专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 的三种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题.1 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题.10 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题.22 题型专练 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴 交于点C(O,-3),点D是抛物线的顶点，连接AD,BC. D (1)求抛物线的解析式与直线BC的解析式： (②)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P,使△APD为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标， 若不存在，说明理由 2.(25-26九年级上陕西西安月考)如图，己知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点 C0,3. B 备用图 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)连接CB，在直线CB上方的抛物线上有一点M,使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P,使得△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条 件的点P的坐标. 3.(25-26九年级上河南周口·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交 于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交 直线BC于点E. A D (I)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式： (2)当点P在第一象限时，求PE的最大值： (3)是否存在点P,使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 4.(25-26九年级上·青海西宁期中)如图，二次函数y=-xG+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0), 交y轴于点B(0,3). 图1 图2 (1)求此二次函数的解析式： (2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形4A0BP的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的 坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）， 5.(25-26九年级上河南周口月考)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0、B(3,0)两点， 与y轴交于点C,顶点为点M. 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 YA B B 备用图 (1)求这条抛物线的解析式及直线BM的解析式： (②)P为线段BM上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q,设OQ的长为t,四 边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请 说明理由， 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 6.(25-26九年级上·甘肃武威·月考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交 于A-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-3). VA (1)求二次函数的解析式； (2)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使△QBC为直角三角形的点Q的坐标. 7.(25-26九年级上·黑龙江大兴安岭月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴 交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点D, 过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于点E. y o c (1)求抛物线的函数表达式： (2)若BDE是直角三角形，请直接写出点D的坐标. 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26九年级上·上海普陀·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交 于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴负半轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点是点D.已知点 B1,0,tan∠0BC=3. (1)求点A和点C的坐标： (2)如果抛物线对称轴上存在点P(点P在第三象限)，使得△ACP是直角三角形，求点P的坐标： (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与x轴、y轴分别交于点E、F,当点F恰好为ADE的重心时，求平移 后抛物线的表达式， 9.(25-26九年级上黑龙江绥化月考)已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-3 (a≠0)的图象与x轴交于点A3,0)和点B(-1,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)求b的值； (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接PC,PA,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在第2问的条件下，N为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的N点，使△APN为直角三角形，若 存在，请直接写出符合条件的点N的坐标 10.(25-26九年级上全国·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)经过 点A1,0),B(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围： (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P)的最低点的纵坐标为2-2m. ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△PDQ为直角三角形？若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 11,(25-26九年级上·辽宁葫芦岛期中)如图，抛物线y=ax2+4ax-5a(a为常数，a≠0)与x轴交于点 A,B两点，点C为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5， (I)求a的取值范围； (2)若ABC为等腰直角三角形，求a的值. 3 12.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，抛物线y=-二x2+bx+c与x轴交于点A和点B(5,0),与y轴 5 交于点C(0,-3),连接BC,点E是对称轴上的一个动点.点P在抛物线上. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)当点P在第一象限内，连接PB,PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面积， (3)在抛物线上是否存在点P,使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 不存在，请说明理由 13.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔月考)如图，抛物线y=ax□+bx+c与x轴交于A-1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). B (1)求抛物线的解析式： (②)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=2时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，是否存在点Q,使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 14.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图：已知抛物线y=-x+2x+c与直线相交于点A和点C,A点坐 标为-1,0)，C点横坐标为2. 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标； (②)求抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)求直线AC函数解析式： (4)若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，PQ⊥x轴交AC于点Q,若△PQC是等腰直角三角形，直接写 出P点坐标. 15.(2024广东模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C(0,3),且0B=OC,直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点，设 直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m. 6/7 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标. (2)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系. （同注楼PA、PD,当m为有值时Sm-心子 (④)在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 7/7 专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 目录 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 10 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 22 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1)抛物线解析式：；直线的解析式： (2)存在；或或或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设， ∵， ∴， ， ， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：， ∴； 综上：或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求该二次函数的解析式及直线的解析式； (2)当点在第一象限时，求的最大值； (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）连接，由（2）知，，，求出，，，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，在二次函数上， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 与轴交于点， 点， 设直线解析式为， 将代入得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：设，则， ， 即当时，最大值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， ， ， ， ， 当时，， 解得或， 当时，点的坐标为，与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当或时，点分别与点或点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当时，点与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是本题解题的关键． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； （3）解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 5．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为点M． (1)求这条抛物线的解析式及直线的解析式； (2)P为线段上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设的长为t，四边形的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)在线段上是否存在点N，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据四边形的面积等于三角形的面积加上梯形的面积，列出函数关系式，根据点的位置，确定的范围即可； （3）分三种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点， ，解得， ∴二次函数的解析式为， ， ∴， 设直线的解析式为，则有 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵的长为t，， ∴点P的坐标为， ∴ ， ； ∵P为线段上一动点（点P不与点B、M重合）， ∴t的取值范围是． （3）存在；设， ∵， ∴，，； ①当时，，解得（舍去）． 此时； ②当时，， 解得（舍去），此时， ③当时， 解得，此时． 综上：或或． 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 6．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若为抛物线对称轴上一动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用待定系数法将、代入二次函数求解即可得到答案； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为，先求出，再计算，，，根据为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为， 令，则， 解得或， ， 设抛物线对称轴上一动点， 、， ，，， 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 解得，则； 当时，由勾股定理可得， 则， 即， ， ，则或， 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与轴交点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键． 7．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先求出、的坐标，然后代入，求出、的值即可； （2）若是直角三角形，分两种情况讨论，或，利用直角的性质和构造相似三角形的方法分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 则； 令，则， ，， 把，坐标代入， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：当时，如图， ∵轴， ∴当时，轴， 即D纵坐标等于B点纵坐标， 当时，代入得： ， 解得， ∴； 当时， 作轴，轴， ∵， ∴， 又∵， ， 又∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 整理得 解得， 当时，代入， ∴； 综上所述D的坐标为或 ． 8．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． (1)求点和点的坐标； (2)如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数和几何图形综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据坐标和锐角三角函数比求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出交点坐标即可； （2）分情况进行讨论，假设，利用勾股定理表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）根据重心的性质，求出，，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 将，代入得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； （2）解：抛物线对称轴为直线， ①如图所示，当时，连接， 假设， 根据勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，当时，连接， 同上，此时， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，点恰好为的重心， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，且对称轴为直线，， ∴， ∴线段的中点坐标为，即， 根据重心的性质得，点的横坐标为，纵坐标为， 解得，， ∴，， 假设平移后的抛物线解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴平移后的抛物线解析式为． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 10．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 11．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 12．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大面积 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． （3）解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 13．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 15．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $