专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级下册

专题04 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题的三种模型 目录 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 16 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 24 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或1或2 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求顶点，则，则当取得最小值时，的周长最小，过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点由对称可得，根据两点间线段最短可得，再求出直线的解析式，令即可求解． （3）分，，三种情况讨论，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：， ∴顶点， ∴， ∴当取得最小值时，的周长最小， 过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点 由对称可得，根据两点间线段最短可得 设直线， 则代入，， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴； （3）解：对于，当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 如图： 设，， 则，， 当时，①， 解得，（舍去）， ②， 解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ， 解得或（舍去 当时，， ， 解得或（舍去， 当是等腰三角形时，的值为或或1或2． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少． 【答案】(1) (2)或或 (3)最小值为， 【分析】（1）由待定系数法及二次函数的交点式得可设，将点代入，即可求解； （2）设，由勾股定理得，分类讨论：当时，由等腰三角形的定义得，即可求解；当时，同理可求； （3）过作轴交于，设，由待定系数法得直线解析式为，可设， 由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， 且与y轴交于点， 设， 将点代入得： ， 即， 解得， ， 二次函数的解析式为． （2）解：设， ， 是以为腰的等腰三角形， 当时， ， 或， 或， 或， 当时， ， ， 解得：，， 其中与点重合， ， 点， 综上所述，或或． （3）解：过作轴交于， 设， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得， ， 点． 取关于轴的对称点， ， 连接交轴于点， 此时， ， ，即最小值为的长， ， ， 最小值为， 设所在直线的表达式为， 则， 解得， 所在直线的表达式为， 当时， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，等腰三角形的定义，勾股定理，线段和最小值问题，掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形腰的不同进行分类讨论及找到取得最小值的条件是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 5．（2025·广东梅州·一模）如图，二次函数的图象经过点，和，一次函数过点B，C．点P是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)直接写出二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接，连接交于点M，记面积为，面积为，在点P运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，得出，求出，过点作于点，则，设，则，求出，，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过点，， 所以， 再将代入，得， 解得：， 所以二次函数解析式为，即． 一次函数过点和， 代入，得，解得， 因此一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，轴， 所以的纵坐标为2， 所以， 即有， 解得：（舍去）或， 因此． （3）解：解：存在． 在和中，因为， 所以， 于是， 从而，即， 过点作于点， 于是， 可设，则， 于是， 而， 又因为，， 所以， 因此， 又 所以， 因为， 所以存在最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 6．（2025·陕西咸阳·二模）已知抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了考查了二次函数综合，勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，利用两点距离计算公式分别表示出，再分和两种情况根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：设点的坐标为． ∵， ∴， ． 在中，当时，， ∴ 化简，得，解得． 当时，点与点重合，不合题意，舍去． 当时，． 此时点的坐标为． 同理，当时，， 即， 化简，得，解得． 当时，点与点重合，不合题意，舍去． 当时，． 此时点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）将已知点和代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数和，从而得到函数表达式； （2）先确定抛物线对称轴，设出点坐标，再根据勾股定理，分两种情况建立方程，求解点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得： 解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线． 设点的坐标为，则，，． 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，， 即，解得， 此时点的坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，， 即，解得， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解与直角三角形存在性问题，掌握利用待定系数法求解析式，结合勾股定理分情况讨论直角三角形是解题的关键． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 10．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 11．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 12．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大面积 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． （3）解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 13．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 15．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 的三种模型 题型归纳 目录 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题.1 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题16 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题24 题型专练 题型一：二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.(25-26九年级上·天津宝坻月考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A1,0),B(3,0) ,交y轴于点C.点D是该抛物线的顶点. ()求这个二次函数的表达式： (②)请在y轴上找一点E,使BDE的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线x:m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值. 2.(24-25九年级上·福建莆田·期末)综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A(-2,0),B(4,0)且与y轴交于点C(0,4),点D是直线BC上 方抛物线上的点. B 备用图 1/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数的解析式： (2)点E是y轴上任意一点，若是△ACE以AC为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)当SBCD:S。ABc=1:3时，在x轴上存在一点F,连接CF、DF,求CF+DF的最小值，此时点F的坐标 是多少 3.(25-26九年级上·山东淄博·期中)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，直线1是 抛物线的对称轴. (①)求抛物线的函数解析式及其对称轴. (2)设点P是直线1上的一个动点，当PA+PC最小时，求P点坐标. (3)在抛物线上存在一点Q,使S△40=10，求点Q的坐标， (4)在直线1上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若 不存在，请说明理由， 4.(2025九年级上全国.专题练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点 A-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE. D B ! (①)求二次函数的表达式： (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值： (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存 在，请说明理由. 5.(2025·广东梅州一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(4,0)和C(0,2),一次 函数y=mx+n过点B,C.点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D,交直线BC于点E. D E M E D B A D 图1 图2 ()直接写出二次函数和一次函数的解析式： (②)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标： (3)连接AC,连接AP交BC于点M,记△ACM面积为S,△PCM面积为S,,在点P运动的过程中，判断 。是香存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由 题型二：二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 6.(2025陕西咸阳·二模)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B(4,0)两点，交y轴于点C(0,4). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上存在一点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，请求出所有满足条件的点Q的坐 标. 7.(2025九年级全国专题练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)， 与y轴交于点C(0,3). A八B 入B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (②)D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标 8.(2025九年级上·全国专题练习)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0),B两点，交y轴于点 C0,4. 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)求抛物线的函数解析式. (②)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的 坐标；若不存在，请说明理由. 9.(2025九年级上浙江·专题练习)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1,0)、B两点，与y轴交于 C(0,-3),顶点为D,点M是抛物线上任意一点. J B D (①)求抛物线解析式： (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M,使∠AMC=∠MCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的 坐标. 10.(24-25九年级上江西南昌期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B左边）， 与y轴交于点C.直线y=x-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值； (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点，连接A'C,A'F,当△FA'C是直角三角形时， 直接写出点F的坐标 题型三：二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 11.(25-26九年级上辽宁葫芦岛期中)如图，抛物线y=ax2+4ax-5a(a为常数，a≠0)与x轴交于点 A,B两点，点C为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5. (I)求a的取值范围； (②)若ABC为等腰直角三角形，求a的值. 12.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，抛物线y=-2x+bx+c与x轴交于点A和点B5,01,与y轴 交于点C(0,-3),连接BC,点E是对称轴上的一个动点.点P在抛物线上. 0 备用图 (①)求抛物线的解析式： (②)当点P在第一象限内，连接PB,PC,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面积， (3)在抛物线上是否存在点P,使。BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由 13.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔月考)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A-1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (②)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=2时，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，是否存在点Q,使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 14.(24-25九年级上·河北邯郸期中)如图：己知抛物线y=-x+2x+c与直线相交于点A和点C,A点坐 标为-1,0)，C点横坐标为2. 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式和C点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)求直线AC函数解析式： (4)若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，PQ⊥x轴交AC于点Q,若△PQC是等腰直角三角形，直接写 出P点坐标. 15.(2024广东模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C(0,3),且OB=OC.直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点，设 直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m 备用图 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标. (2)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系. 1 (3)连接PA、PD,当m为何值时S△Pm=5SAnB? 2 (4)在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. 7/7