专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级下册

专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 目录 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 11 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 20 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 30 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限，连接，当时，求面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意求出的解析式，设，则，根据点在抛物线上，可用含的式子表示出的长，根据二次函数的特点即可求解； （3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图所示， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ∵， ∵， ∴当时， 又， ∴当时，； （3）解：存在理由如下： 由（2）知，，， ∴ ∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴，∴， ①，解得：或， ∴或； ②，此时t无解； 综上所述：点坐标为或． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． (3)若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）根据题意令代入二次函数解析式求得x的值，随即得出二次函数与x的坐标A，B，利用待定系数法根据点B和点C的坐标求得直线的解析式； （2）过点E作轴，交直线于点F，设，，求得的距离，通过“铅垂法”列出面积的表达式，得出，此时表达式为二次函数，并且时面积有最大值，将代入到二次函数中得到点E的坐标； （3）根据题意设，此时以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况讨论，根据不同的情况最终得出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入： ，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点F， 设，则， 即， ∵， ∴当时，的面积最大．此时． （3）解：存在．点P的坐标为或或． 设， 以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况： ①如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴，即， 则，解得，， ∴点P的坐标为或； ②如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为； ③如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，，则． ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式表达，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性强，难度大． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到点、的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作，设出点坐标，分割法表示出四边形的面积，根据四边形的面积是面积的4倍，列出方程进行求解即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）存在， 设，连接， ∵，， ∴， ∵四边形的面积是面积的4倍， ∴ ， 解得， ∴，即； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵、， 当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时，分3种情况讨论； ①当为对角线时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 4．（25-26九年级上·四川德阳·月考）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图像经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式 (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标 (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． （1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解； （2）延长交于点，易知是等腰直角三角形，由三边之间的关系可得：，当最大时，最大； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， 故该抛物线的表达式为； （2）延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当最大时，最大， 设，则， ， 当时，有最大值，即有最大值， 此时，点的坐标为； （3）∵， ∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为， 把代入得：， 解得：，， ∴， ∵N是原抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵点M在新抛物线上， ∴设， ①当为边时， 点向右平移4个单位得到点， ∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点， ∴或， 解得：或6， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 当时，， ∴点M的坐标为； 综上，满足条件的点M的坐标有或或． 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或 【分析】（1）将点和点的坐标代入解出、的值即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式求得点坐标，可得为等腰直角三角形，则有，当时，即，内错角相等可得，即点纵坐标与点纵坐标相等，将代入抛物线解析式即可得到点的坐标； （3）分成两种情况考虑：第一种，当点在轴上时，此时只能为抛物线的顶点，由矩形性质即可推得点坐标；第二种，当点在轴负半轴上时，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，结合矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可以得出点的坐标为，最后根据点在抛物线上解出的值，即可得点坐标．综合两种情况即可得到完整解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点， 代入得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：由（1）得， 令时，得，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 即点纵坐标与点纵坐标相等， 在中，令时，解得，， ． （3）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 情况一：如图，当点在轴上时，只能为抛物线的顶点， 四边形为矩形，点为抛物线对称轴上一动点，， 与纵坐标相同， 点坐标为； 情况二：如图，当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设点坐标为，则， 矩形中，， ， 又， ， ， ， ， 抛物线对称轴为，点在对称轴上，点坐标为， ，， ，即， ，， ，， ， 和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得，， 点在轴负半轴上， ，即需舍去， 点坐标为． 综上所述，符合条件的点坐标为或． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标． （3）设，得出，，，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：是以点为直角顶点的直角三角形时，. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴对称，， ∴点， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：存在，设，其中，，，， ①当时，即， ∴， ∴， 解得（舍）或（舍）； ②时， 即， ∴， 解得（舍）或， ∴， 设所在直线的一次函数关系式为 又∵点，点， ∴ 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为 ∵四边形为矩形， ∴ ∴可设所在直线的一次函数关系式为 将点代入中， 即 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为， 设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 解得：， ∴点， 综上所述，. 7．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 8．（24-25九年级上·吉林松原·月考）如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 【答案】(1) (2)C在抛物线上，D不在抛物线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等： （1）根据对称轴计算公式得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用勾股定理求出，则由菱形的性质得到，，则，即可推出，再验证C、D是否在抛物线上即可. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在直线上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：C在抛物线上，D不在抛物线上，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴不在抛物线上，在抛物线上。 9．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为平面内一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 【答案】(1)； (2)面积最大值为，点P的坐标为； (3)点的坐标为或或或，见解析． 【分析】（1）根据题意先求出，，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． （2）过点作轴平行线，交直线于点，连接，，再利用待定系数法求得直线解析式为：，故可设，，根据三角形面积可得，即可求得面积最大值为，点P的坐标为． （3）根据抛物线移动可得新抛物线的解析式为：，即新抛物线的对称轴为直线，设，分成当线段为菱形的对角线时、当线段为菱形的边时的两种情况，再当线段为菱形的边时，分成、的两种情况分别讨论，结合勾股定理，菱形的性质和二次函数的性质即可求解， 【详解】（1），，， ，， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴平行线，交直线于点，连接，，如图所示： 设直线解析式为：， 将，代入上式，可得， 解得：， ∴直线解析式为：， 故可设，， ∵，， ∴， ∴， ∴面积最大值为，点P的坐标为． （3）解：，该抛物线向左移动个单位， 新抛物线的解析式为：， 新抛物线的对称轴为直线， 设； 当线段为菱形的对角线时，， ，， ，， ，解得， ， ，， ，， ； 当线段为菱形的边时， ，， ，，， ①当时， ，即， 或； 或； 直线为， 当时，， 在直线上，不合题意，舍去， ，， ，， ； ②当时， ，即， 或； 或； ，， ， 或； 综上，点的坐标为或或或． 10．