(1)的函数解析式为 (2)①12米；②的最大值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）①先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；②设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得， 解得： 的函数解析式为； （2）解：①∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ②设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 题型三：二次函数的应用之投球问题 11．（25-26九年级上·全国·期中）发石车图1是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，已知墙宽为2米，为23米，为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线若发射石块在空中飞行的最大高度为9米． (1)求抛物线的解析式（不要求写x的取值范围）； (2)石块能否飞越防御墙？ 【答案】(1) (2)石块不能飞越防御墙 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题正确求得二次函数的解析式是关键． （1）依据题意，设抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为9米，从而，代入原点可得．求出可以得解； （2）依据题意，令，则，求解，再结合墙宽为2米，为23米，且，即可判断得解； 【详解】（1）解：抛物线的解析式为，且石块在空中飞行的最大高度为9米， ， 抛物线过原点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：墙高为6米， 令，则， 解得（舍去）或， 墙宽为2米，为23米，即， 石块不能飞越防御墙． 12．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． 【答案】(1)关于的函数表达式为： (2)该生在此项考试中未得满分，理由见解析 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令，则， 解得舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分． 13．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）我国正在举行第十五届全运会比赛，由广东、香港、澳门联合承办，在11月15日周六晚，江苏女子足球队获得冠军．球射向球门的路线呈抛物线形．运动员从球门正前方8m的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B，此时球离地面3m，球门高为2.44m． (1)以为轴，为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断运动员此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当运动员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点O和），直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设运动员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设运动员带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 14．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）小星和小丽在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．小星在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为拋物线：（为常数，）的一部分，小丽恰在点处接住沙包，然后竖直跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线：（为常数）的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线经过点，求的值； (3)若小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值．（假设小星，小丽，沙包一直在同一个水平面内） 【答案】(1)抛物线， (2)n的值为 (3)4和5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求出a的值即可； （2）将点代入抛物线，求出n的值即可； （3）根据题意可知，点的坐标范围是，将根据点的坐标分别代入抛物线，求出的取值范围，即可求解； 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， ， 抛物线， （2）将点代入抛物线，得 ， 解得， 答：n的值为． （3）解：小星在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包， 点的坐标范围是， 当经过时，，解得：， 当经过时，，解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 15．（24-25九年级下·全国·期末）【提出问题】小芳在观看排球比赛时发现排球被垫起后，沿弧线运动，那么排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？对此，她和同学小宛一起进行了探究． 【分析问题】经实地测量，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系．测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表（近似值精确到0.01），并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2 2.44 2.71 2.8 2.71 2.24 2 【解决问题】 (1)请在如图的平面直角坐标系中画出排球的运行轨迹； (2)根据表格数据和所画轨迹形状，可知y与x近似满足的函数关系式为___________； (3)通过计算，判断小宛这次发球能否过网； (4)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，排球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界(排球压线属于没出界)，求击球高度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能 (4) 【分析】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据图中描的点进行连线即可； （2））根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （3））将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （4）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，则进行求解即可． 【详解】（1）解：轨迹如图； （2）解：根据题意，设与的函数关系式为， 将代入关系式，得， 解得， 经检验其它数据也满足上述关系， ． （3）解：当时，， 这次发球能过网． （4）解：当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， ， 当时，， ， 答：击球高度的取值范围是． 题型四：二次函数的应用之喷水问题 16．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 17．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度与水平距离之间的函数图象，点为两个水柱的落水点，点为两个水柱的最高点．点的坐标为．喷头的高度为． (1)求右面抛物线的函数关系式； (2)若需要在上的点处竖立雕塑，．，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)顶部不会碰到水柱 【分析】本题考查的是二次函数的应用． （1）根据题意设右边的抛物线为：，再进一步求解即可． （2）当时，，再进一步判断即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为． ∴设右边的抛物线为：， ∵喷头的高度为． ∴， ∴， 解得：， ∴右面抛物线的函数关系式为：． （2）解：∵， 当时， ， ∵， ∴， ∴顶部不会碰到水柱． 18．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先认真分析题意，得出抛物线的顶点坐标为，设关系式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先理解题意，结合①不改变喷水头的角度，将水管长度增加，得出，求出又因为②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，且两种调试的水珠落地点相同，即把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式为， 观察图②得出抛物线与轴的交点坐标为， 则 ∴， ∴； 依题意，令，则， 即水管的原设计高度应为； （2）解：由（1）得， ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； 则， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∵②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．且要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等）， ∴把代入， 得 ∴ 解得． 19．（25-26九年级上·北京·期中）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为． (1)①请直接写出水流的最高处的坐标_________； ②求喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，直接写出喷头高度的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据题意得：点的横坐标为1，纵坐标为，即可求解； ②依据题意，设抛物线的解析式为，由点坐标为，求出的值，进而求得抛物线的解析式； （2）设抛物线的解析式为，根据水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，求出的取值范围，进而求出的取值范围即可． 