专题01 二次函数的图象和性质的六种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01二次函数的图象和性质的六种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数的图象和性质… 1 题型二：利用二次函数的性质求解4 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题6 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题.10 题型五：画二次函数的图象… 7 题型六：二次函数的图象和性质综合问题.25 题型专练 题型一：二次函数的图象和性质 1.(25-26九年级上新疆期中)对于抛物线y=-(x-2)2+1,下列判断不正确的是() A.抛物线的开口向下 B.当x=2时，y有最大值1 C.当x<2时，y随x的增大而增大 D.对称轴为直线x=-2 2.(25-26九年级上·安徽合肥期中)已知抛物线y=-x2+2x+1,下列结论中错误的是（) A.抛物线的开口向下 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.当x=1时，y取最大值2 D.抛物线的对称轴为直线x=1 3.(25-26九年级上·福建福州期中)关于抛物线y=-x2+6x-5,下列说法正确的是() A.开口向上 B.y有最小值 C.与y轴的交点坐标是0,5) D.顶点坐标是(3,4 4.(25-26九年级上广东东莞期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的坐标如表，下列说法错误的是 () -2 -1 1 -3 -2 -3 -6 -11 … A.抛物线开口向下 B.对称轴是直线x=-2 C.当x>-1时，y随x的增大而增大D.c的值为-6 5.(25-26九年级上·湖北孝感·期中)已知A(-3,-2),B(1,-2),抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C,D两点(C在D的右侧)，下列结论错误的是() A.y2-2 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.若点D横坐标的最小值为-5，则点C横坐标的最大值为3 D.当四边形ABCD为平行四边形时，a=2 题型二：利用二次函数的性质求解 6.(25-26九年级上浙江温州月考)二次函数y=2x2-x+2的对称轴为直线x= 7.(24-25九年级上江苏南京·月考)若点A(-2,y),B(5,y2)在函数y=ax2-4ax+1(a<0)的图像上，则 2(用“<”、“>”或者“=”连接). 8.(25-26九年级上广东·期中)已知二次函数y=x+2x-1,当-2≤x≤2时，y的最小值为 9.(25-26九年级上·全国·期末)如图，己知抛物线y=(x-1)+k,点A,B均在抛物线上，且AB与x轴平 行，若点4的坐标为引 则点B的坐标为 10.(24-25九年级下·湖北黄石·期中)已知二次函数y=a(x-1)-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为 -6,则a的值为 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 11.(25-26九年级上·四川泸州期中)抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是() 12.(25-26九年级上·辽宁盘锦·月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，反比例函数 a-b与正比例函数y=(2b+c)x在同一坐标系中的大致图象可能是（) y= 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26九年级上陕西西安期中)一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2-b的图象可 能为() D 14,(2025宁夏吴忠三模)已知反比例函数y=(b≠0)的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次 函数y=cx+ac≠0)和二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象可能是() 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为 15.(24-25九年级下山东潍坊期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=a与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（） 小 D 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 16.(2025九年级上河北保定·专题练习)y=ax2+bx+c(a≠0)二次函数图象如图，下列结论：①若 4/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ax+bx1=ax+bx2,且x≠x3,则x+x2=1;②2a+b=0;③a-b+c>0;④当m≠1时， a+b>am2+bm.其中正确的有() YA A.1 B.2 C.3 D.4 17.(25-26九年级上陕西西安月考)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的 对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是0，m)且2<m<3.有下 列结论：abc<0:②9a-3b+c>0,③？ 4y大<：④关于x的一元三次方程ar+b-x+c-20必 有两个不相等实根；⑤若P(t-1,”),Q(t+1,y2)在该二次函数的图象上，则当实数t>1时，片>y2·其中 正确的有() x=1 2 4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 18.(25-26九年级上陕西西安·月考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交 点在点(2,0)和3,0)之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①abc<0;②b2>4ac;③3a+c<0: ④若m为任意实数，则有a-bm≤am2-b;⑤点P(x,),Qx2,y2)在其图象上，若x,<x2,且x1+x2>2 ,则一定有<2·() 0 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.(25-26九年级上·山东泰安期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-2.下 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 列说法：①abc>0;②4a-2b≤1at+b)(t为全体实数)；③c>3a;④若Am,y)和B(m+1,y,)为图象上 两点，且为<，则m< ·其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 20.(25-26九年级上·全国期末)如图是抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的一部分，其对称轴为直线x=2,且 抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，下列结论：①b>0;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x=-2, x2=6;③12a+c>0;④当y>0时，x的取值范围是-2<x<2;⑤若m为任意实数，则 am2+bm-12a≤-16a.其中结论正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型五：画二次函数的图象 21.(25-26九年级上北京·期中)已知二次函数y=x2-2x-3. (①)直接写出该二次函数图象的对称轴是 ； (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； 5 4 5-4-3-2-1q1.2.345x (3)根据图象回答下列问题： 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当y>-3时，x的取值范围为 ②当0<x<3时，y的取值范围为 22.(25-26九年级上北京·期中)已知二次函数y=x2+4x+4. 