（24-25九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积有最大值为1，此时 (3)存在，、、    、 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊四边形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将点和点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设设点，则 ，根据即可建立函数关系式求解； （3）设，分类讨论为对角线时，为对角线时，为对角线时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：将点和点代入得： ，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴，如图所示： 由得点， 设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （3）解：设， 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 为对角线时， ， 解得：或 ∴、； 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 综上所述：符合条件的所有点的坐标为、、    、 11．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 12．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 13.（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 14．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 .1 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 .11 题型三：二次函数中的菱形存在性问题.20 题型四：二次函数中的正方形存在性问题..30 题型专练 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1.(25-26九年级上海南省直辖县级单位·月考)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,3),点 P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P在第一象限，连接AM、BM,当1≤t≤2.5时，求△ABM面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P,使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由 2.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点B在点A的右 侧)，与y轴交于点C. 备用图 (I)求直线BC的解析式： 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点E是直线BC下方抛物线上一动点，当aBCE的面积最大时，求点E的坐标 (3)若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q,P,使以P,Q,B,C为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(25-26九年级上·辽宁盘锦·月考)如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为A(0,1)、 B(2,0)、C(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A'B'0. B\ B B (I)一抛物线经过点A、B、B,求该抛物线的解析式： (②)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PB'AB的面积是△A'B'0面积的4 倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M,对称轴上有一动点N,求当A,B,M,N四点围成的图形为平行四边形时点N的 坐标 4.(25-26九年级上四川德阳月考)若直线y=x-5与y轴交于点A,与x轴交于点B,二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过点A,点B,且与x轴交于点C(-1,0). VA B 图1 图2 ()求二次函数的解析式 (2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E,作PF∥y轴交直线AB于点 F,求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标 (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y,Q是新抛物线y与x轴的交点（靠近y轴）， N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M,使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四 边形，请求出符合条件的点M的坐标. 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 5.(24-25九年级上广东茂名期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的交点分别 为A和B1,0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,3),点P是直线AC上方抛物线上一动点. 2/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)当LPCA=LOCA时，求点P的坐标： (3)设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P,点M运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四边形PMCN为 矩形，若存在，请求所有符合条件的点N坐标. 6.(24-25九年级上全国·课后作业)二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交 于点B(0,-3),P、Q为抛物线上的两点. y B (1)求二次函数的表达式： (2)当P、B两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标： (3)拓展设问：点C是平面直角坐标系中的一点，当点M在第四象限内的抛物线上时，是否存在点M,使得 以A、C、B、M为顶点的四边形是以AB为边的矩形？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由. 7.(25-26九年级上·四川眉山期中)如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(3,0),C(3,3),抛物 线y= _3r+hx+c经过点A和点B. 4 D D 备用图 (1)求抛物线的解析式： 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (②点E在X轴上方的抛物线上，当S-4S矩m时，求点E的坐标： (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的 坐标 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 8.(24-25九年级上·吉林松原·月考)如图，Rt△AB0的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正 半轴上，0为坐标原点，A、B两点的坐标分别为-3,0、(0,4)，抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在 直线x=上 2 (1)求抛物线对应的函数关系式： (2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形 时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； 9.(24-25九年级上·四川泸州期中)如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左 侧)，与y轴相交于点A.已知点B坐标为B(1,O),BC=3,ABC面积为6. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，求△PAC面积的最大值及此时P点的坐标； 3)如图2，将抛物线向左平移？个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴1上一点，N为平面内 2 一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N 点坐标的过程. 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(24-25九年级上·重庆开州期中)如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于点A(-1,0)和点B(2,0),交y轴 于点C. C 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)若点P是直线BC下方抛物线上一动点，连接PC,PB,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及面积的 最大值； (3)在(2)的条件下，若点N是直线BC上的动点，在平面内的是否存在点Q,使得以P、B、N、Q为顶 点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 11.(2025·甘肃天水模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点 B,与y轴负半轴交于点C,A-4,0),B1,0). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交AC于点F, D吃EF时，求点E的收 (3)在(2)的条件下，点M是抛物线对称轴1上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N,使以A 、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 12.(25-26九年级上·福建龙岩期中)如图，在平面直角坐标系中，点A2,4)在抛物线y=ax2上，过点A作 y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛物线于E ,F两点. 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求抛物线对应的函数解析式： (②)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长， 13.(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a(x-2)2+k 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. 0衣 (1)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长. 14.(25-26九年级上·辽宁鞍山期中)直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线 y=ax2+2x+c经过点A,B,与x轴的另一个交点为C. B 0 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F, FG⊥x轴于点G,当DE=FG时，求点D的坐标： (3)如图2，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线 CD于点K.P是平面内一点，当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐 标. 6/6