期末专题06 线段上的动点问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

期末专题06 线段上的动点问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 类型二、线段上动点的定值问题 类型三、线段上动点的新定义型问题 压轴专练 类型一、线段上动点的行程问题 核心技巧：化动为静，分段列方程。 1. 代数建模：以线段端点为原点，用含时间t的代数式表示动点坐标。例如，点P从A向B以速度 v运动，则P点位置可设为AP = vt（需考虑方向）。 2. 分段处理：若动点有往返、变速或相遇，按时间节点分段，确保每段运动方向与速度不变。 3. 建立方程：根据题目条件（如两点距离为某值、相遇等）列出方程，并验算解是否在该分段的时间范围内。 例1．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，数轴的原点为，是数轴上的三点，点B表示的数为1，，动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒．设运动时间为秒．    (1)分别求点表示的数； (2)分别求点表示的数（用含t的式子表示）； (3)当t为何值时，？ 【答案】(1)点A表示的数是，点C表示的数是3 (2)点P表示的数是，点Q表示的数是 (3)当t的值为或8时， 【分析】（1）根据点B对应的数、线段、的长及点A、C与点B的位置关系，可得出点A、C对应的数； （2）根据点P、Q的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P、Q对应的数； （3）根据，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数为1，，且点A在点B的左侧， ∴点A对应的数是， ∵点B表示的数为1，，且点C在点B的右侧， ∴点C对应的数是， ∴点A对应的数是，点C对应的数是3； （2）解：∵动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒， 当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是； （3）解：根据题意得，， 即或， 解得或， 答：当或时，． 【变式1-1】（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，直线上有，，三点，．直线上有两个动点，，点从点出发，以的速度沿方向运动，同时点从点出发，的速度沿方向运动，设运动时间为秒．    (1)当为多少秒时，点B是线段PQ的中点？ (2)运动过程中，当为多少秒时，点和点重合？ (3)若点运动至点右侧，则为多少秒时，线段与线段的长度相等？ 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，中点的定义，数轴上两点之间的距离， （1）由中点定义可得，列出方程可求解； （2）由题意可得，列出方程可求解； （3）根据题意列出方程可求解； 找到正确的数量关系并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点B是线段PQ的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴当为秒时，点B是线段PQ的中点； （2）当点和点重合时，则， 由题意可得：， ∴， ∴当为秒时，点和点重合； （3）当点在点右侧，且线段与线段的长度相等， ∴， ∴， ∴当为秒时，线段与线段的长度相等． 【变式1-2】（24-25七年级上·山西太原·期末）如图，直线上有A，B，，四个点，，，．    (1)线段 ______ (2)动点P，Q分别从A点，点同时出发，点P沿线段以/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点Q沿线段以/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒） ①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值； ②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离． 【答案】(1) (2)8、20 【分析】（1）先根据题意算出，再根据即可解答，掌握线段的和差倍分是解题的关键； （2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是的长列方程求解即可；②根据P，Q两点第二次相遇时，P 点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等列方程即可求解；根据线段的和差列出方程是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴． 故线段的长为． （2）解：①P，Q两点第一次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t， 根据题意可知：P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是，即，解得： 秒 故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒； ②P，Q两点第二次相遇时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为t， 由（1）得 , 根据题意可知：P，Q两点第二次相遇时，P 点所走的路程与的差以及Q所走的路程与的差相等，即：，解得： 秒, ∴, ∴． 故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是． 类型二、线段上动点的定值问题 核心技巧：设元表量，证明含参表达式的化简结果为常数。 1. 合理设元：选择关键动点的起始位置或运动时间为参数（如t或比例k），用其表示所有相关动点的位置。 2. 代数表达：将需要证明为定值的量（如距离之和、之差，或线段乘积比）用所设参数完整表达出来。 3. 化简求恒：对得到的代数式进行化简（常涉及合并同类项、约分等）。若能消去所有参数，得到具体常数，即证得为定值。 关键：化简过程需细致，常利用线段和差关系或速度比例进行整体代换。 例2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 【变式2-1】（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4； (2)当经过秒或后A，B相距2个单位长度； (3)当时，为定值，定值为44． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）求出，的值可得结论． （2）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （3）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． （2）设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度． （3）∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 类型三、线段上动点的新定义型问题 核心技巧：紧扣定义，转化为常规模型。 1. 翻译定义：准确理解新定义（如“倍点”、“闪动点”）的规则，并用数学语言（方程、不等式或轨迹）将其表述出来。 2. 建立模型：将新定义下的点所满足的条件，转化为关于动点位置（如设距离为x）或时间t 的方程/关系式。这本质上是将新问题“翻译”成已知的行程或定值问题。 3. 分类求解：根据动点的不同位置或运动阶段，结合转化后的方程进行讨论和求解，并验证结果是否符合新定义的前提条件。 关键：切勿被新颖术语迷惑，核心仍是寻找动点坐标或线段长度之间的等量关系。 例3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式3-2】（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴， 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或或， 即或或， 解得：或或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分四种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，四是，则，求得，可知t的最大值为，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或或AQ=2PQ， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为，最小值为， ∴（秒）， 故选：D． 二、填空题 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 5．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 6．（23-24七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 【答案】(1) (2)①39；②18秒、36秒和54秒 【分析】本题考查了数轴上的点与实数的关系、两点的距离等知识，熟练掌握数轴与实数的特点是解题的关键． （1）根据比例关系和中点等即可计算出答案； （2）根据点的运动规律找出对应表示的数，分情况讨论由两点的距离由题意列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 设，则 即 是的中点 （2）①点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，当运动3秒后，点分别运动了个单位长度 三点对应的数分别为，， 当两点同时向左运动3秒后，两点对应的数分别为，点向右运动运动3秒后对应的数为 点M为线段的中点，点N为线段的中点 故M对应的数为，M对应的数为 ． ②由题意可得： 当点移动秒时，此时不动，，满足题意； 点表示的数为，点表示的数为 当点在点左侧时，由题意有 解得 当点在点右侧时，由题意有 解得 综上所述：当时， 故的取值为18秒、36秒和54秒． 7．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 8．（23-24七年级上·山东青岛·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【答案】[探究二] [应用以]（1） （2） （3） [应用二]秒或秒 【分析】[探究二]根据“探究一”的计算方法求值即可； [应用一]（1）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （3）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； [应用二]分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：[探究二]， 故答案为：； [应用一] （1）点、表示的数分别为、， ∴， 故答案为：； （2）点、表示的数分别为、4， ∴， 故答案为：； （3）线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； [应用二] 数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的等分点表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的等分点与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06线段上的动点问题的三类综合题型 月录 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 类型二、线段上动点的定值问题 类型三、线段上动点的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、线段上动点的行程问题 核心技巧：化动为静，分段列方程。 1.代数建模：以线段端点为原点，用含时间t的代数式表示动点坐标。例如，点P从A向B以速度ⅴ运 动，则P点位置可设为AP=vt(需考虑方向)。 2.分段处理：若动点有往返、变速或相遇，按时间节点分段，确保每段运动方向与速度不变。 3.建立方程：根据题目条件（如两点距离为某值、相遇等）列出方程，并验算解是否在该分段的时间范 围内。 例1.(24-25七年级上·吉林松原·期末)如图，数轴的原点为O,A,B,C是数轴上的三点，点B表示的数为 1,AB=6,BC=2,动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒， 点Q的速度是1个单位长度/秒.设运动时间为(t>0)秒. A C 01 (1)分别求点A,C表示的数： (②)分别求点P,Q表示的数（用含t的式子表示）： (3)当t为何值时，OP=O2? 【变式1-1】(23-24七年级上·吉林白山期末)如图，直线1上有A,B,C三点，AB=8cm·直线1上有 两个动点P,Q,点P从点A出发，以cms的速度沿AB方向运动，同时点Q从点B出发，cms的速度 沿BC方向运动，设运动时间为t秒. 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AP BO (I)当t为多少秒时，点B是线段PQ的中点？ (2)运动过程中，当t为多少秒时，点P和点Q重合？ (3)若点P运动至点？右侧，则t为多少秒时，线段PQ与线段AQ的长度相等？ 【变式1-2】(24-25七年级上山西太原期末)如图，直线上有A,B,C,D四个点，BC=2CD, AD=8CD,CD=4cm. A B D (I)线段AB= cm (②)动点P,Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm秒的速度，向右运动，到达点C后立即 按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运 动.设运动时间为（单位：秒) ①求P,Q两点第一次相遇时，运动时间t的值； ②求P,Q两点第二次相遇时，与点A的距离. 类型二、线段上动点的定值问题 核心技巧：设元表量，证明含参表达式的化简结果为常数。 1.合理设元：选择关键动点的起始位置或运动时间为参数（如t或比例k),用其表示所有相关动点的位 置。 2.代数表达：将需要证明为定值的量（如距离之和、之差，或线段乘积比）用所设参数完整表达出来。 3.化简求恒：对得到的代数式进行化简（常涉及合并同类项、约分等）。若能消去所有参数，得到具体 常数，即证得为定值。 关键：化简过程需细致，常利用线段和差关系或速度比例进行整体代换。 例2.(24-25六年级上·上海杨浦·期末)如图，线段0A=18cm,动点P从点0出发，以每秒2cm的速度沿 着射线OA的方向运动. 0 A (I)当点P出发多少秒后，OP的长度等于AP长度的2倍？ (②)当点P的运动时间超过9秒，设点B为OP的中点，点C为AP的中点，BC的长度是否是一个定值？如果 是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【变式2-1】(23-24七年级上山东济南期末)如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB=12,且 0A=20B. 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A O B (①)点A、B对应的数分别为-，一 (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以(2)中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存 在常数m,使得4AP+30B-mOP为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由. 【变式2-2】(24-25七年级上湖北武汉·期末)如图，已知C,D是线段AB上两点；E,F两点分别是线段 AC,BD上的点，且AE=14C,BF=BD:M,N两点分别是线段AD,BC上的点，且AM=1AD, BN=LBC. n L AEC D F B A CM ND B 图1 图2 (I)如图1，已知AB=12,CD=9,若n=2,请直接写出线段EF的长度： (②)如图2，在(1)的条件下，若n=3,求线段EF和MN的长度 ③)如图3，若n=4,下列两个结论，①EF+MN是定值，②EF一MN是定值，其中只有一个是正确的， AB AB 请直接写出正确结论的序号： ,并直接写出其定值： AE CM ND FB 图3 类型三、线段上动点的新定义型问题 核心技巧：紧扣定义，转化为常规模型。 1.翻译定义：准确理解新定义（如“倍点”、“闪动点”）的规则，并用数学语言（方程、不等式或轨迹) 将其表述出来。 2.建立模型：将新定义下的点所满足的条件，转化为关于动点位置（如设距离为x)或时间t的方程/关 系式。这本质上是将新问题“翻译”成己知的行程或定值问题。 3.分类求解：根据动点的不同位置或运动阶段，结合转化后的方程进行讨论和求解，并验证结果是否符 合新定义的前提条件。 关键：切勿被新颖术语迷惑，核心仍是寻找动点坐标或线段长度之间的等量关系。 例3.(23-24七年级上浙江宁波期末)定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC或BC=2AC,则称点C是线段AB的倍距点. 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P→ MN→ B 0A c B 图1 图2 (1)线段AB的中点_该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)己知AB=9,点C是线段AB的倍距点”，直接写出AC=_ (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点 ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为t秒(>0)，求 当t为何值时，点P为AC的倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿 数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. 【变式3-1】(24-25七年级上·辽宁盘锦·期末)点C是直线AB上一动点，当CA=2CB时，我们称点C是 点A与点B的衍生点，记作C(A&B), A C B 【定义理解】 问题(1)若点C在线段AB上时，A表示-3，B表示6时，则C(A&B)表示的数是_ 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段AC,BC的中点M,N,发现线段CM、CN、AB之间存在 着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上时；② 点C在线段AB的延长线上时， 问题(2)请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN,AB之间满足的数量关系，并说 明理由； 【拓展提升】 问题(3)若点C在线段AB上，线段AB=20cm,BC=8cm,动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P 以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以3cm/s的速度沿BA向左运动，到达A点后立即返回，终 点是B.当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生 点 【变式3-2】(23-24七年级上·安徽期末)(1)【新知理解】 如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段，分别是AC,BC,AB,若其中任意一条线段是另一条线段 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的两倍，则称点C是线段AB的“妙点”.根据上述定义，线段的三等分点 这条线段的“妙点”.（填“是” 或“不是”) B -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 图1 图2 (2)【新知应用】 如图2，A,B为数轴上的两点，点A对应的数为-5，点B对应的数为7，若点C在线段AB上，且点C为 线段AB的“妙点”，当点C在数轴的负半轴上时，点C对应的数为 (3)【拓展探究】 已知A,B为数轴上的两点，点A对应的数为a,点B对应的数为b,且a,b满足a-8+(b+4)=0,动 点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，若点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度 为每秒3个单位长度，当点P,Q相遇时，运动停止.求当点P恰好为线段AQ的“妙点”时，点P在数轴上 对应的数. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上全国期末)定义：如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB,AC和BC,若 其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“美点”.如图2，已知 AB=24cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发沿AB相向运动，速度分别为2cm/s,1cm/s,当点P到 达点B时，运动停止.设点P的运动时间为s,当点P恰好是线段AQ的“美点”时，t最大值与最小值的差 为() y C B 图1 A P O B 图2 18 4. B.9 C. D.7 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 2.(24-25七年级上江苏淮安期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB运动， M为AP的中点，N为BP的中点. ①运动4s后，PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变；③2BM-BP的值不变；④当 AN=6PM时，运动时间为2.4s. 以上说法正确的是 AM P N B 三、解答题 3.(23-24七年级上·福建福州期末)如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度 沿射线AB运动，M为AP的中点.点P的运动时间为x秒. A M B B 备用图 (I)若x=5时，求BM的长； (②)当P在线段AB上运动时，2BM-PB是定值吗？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度. 4.(24-25七年级上湖北武汉月考)如图，点C是线段4B上的一点，线段AC=8,BC=3AC,点D为 线段AB的中点. A C D CD 备用图 (I)直接写出线段AB和CD的长： (②)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单 位的速度沿直线BA向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线AB向右运动，当点Q再次回到点B时， 动点P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒 ①当t为何值时，点P与点Q重合？ ②若点M,N分别为线段AP,AQ的中点，MN=5,求t的值 5.(23-24七年级上陕西咸阳·期末)【问题背景】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,D两动点分 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 别从点P,B同时出发沿射线BP向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动. 【问题探究】(1)点C,D的速度分别是lcm/s,2cm/s ①若AP=8cm,当动点C,D运动了2s时，求CD的长度； ②若经过t秒，点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求t的值： 【问题解决】(2)动点C,D的速度分别是lcm/s,3cm/s,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的 长度. A C P D B 6.(23-24七年级上·山西临汾期末)已知数轴上有A、B两个点. 0图1，若8=从是4的中点，C为线段4B上的一点，且S-,则4C=,C8- MC= (用含a的代数式表示)： A B A B C 图1 图2 B C 备用图 (2)如图2，若A、B、C三点对应的数分别为-40，-10,20. ①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，己知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单 位长度/秒，2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，求运动3秒以后线段MN的 长 ②现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到B点时，点 Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达A点时，点Q也停止移动（若设 点P的运动时间为t).当PQ两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为· 7.(24-25七年级上辽宁铁岭·期末)已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线段 AB的“五美点” 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的五美点”，则AC=: 【解决问题】 (2)如图，E在射线OM上，OE=12. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 K FE M EM (备用图) ①若点D、F均为线段OE的“五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线OM向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个 单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、 E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程， 8.(23-24七年级上·山东青岛期末)数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的 有效工具.数轴上两点A、B表示的数分别为a、b,若a<b,则A、B两点之间的距离AB=b-a,例： 在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB=15-5=10. 【定义】在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1,M2,M,,M1将AB线段n等分，则这n-1个点 都叫做线段AB的n等分点，若M,是靠近A的第1个等分点，则记为A<,1>,M2是靠近A的第2个等 分点，则记为A<n,2>,M,1是靠近A的第n-1个n等分点，则记为A<n,n-1>. 【探究一】 如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b,若a<b,则线段AB的二等分点A<2,I>表示的数为 +b-0-a+b a+- 22 【探究二】 如图2，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b,若a<b,则线段AB上靠近点A的第2个五等分点 A<5,2>表示的数为_ A A<2,1> B 2 图1 A A<5,2> B a b 图2 【应用一】 如图3，(1)在数轴上两点A、B表示的数分别为-10、-2，则线段AB的距离为_； (2)数轴上两点C、D表示的数分别为-6、4，则线段CD的距离为-； (3)若线段AB上靠近A的四等分点A<4,3>与线段CD上靠近C的十等分点C<10,x>重合，请求出x的 值. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【应用二】 如图4，在数轴上两点A、B表示的数分别为-10和-2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同 时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A <8,3>与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为_ A CA<4,3>B D -10 -6 -2 图3 A<8,3> OB -10 -2 图4 9/9