3 -5-4-3-2-1 O12345x 3 5 (1)将y=x2+4x+4配方得： (2)在坐标系中利用描点法画出此拋物线： y … (3)当x 时，y>0; (4当-3<x<a时，函数y的取值范围为0≤y<16,则a的值为 -4 -3 -2 -1 0 4 1 0 1 4 23.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)已知二次函数1=x2-2x-3,在平面直角坐标系x0y中画出该函数 的图象，并将x轴下方的图象沿x轴翻折，得到的图象与x轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新 的函数为 珠 4 3 2 -5-4-3-2-10 12345元 一 -2 ………… 一3………… -4 (1)请在下面的平面直角坐标系中画出y2的图象. (2)结合y的函数图象回答下面问题： 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①直接写出y,随x增大而增大的自变量x的取值范围 ②当直线y=2+m与乃有四个交点时，求出m的取值范围。 -1 0 2 … 0 -3 -4 -3 0 0*卡”+ 24.(25-26九年级上江苏苏州月考)已知抛物线y=x2+2x+2 (①)该抛物线的对称轴是直线，如表中，=_，"=一；并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： …… 0 5 2 2 -6 5引 4 6-5-4-3-2-1@123456x 4 -6 (2)若P(a,),Q(1,y,)是此抛物线上的两点，且乃>2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围 (3)怎样平移抛物线y=x2+2x+2可使所得抛物线恰好过点(2,2)，直接写出平移方法.（一种即可） 25.(25-26九年级上·河南信阳·期中)对于代数式A、B,定义一种新运算：A⑧B=2A2-B+A.现研究新 函数y=2⑧(x2+1的图象与性质，过程如下： 10 8 7 5 4 3 -5-4-3-2-10 12345 ()根据新运算规则，新函数y=2⑧(x2+1可改写为：y=-: (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)写出该函数的一条性质：一 (4)①若方程2⑧x2+1=1有四个不相等的实数根，则t的取值范围是_： ②该函数的图象与直线y=x+2b有两个交点，则b的取值范围是_， 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 26.(25-26九年级上·安徽合肥月考)已知二次函数y=x2+mx+3m-1(m是常数). (1)当m=-2时，求该二次函数图象的顶点坐标. (2)若点P(m,n是该二次函数图象上的任意一点，求m-n的最大值 27.(25-26九年级上浙江衢州月考)已知二次函数y=ax2-2ax+3(a为常数，且a≠0). (①)求该二次函数图像的对称轴。 (2)若函数图像与x轴的两个交点分别为点A,B(点A在原点0的左侧)，且0B=30A. ①求a的值， ②若(t,y),(t+1,y2)两点在该二次函数图像上，且3<2≤，求t的取值范围. 28.(25-26九年级上·安微毫州月考)己知抛物线y=x2+bx+c. (1)若抛物线的对称轴为直线x=-2,求b的值. (2)若抛物线经过点M(-1,0),顶点坐标为m,n. (i)求n关于m的函数表达式； (ⅱ)当顶点纵坐标取最大值时，求b,c的值. 29.（25-26九年级上浙江温州期末)己知二次函数的解析式为y=-x2+2mx-m2+4. (1)若m=2, ①直接写出二次函数的顶点坐标 ②点M(n,y),N(n+2,y,)都在该二次函数的图象上，且y<y2,求的取值范围； (②)当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值 30.(25-26九年级上浙江杭州期中)已知二次函数y=x2-2mx+m2+m(m为常数). (1)当m=1时，求该二次函数图象的对称轴。 (2)若点A(xy,)在函数图象上，其中m-3≤x,≤m+1. ①若y的最大值是1，求m的值， ②若点Bx2y,)也在函数图象上，且x2=2-3m,对于满足m-3≤x,≤m+1的任意x,都有月<y2,求m的 取值范围. 9/9 专题01 二次函数的图象和性质的六种模型 目录 题型一：二次函数的图象和性质 1 题型二：利用二次函数的性质求解 4 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 6 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 10 题型五：画二次函数的图象 17 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 25 题型一：二次函数的图象和性质 1．（25-26九年级上·新疆·期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据抛物线顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确； ∴ 对称轴为直线，顶点为， ∴ 当时，有最大值1，故B正确； ∵ ，对称轴， ∴ 当时，随的增大而增大，故C正确； 对称轴为，不是，故D错误． ∴ 不正确的是D， 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时，取最大值 D．抛物线的对称轴为直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A正确； 对称轴为直线，故D正确； 顶点为，当时，取最大值2，故C正确； ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．y有最小值 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 通过二次函数的性质分析开口方向、最值、与y轴交点及顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向下，故A错误，不符合题意； ∵开口向下， ∴有最大值，无最小值，故B错误，不符合题意； 当时，， ∴与轴交点为，故C错误，不符合题意； ， ∴顶点坐标为，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．c的值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，不合题意； 根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，不合题意； 所以，当时，随的增大而减小，故C不正确，符合题意； 当时，，所以，c的值为，故D正确，不合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，，抛物线（）顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为 D．当四边形为平行四边形时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点运动、函数值范围、单调性、与轴交点，平行四边形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据顶点在线段上，，利用抛物线的开口方向和顶点纵坐标即可判断A选项；根据二次函数的增减性即可判断B选项；设抛物线顶点式为，令，即，进而可表示出、，根据点横坐标的最小值为，以及抛物线形状不变，即可确定点的横坐标的最大值，即可判断C选项；根据平行四边形的对边平行且相等可得，列出方程求解即可判断D选项． 【详解】解：抛物线（）顶点在线段上运动，，， 抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ，故A正确，不符合题意； 对称轴为直线，其中， 当时，始终在对称轴右侧，随增大而增大，故B正确，不符合题意； 设抛物线顶点式为，其中， 令，即，解得， 在的右侧， ，， 若最小值为，则此时对称轴为直线， ， ， ， 当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故C正确，不符合题意； 当四边形为平行四边形时，且， ， ， ，解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 题型二：利用二次函数的性质求解 6．（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．直接利用对称轴公式进行计算即可． 