【详解】（1）①，， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． ②由题意，点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得， 喷出水流的竖直高度与距离水池中心的水平距离之间的关系式为． （2）∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线的解析式为， ∵水流最大竖直高度大于， ， 当时，，解得， （负值舍去）， ∵水流离喷水池中心的最远水平距离不超过， ， ， ， ． 当时，， ． ， ， 20．（25-26九年级上·广西南宁·月考）项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 题型五：二次函数的应用之图形问题 21．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求矩形的另一边的长_____米（用含的式子表示） (2)求关于的函数关系式； (3)当为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？ 【答案】(1)； (2)（）； (3)当时，取得最大值，最大值为36． 【分析】本题主要考查了矩形的周长与面积公式、二次函数的表达式及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的配方方法和性质是解题的关键． （1）矩形周长为24米，已知一边长为米，根据矩形周长公式，另一边长用周长的一半减去即可表示． （2）利用矩形面积公式（面积长宽），将第（1）题得到的边长代入，即可得到关于的函数关系式． （3）将第(2)题的函数关系式整理为二次函数顶点式，根据二次函数的性质（开口向下时，顶点处取得最大值），求出面积最大时的值和最大面积． 【详解】（1）解：∵ 矩形周长为24米，米， ∴ （米）， 故答案为：； （2）解：∵ ，， ∴ ，即 （）； （3）解：， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， ∴ 当时，取得最大值，最大值为36． 22．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与的函数解析式； (2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少? 【答案】(1) (2)能， (3)当时，有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； （3）解：， 当时，有最大值． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订购篱笆120米（恰好用完）． (1)设，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值； (2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，S的最大值为1200平方米 (2)最多可以购买1400株牡丹 【分析】（1）设，则，面积为S平方米，由矩形面积公式得到S与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可； （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设， 则， ∴面积为， ∵，墙足够长， ∴当时，S有最大值是1200， 即最大面积为1200平方米． （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意，得， 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握矩形面积公式列函数解析式，二次函数与面积综合，总面积与每株面积和株数的关系，总价与单价和株数的关系列不等式，是解题的关键． 24．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如图2，如果把它加工成矩形零件，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，注意数形结合的运用． （1）根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设正方形零件的边长为，则，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （3）根据矩形面积公式得到关于的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ． （2）解：设正方形零件的边长为，则， ， ， ， ， ， 解得：． 答：正方形零件的边长为． （3）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， 故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为． 25．（25-26九年级上·天津北辰·月考）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】(1)； (2)当为或时，劳动基地的面积为 (3)196；160 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）篱笆总长，的长为，则，边长为正数，故且，即可得； （2）根据题意列一元二次方程，求解即可； （3）设，则，矩形的面积为，可得，依据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；； （2）解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为； （3）解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160． 题型六：二次函数的应用之图形运动问题 26．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可得为等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒，分两段：当时；当时，结合平行四边形的性质解答即可； （3）分两种情况：当平分时，当平分时，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当点Q在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，， ∴， 故答案为：1； （2）解：由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒， 当时，正方形与的重叠部分图形为正方形， 由（1）得：为等腰直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为， 即此时； 当时，如图，设交于点E，过点A作于点F，则为等腰直角三角形，此时正方形与的重叠部分图形为为多边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：如图，当平分时，设，交于点H， 由（1）得：，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 如图，当平分时，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 27．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）由题意得，推导出，由四边形是平行四边形，得，，，当点M在上，则，得，可推导出，则，解得； （3）分两种情况，一是点M在的内部或边上，则；二是点M在的外部，作于点F，分别交、于点D、点E，则四边形是矩形，所以，可求得，即可由求得． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 如图1，点M在上，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P与点C重合时，则， ∴， 当时，如图2， ∵， ∴； ∵当时，如图3，作于点F，分别交于点D、点E， ∵，, ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵ ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示有关线段的长度是解题的关键． 28．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （2）利用平移的概念，即可解答； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 29．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动，，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． (1)当点P由点A运动到点C时， 若，______； S关于t的函数解析式为______． (2)当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示． m的值为______； 求S关于t的函数解析式． 【答案】(1)； (2)16； 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键， （1）①作于点E，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可； ②同①法计算即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可； ②待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1， ， ， 平行四边形的面积为：； 故答案为：； ②由题意，得：，， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C，由（1）②可知：， 故， 故答案为：16； ②由图象和①可知，抛物线过，，将两点坐标分别代入，得： ， 解得， 关于t的函数解析式为． 30．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【答案】(1)①12；②； (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①由勾股定理和三角形的面积可得、，，由当时，，即点P和点D重合，即，然后根据三角形面积公式求解即可；②由题意可知：，然后分当P在上和上两种情况，分别运用线段的和差以及勾股定理求得，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）设，将代入（1）所得的解析式可得，即；再利用对称性可得，然后把代入求得a的值即可确定关于的函数解析式；如图：当时，，此时点P和点E重合且可得，从而确定的长． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． （2）解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $