高频考点专练之二次函数2025-2026学年湘教版九年级数学下册(七考点)

高频考点专练之二次函数2025-2026学年湘教版 九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 2．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 3．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 考点二：二次函数的图像和性质 1.关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 2．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1 3.二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4.点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 6．当时，二次函数的最大值是______，最小值是______． 7．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论： ①ac＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③当x＞2时，y随x的增大而增大； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 考点四：二次函数与一次函数 1．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 2．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 3．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 考点六：二次函数应用题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 3．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 4.某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 5．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 3.如图所示，抛物线（≠0）与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），对称轴为直线=1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是轴上的动点，点N是抛物线上的动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 高频考点专练之二次函数2025-2026学年湘教版 九年级下册(七考点) 考点一：二次函数的定义 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 【答案】D 2．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 3．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 考点二：二次函数的图像和性质 1.关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 【答案】C 2．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1 【答案】A 3.二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 5．将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变 【答案】D 6．当时，二次函数的最大值是______，最小值是______． 【答案】4 0 7．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序） 【答案】a1＞a2＞a3＞a4 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 2．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论： ①ac＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③当x＞2时，y随x的增大而增大； ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 考点四：二次函数与一次函数 1．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．． 【答案】C 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 考点五：二次函数与方程、不等式 1．抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 2．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 3．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 4．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 考点六：二次函数应用题 1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】5 3．小明准备在院子里修一个矩形花圃，花圃的一边利用墙另三边用总长为16米的篱笆恰好围成，已知墙的最大可利用长度为5米，则围成的矩形花圃的最大面积为 平方米． 【答案】27.5． 4.某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%， 答：每次降价百分率为10%； （2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则 y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴当m＝90元时，w最大为4500元． 答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 5．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 考点七：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 3.如图所示，抛物线（≠0）与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，6），对称轴为直线=1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是轴上的动点，点N是抛物线上的动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得：  ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． （2）过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F，如图所示： ∵点A 的坐标为（-2，0）， ∴OA=2， ∵点C得坐标为（0，6）， ∴OC=6， ∴S△AOC=×OA × OC=×2×6=6， ∴S△BCD=S△AOC=×6=， 当y=0时，-x2+x+6=0， 解得x1=-2，x2=4， ∴B(4，0)， 设直线BC的函数解析式为y＝kx＋n，则解得， 即直线BC的函数解析式为y＝-x＋6， 则点D的坐标为（m，-m2＋m＋6）， 点G的坐标为（m，-m＋6）， ∴DG＝-m2＋m＋6-（-m＋6）＝-m2＋3m， ∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴S△BCD＝S△CDG＋S△BDG＝DG∙CF＋DG∙BE＝DG（CF＋BE）＝DG∙BO， ＝×（m2＋3m）×4＝-m2＋6m， 则有-m2＋6m＝， 解得m1＝1，m2＝3， ∵1＜m＜4， ∴m的值为3． （3）存在， 由（2）得，m=3， 则y＝-＋＋6＝， ∴D（3，）， 分两种情况讨论： 当DB为对角线时，如图， 易知， ∴点D与点N关于直线x=1对称， ∴N( -1，   )，DN=4， ∴BM=4， 又∵B(4，0)， ∴M1(8，0) ， 当DB为边时，有以下三种情况： 情况1：如图， N(-1，)，DN=4， ∴BM=4， 又∵B(4，0)， ∴M2(0，0) ， ∵D(3，)，B(4，0)， 根据D→B与M→N的平移规律一致，易知点N的纵坐标为， 将 代入中，得 ， 解得x1=1+，x2=1-， 情况2：如图， 当x=1+时，点N的位置如图（3）所示， 分别过点D，N作x轴的垂线，垂足分别为点E，Q， ∵DM=BN，DE=NQ， ∴△DEM≌△NQB， ∴EM=BQ， ∵BQ=1+-4=-3， ∴EM=-3， 又∵E（3，0）， M3(，0 )， 情况3：如图， 当x=1-时，点N的位置如图所示，则N（1-，）， 分别过点D，N作x轴的垂线，垂足分别为点G，H， ∵DB=NM，NG=DH， ∴△MGN≌△BHD， ∴MG=BH=4-3=1， ∴点M的横坐标为1--1=-， ∴M4( - ，0 )， 综上所述，点M的坐标为（8，0），（0，0），(，0 )或( -, 0 ) ． 学科网（北京）股份有限公司 $