【详解】解：二次函数 中，, ，对称轴公式为 ， 代入得 ， 故对称轴为直线 ； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏南京·月考）若点，在函数的图像上，则 （用“＜”、“”或者“”连接）． 【答案】＜ 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 通过计算点A和点B的纵坐标表达式，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数， 将点代入，得 ； 将点代入，得 ． 因为， 所以， 故， 即． 故答案为：＜． 8．（25-26九年级上·广东·期中）已知二次函数，当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 二次函数开口向上，顶点在内，最小值在顶点处． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为，在范围内， 将代入函数得， ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键； 根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线对称，由于点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵与轴平行，点，均在抛物线上 ∴点A与点B关于直线对称 ∵点A的坐标为 ∴点的坐标为   故答案为：. 10．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 11．（25-26九年级上·四川泸州·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 12．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据图象，得，那么，，然后根据反比例函数的性质，正比例函数的性质，判断其答案即可． 【详解】解：根据二次函数图象可知，其开口向上，对称轴在轴右侧，交于轴负半轴， ∴， ∴， ∴，， ∴反比例函数图象过第一、三象限，正比例函数过第二、四象限． 故选：D． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 14．（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 15．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 题型四：二次函数图像与各项系数符号问题 16．（2025九年级上·河北保定·专题练习）二次函数图象如图，下列结论：①若，且，则；②；③；④当时，．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据拋物线对称轴方程得到，则可对②进行判断；利用时，函数有最大值对④进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对③进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对①进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，即， ∴，所以②正确； ∵时，函数值最大， ∴，即，所以④正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点与之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点与之间， ∴时，， ∴，所以③错误； 当，则， ∴和所对应的函数值相等， ∵， ∴， ∴，所以①错误； 故正确的结论有②④， 故选：B． 17．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若，在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；判断出两点与对称轴的距离的远近，根据增减性判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵，在该二次函数的图象上，， ∴， 即的中点在对称轴的右侧， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴；故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 18．（25-26九年级上·陕西西安·月考）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤点，在其图象上，若，且，则一定有．（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故①错误． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ∴， ， ， ∴，故③错误． ∵当时，取得最小值， ∴，即（为任意实数），即（为任意实数），故④正确． ∵抛物线开口向上，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时，在抛物线的对称轴的右侧，随的增大而增大， ， ， 当时， ∴关于对称轴的对称点为， ， ， ∴，故⑤正确． 综上，可得正确结论的序号是：②④⑤． 故选：C． 19．（25-26九年级上·山东泰安·期中）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的关系． 根据抛物线的图象特征，结合二次函数的性质，分别对四个说法进行判断即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴a，b同号， ∴， 根据图象可得当时，， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴， ∴，故①错误； ②当时，， 当时，， ∴， ∴，即，故②错误； ③∵， ∴， 根据图象可得当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ④根据图象可知，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即，解得，故④正确． 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 20．（25-26九年级上·全国·期末）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据抛物线的开口向下得到，结合抛物线的对称轴直线为，得到，根据抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，，得到，根据函数图象可知，在范围内，，将代入函数解析式得到该函数的最大值，再将代入函数解析式，从而得出结论即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 题型五：画二次函数的图象 21．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴是________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； (3)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为________； ②当时，的取值范围为________． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． （1）根据对称轴计算公式求解即可； （2）分别求出、0、1、2、3对应的函数值，然后描点连线即可； （3）①根据函数图象求解即可； ②根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：在 中， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 如图： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． 22．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将配方得______； (2)在坐标系中利用描点法画出此拋物线； … … … … (3)当______时，； (4)当时，函数的取值范围为，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)2 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可; （2）根据题意用描点法画出此抛物线：列表，然后描点、连线即可. （3）根据二次函数图象的性质即可解答； （4）令，得方程，解方程进行取舍即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：列表： … 0 … … 4 1 0 1 4 … 描点，连线，如图： （3）解：由图象知：抛物线开口方向向上，对称轴为直线，顶点在轴上， 所以，当时，， 故答案为：； （4）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 23．