专题17二次函数与四边形综合练习2025—2026学年北师大版数学九年级下册

专题17二次函数与四边形综合 类型一　二次函数与一般平行四边形 1.抛物线y＝ax2－x－2与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点. （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.设点D的横坐标为m，当PE＝BE时，求m的值； （3）如图2，点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，抛物线y1＝a（x－h）2＋k与直线y2＝k'x＋b分别交x轴和y轴于点A（－3，0）和点C（0，3），已知抛物线的对称轴为直线x＝－2. （1）请写出点B的坐标，并求抛物线的表达式； （2）观察图象，请分别写出符合下列条件的结论： ①当y1＜y2时，x的取值范围； ②在平面内以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，写出点D的坐标. 类型二　二次函数与菱形 3.如图，抛物线与x轴相交于点A（－4，0），B（－2，0），直线AC过抛物线上的点C（－1，3）. （1）求此抛物线和直线AC的表达式； （2）设抛物线的顶点是D，直线AC与抛物线的对称轴相交于点E，点F是直线DE上的一个动点，求FB＋FC的最小值； （3）若点P在直线AC上，问在平面上是否存在点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式. （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由. （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 类型三　二次函数与矩形 5.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C（0，－3）.点P是抛物线上一个动点. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为（1，－4）时，求四边形BACP的面积； （3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 类型四　二次函数与正方形 7.如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于点A（3，0），B，与y轴交于点C. （1）求c的值及该抛物线的对称轴； （2）若点D在直线AC上，点E是平面内一点.是否存在点E，使得以点A，B，D，E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 8.如图，抛物线y＝－ax2＋bx＋5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 1.解：（1）把点A（－1，0）代入y＝ax2－x－2得a＋－2＝0，解得a＝， ∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2. （2）把y＝0代入y＝x2－x－2得，x2－x－2＝0， 解得x＝－1或x＝4，∴B（4，0）. 当x＝0时，y＝－2， ∴点C的坐标（0，－2）. ∴BC＝＝2，BC的表达式为y＝x－2. 根据题意，设点D的坐标为（m，0）， 把x＝m代入y＝x2－x－2得，y＝m2－m－2. 把x＝m代入y＝x－2，得y＝m－2， ∴P（m，m2－m－2），E（m，m－2）， ∴DE＝2－m，EP＝2m－m2. ∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴， ∴△BDE∽△BOC， ∴BD∶BO＝BE∶BC，即BE·BO＝BC·BD， ∴BE＝（4－m）. ∵PE＝BE＝（4－m）， ∴2m－m2＝（4－m）， 解得m＝或m＝4（舍去）. （3）存在，点H的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）.理由如下： ∵C（0，－2），F（1，0）， ∴直线CF的表达式为y＝2x－2， 当x＝时，y＝2×－2＝3， ∴M（，3）. ∵点N是x轴上方抛物线上的一点， ∴当y＝3时，x2－x－2＝3， 解得x＝－2或x＝5. 当N（－2，3）时，FH＝MN＝. ∴点H的坐标为（－，0）或（，0）. 当N（5，3）时，FH＝MN＝， ∴点H的坐标为（－，0）或（，0）. 综上，点H的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）. 2.解：（1）根据题意得抛物线y1＝a（x＋2）2＋k， ∵抛物线y1＝a（x＋2）2＋k与直线y2＝k'x＋b分别交x轴和y轴于点A（－3，0）和点C（0，3），∴解得∴抛物线的表达式为y1＝（x＋2）2－1， ∵点A（－3，0），抛物线的对称轴为直线x＝－2，∴B（－1，0）. （2）①由图象可知当－3＜x＜0时，y1＜y2； ②∵AB＝－1－（－3）＝2，∴D（－2，3）或（2，3）或（－4，－3）. 3.解：（1）设该抛物线的表达式是y＝a（x＋4）（x＋2），把C（－1，3）的坐标代入得，a＝1. ∴该抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋8.设直线AC的表达式是y＝kx＋b，把A（－4，0），C（－1，3）的坐标代入得，解得 ∴直线AC的表达式是y＝x＋4. （2）∵点A，B关于直线DE对称，∴FB＝FA， ∴FB＋FC＝FA＋FC. 当点F与点E重合时，FB＋FC最小，最小值是3. （3）当AB为菱形的对角线时，菱形的另外两个顶点在线段AB的中垂线上， 而点P又在直线AC上，∴点P的坐标是（－3，1）， ∴Q1（－3，－1）. 当AB为菱形的一边时， ①当AP＝2时，点P是以A为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点. ∴点P的坐标是（－4，）或（－－4，－）， ∴Q2（－2，），Q3（－－2，－）； ②当BP＝2时，点P是以B为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点. ∴点P的坐标是（－2，2），∴Q4（－4，2）， ∴在平面上存在点Q1（－3，－1），Q2（－2，），Q3（－－2，－），Q4（－4，2），使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形. 4.解：（1）令y＝0，则－2x＋6＝0，则x＝3. 令x＝0，则y＝6，∴A（3，0），B（0，6）. 把A（3，0），B（0，6）分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. （2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似， 设点D（t，－t2＋t＋6），则E（t，－2t＋6），C（t，0），过点B作BH⊥CD，垂足为H，则H（t，6），∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，BH＝t，DH＝－t2＋t，DE＝－t2＋3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. ①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴BD∥AC，∴D点纵坐标为6， ∴－t2＋t＋6＝6， 解得t＝0（舍去）或t＝1，∴D（1，6）. 图1　　图2 ②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE， 过B作BH⊥DC于H，∴∠BHD＝90°， ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝， ∴＝＝2，∴－2t2＋2t＝t， 解得t＝0（舍去）或t＝，∴D（，）. 综上所述，点D的坐标为（1，6）或（，）. （3）①如图3，当D在F左侧时， ∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG. 设点D（m，－m2＋m＋6），E（m，－2m＋6），F（n，－n2＋n＋6），G（n，－2n＋6）， ∴DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n， ∴－m2＋3m＝－n2＋3n， 即（m－n）（m＋n－3）＝0. ∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0， 即m＋n＝3或n＝3－m. ∵A（3，0），B（0，6），∴AO＝3，BO＝6， ∴AB＝＝3. 过点G作GK⊥DE于K， ∴KG∥AC，∴∠EGK＝∠BAC， ∴＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝， 即＝， ∴EG＝（n－m）＝（3－2m）. ∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝（3－2m）， ∴m2－（3＋2）m＋3＝0， 解得m＝（不合题意，舍去）或m＝， ∴m＝， ∴点D的横坐标为. 图3　　图4 ②如图4，当D在F右侧时， 同①方法可得点D的横坐标为. 综上，点D的横坐标为或. 5.解：存在.当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C（0，3）， 设直线AC的表达式为y＝kx＋b， 把A（－1，0），C（0，3）的坐标分别代入得解得 ∴直线AC的表达式为y＝3x＋3，当四边形ACPQ为矩形时，PC⊥AC， ∴PC的表达式为y＝－x＋3， 解方程组得或 ∴点P的坐标为. ∵点C向右平移个单位，向下平移个单位得到点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移个单位得到点Q，即Q； 当四边形APQC为矩形时，AP⊥AC，设AP的表达式为y＝－x＋b， 把A（－1，0）的坐标代入得－×（－1）＋b＝0，解得b＝－， ∴直线AP的表达式为y＝－x－，解方程组得或 ∴点P的坐标为. ∵点A向右平移个单位，向下平移个单位得到点P， ∴点C向右平移个单位，向下平移个单位得到点Q，即Q. 综上所述，点Q的坐标为或. 6.解：（1）由题意可得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. （2）如图1，连接OP，过点P作PE⊥AB于点E， ∵点P的坐标为（1，－4），∴PE＝4，OE＝1.令y＝0，则x2－2x－3＝0， ∴x＝3或x＝－1，∴A（－1，0）， ∴OA＝1. ∵C（0，－3），B（3，0），∴OC＝3，OB＝3. ∴四边形BACP的面积为S△OAC＋S△OCP＋S△OBP ＝OA·OC＋OC·OE＋OB·PE ＝×1×3＋×3×1＋×3×4 ＝9. 图1　　图2 （3）①在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形.如图2，四边形BCQP为符合条件的矩形，PB交y轴于点E，CQ交x轴于点F，连接EF，过点P作PM⊥y轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N， ∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∵四边形BCQP为矩形，∴∠PBC＝∠QCB＝90°， ∴∠OBE＝∠OCF＝45°， ∴△OBE和△OCF为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OE＝OF＝3，∴四边形BCFE为正方形，∴CF＝BE，∠EFC＝∠BEF＝90°，∴四边形EFQP为矩形.∴QF＝PE. ∵∠MEP＝∠BEO＝45°，∠QFN＝∠OFC＝45°， ∴△PME和△QNF为全等的等腰直角三角形，∴NF＝QN＝PM＝ME. ∵OE＝3，∴E（0，3），设直线BE的表达式为y＝kx＋n， ∴∴ ∴直线BE的表达式为y＝－x＋3. 联立得∴或 ∴P（－2，5），∴PM＝2， ∴QN＝NF＝2，∴ON＝OF＋NF＝3＋2＝5，∴Q（－5，2）. ②当四边形BPCQ为矩形时，即∠BPC＝90°时， 设P（m，m2－2m－3）， 由一线三垂直可知：＝，解得m1＝（舍去），m2＝. ∴P.此时Q. 综上，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为（－5，2）或. 7.解：（1）∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于点A（3，0），∴－9＋6＋c＝0， 解得c＝3，∵x＝－＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. （2）存在.∵y＝－x2＋2x＋3，∴C（0，3）， 设直线AC的表达式为y＝kx＋b，把A（3，0），C（0，3）的坐标分别代入得解得 ∴直线AC的表达式为y＝－x＋3，设D（t，－t＋3）， ∵点B与A（3，0）关于直线x＝1对称，∴B（－1，0）， ∴AB＝3－（－1）＝4，当AB为正方形ABDE的边时，如图，则BD＝AB，BD⊥AB，AE＝AB，AE⊥AB， ∴－t＋3＝4，解得t＝－1，∴D1（－1，4），E1（3，4）； 当AB为正方形ADBE的对角线时，如图，则DE⊥AB，EF＝DF＝AF＝BF＝AB＝2， ∴－t＋3＝2，解得t＝1，∴D2（1，2），E2（1，－2）. 综上所述，点E的坐标为（3，4）或（1，－2）. 8.解：（1）∵抛物线y＝－ax2＋bx＋5过点（1，2）、（4，5）， ∴解得 ∴抛物线表达式为y＝x2－4x＋5. （2）在y＝x2－4x＋5中，令x＝0可得y＝5，∴B（0，5）， ∵y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，∴A（2，1）， ∴AB＝＝2， 设直线AB表达式为y＝kx＋n， 则有解得 ∴直线AB表达式为y＝－2x＋5， ①当PA⊥AB时，如图1， 可设直线PA的表达式为y＝x＋m，把点A（2，1）的坐标代入可得1＋m＝1，解得m＝0， ∴直线PA的表达式为y＝x，∴可设点P的坐标为，∴PA＝. ∵四边形PABQ为正方形，∴PA＝AB，即＝2，解得x＝－2或x＝6. ∵点P在第一象限内， ∴x＝－2不符合题意，舍去，故x＝6，此时点P的坐标为（6，3）； 　　 ②当PB⊥AB时，如图2， 可设直线PB的表达式为y＝x＋s，把点B（0，5）的坐标代入可得s＝5，∴直线PB的表达式为y＝x＋5， ∴可设点P的坐标为， ∴PB＝， 同理可得＝2，解得x＝－4（舍去）或x＝4，此时点P的坐标为（4，7）；③当AB是正方形的对角线时，因为点P在第一象限，可得P（3，4）. 综上可知，存在满足条件的点P，其坐标为（6，3）或（4，7）或（3，4）. 学科网（北京）股份有限公司 $$