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)图象见详解 (2)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线及折叠的性质可进行作图； （2）①根据（1）中函数图象可直接进行求解； ②由题意先得出将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数解析式为，然后找到直线与相交的临界点，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 ….. y …… 0 0 ….. 所作图象如下： （2）解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． 24．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴是直线，如表中， ， ；并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： x …… 0 1 …… y …… 5 2 n 2 m …… (2)若，是此抛物线上的两点，且，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围 ． (3)怎样平移抛物线可使所得抛物线恰好过点，直接写出平移方法．（一种即可） 【答案】(1)，，图见解析 (2)或 (3)该抛物线向右平移个单位长度可使所得抛物线恰好过点（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，代入计算即可得出、的值，再画出函数图象即可； （2）结合函数图象即可得解； （3）根据二次函数的平移法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，， 当时，， （2）解：∵，是此抛物线上的两点，且， ∴由函数图象可得或； （3）解：∵， ∴设该抛物线向右平移个单位长度得到，此时过点， ∴， 解得：或， ∴该抛物线向右平移个单位长度可使所得抛物线恰好过点（答案不唯一）． 25．（25-26九年级上·河南信阳·期中）对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： (1)根据新运算规则，新函数可改写为： ； (2)在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； (3)写出该函数的一条性质： ； (4)①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)函数图象关于轴对称 (4)①；②或 【分析】本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行变形即可； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）根据（2）中的函数图象写出函数的一条性质即可； （4）①画出函数图象，由函数图象得出结论； ②画出函数图象，由函数图象得出结论 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：画函数的图象如下： （3）解：由图象知，函数图象关于轴对称； 故答案为：函数图象关于轴对称； （4）解：①如图，当时，直线与的图象有四个交点， 所以，方程有四个不相等的实数根时，t的取值范围是； 故答案为：； ②如图，当直线与相切时，直线与函数的图象有三个交点， 令， 整理得， ∴， 解得，； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以，函数的图象与直线有两个交点时，b的取值范围是或． 故答案为：或． 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 26．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知二次函数（是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)最大值为 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示n即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 所以该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：将点坐标代入二次函数解析式得，， 所以，， 所以当时，取得最大值为． 27．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图像的对称轴． (2)若函数图像与轴的两个交点分别为点（点在原点的左侧），且． ①求的值． ②若，两点在该二次函数图像上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（）根据对称轴方程解答即可； （）①令，则，设方程的两个根分别为，且，由根和系数的关系得，，又由已知得，即可得，，进而即可求解；由①得二次函数，可得当时，，，进而得到且，，解不等式即可求解； 本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴， 即二次函数图像的对称轴为直线； （2）解：①令，则，设方程的两个根分别为，且， 由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得； ②∵， ∴二次函数， 当时，， 解得，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，，两点在该二次函数图像上，且， ∴且，， ∴． 28．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知抛物线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值． (2)若抛物线经过点，顶点坐标为． （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）当顶点纵坐标取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）b、c的值分别为2、1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些知识是关键． （1）根据对称轴的表达式即可求解； （2）（ⅰ）把点M的坐标代入中，得到b、c的关系，再根据顶点坐标即可求解； （ⅱ）求出关于的函数表达式的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴； （2）解：（ⅰ）∵抛物线经过点， ∴把点M的坐标代入中，得， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴； 即关于的函数表达式为； （ⅱ）， ∴当顶点纵坐标取最大值时，函数的顶点为， ∴，， 即b、c的值分别为2、1． 29．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的对称轴． (2)若点在函数图象上，其中． ①若的最大值是1，求m的值． ②若点也在函数图象上，且，对于满足的任意，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）当时，，再根据二次函数的顶点式即可求解； （2）①，得到二次函数图象开口向上，对称轴为，再根据二次函数的性质得出当时，有最大值，据此列出方程，即可求出m的值；②当时，有最大值，当时，，再结合对于满足的任意，都有，列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：①， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵的最大值是1， ∴， 解得； ②由①得，当时，有最大值， 当时，， ∵对于满足的任意，都有， ∴， 解得或． 2 / 37 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