期末专题05 几何图形的初步的九类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05几何图形的初步的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、正方体的展开图 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 类型四、画直线、射线、线段 类型五、与线段中点有关的计算问题 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 类型七、与角平分线有关的计算问题 类型八、一副三角板中的有关计算问题 类型九、线段、角有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、正方体的展开图 核心技巧：牢记类型，巧用“目字法” 1.记大类：共11种，分“141”、“231”、“222”、“33”四类基础型。 2.避“田七”：同一行（列）出现四个面相连成“田”字形，或出现“凹”、“凸”结构的“七”字形， 则无法拼成正方体。 3.快判断：找相对面。若展开图中，两个面中间只隔一个面（呈“目”字形），则它们是相对面，不会 相邻。 【例1】(24-25七年级上山东枣庄期末)如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国 必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“必”字的面相对的那个面上的字是() 祖 必 须 统 国 A.祖 B.国 C.统 D.一 【变式1】(24-25七年级上四川绵阳期末)下列每个平面图形均由6个大小相同的小正方形组成，其中不 1/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 能折叠成正方体的是() 【变式2】(24-25七年级上·河北沧州期末)下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是() 3 A23□ 中▣ a 2 1 3 【变式3】(24-25七年级上新疆巴音郭楞期末)已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相 对面上的数互为相反数，数字“-13”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为-3，则 a-3b-26c的值为() 9 a-】 -13 a+b 5 A.-3 B.-15 C.-11 D.1 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 核心技巧：还原立体，对应关系 1.识模型，巧还原：根据展开图特征（如6个矩形为长方体，扇形与圆为圆锥），通过折痕想象立体形 状。 2. 抓关键，找数据：将展开图中的边、弧长、半径与立体图形的棱长、高、底面周长等关键量一一对应， 2/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 标出已知数。 3.用公式，准确算：结合几何体的表面积（所有面之和）、体积公式（如长方体V=abc,圆锥V=1/3r2h) 代入数据计算。注意圆锥侧面积是扇形面积。 【例2】(25-26七年级上湖南期末)某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方 体盒子的长比宽多4cm,这种药品包装盒的体积一 14cm← 高 宽 13cm 长 【变式1】(24-25七年级上：山西大同·期末)如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）.若该 长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为cm3. 2cm 10cm 【变式2】(24-25七年级上河南郑州期末)在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为 主题展开活动.如图1所示为宽20cm,长30cm的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2 所示的高为5cm的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）.则此无盖长方体盒子的体积为 _cm3. 30 20 图1 图2 【变式3】(24-25七年级上·山西临汾·期末)在课题学习中，老师要求用长为12cm,宽为8cm的长方形纸 片制作一个无盖的长方体纸盒.某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无 盖的长方体纸盒.若盒子底面的四边形ABCD是长方形，且AB=2AD,则这位同学所折成的无盖长方体纸 盒的容积是」 cm3. 12 B D 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、画出从不同方向看儿何体的平面图形 核心技巧：分层投影，锁定轮廓 1.辨方向，分层次：明确主视、左视、俯视的观察方向，在草图上将几何体沿该方向分层。 2.画外框，定轮廓：对每一层，只画能直接看到的面，被遮挡的线用虚线。主、俯视图长对正，主、左 视图高平齐，俯、左视图宽相等。 3.验虚实，合整体：检查相邻层间是否有遮挡关系，确保可见线为实线，不可见轮廓为虚线，最终三视 图应满足“长对正、高平齐、宽相等”。 【例3】(24-25七年级上广东深圳期末)如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立 方块的棱长均为lcm. 从左面看 从上面看 从正面看 (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (②)这个几何体的表面积（包括底面）是 cm2 【变式1】(24-25七年级上四川成都期末)用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体. 从正面看 从左面看从上面看 ()请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (②)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添 加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来 【变式2】(23-24七年级上江苏徐州期末)如图是用10个棱长是1cm,大小相同的小正方体搭成的几何体. 从正面看 从左面看 从上面看 (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）. (2)这个几何体的表面积是 cm2（包含底部)： 4/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加 个小正方体； (④)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体， 【变式3】(24-25七年级上辽宁丹东期末)由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1. 正前方 从正面看 从左面看 从上面看 图1 图2 (①)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图.（一个网格为小立方体 的一个面) (②)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的 形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要 个小立方体， 类型四、画直线、射线、线段 画图解题三步法： 1. 审清题意，区分类型：直线无端点，射线一端无限延伸，线段有明确两端点； 2.规范作图，标注符号：用直尺画线，清晰标注端点字母（如点A、B),直线与射线在无限延伸端画箭 头； 3.结合条件分析：利用“两点确定一条直线”等公理，注意交点、延长线等关键细节。 【例4】(25-26七年级上·江苏无锡期末)如图，己知平面内四个点A,B,C,D分别表示四个村庄，根 据下列要求画图，并回答问题.（不要求写作法，但保留作图痕迹） A ●D B· ℃ (I)连接CD,作直线AB: (②)作射线BC,并用无刻度的直尺和圆规在射线BC上找点F,使得CF=CD(请作出所有符合要求的点F): (3)若要在线段BD上建一所供电站O,向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站 O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 【变式1】(24-25七年级上·甘肃平凉·期末)如图，在同一平面内，己知A,B,C,D四点，请按下列要求 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 画图： A B D C· (I)画直线AB; (2)画射线DB: (3)连接AC与射线DB交于点E. 【变式2】(24-25七年级上福建福州期末)如图，在同一平面内有三个点A,B,C. A。 B· ●C (I)画射线BA,画线段BC; (②)连接AC,并在线段AC上作线段AD,使AD=AB;(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). (3)连接BD,根据得到的图形，判断BD+CDBC(填“><“=”)， 【变式3】(24-25七年级上广东广州期末)如图，平面上有四个点A,B,C,D A· D B· C (1)请用直尺和圆规完成下列作图.（不写画法，保留画图痕迹） ①直线AB,CD相交于点E; ②在线段BC的延长线上取一点F,使CF=DC· (2)若M、N分别为线段BC、CF的中点，且BM=3,CN=2,求BF的长. 类型五、与线段中点有关的计算问题 核心技巧：数形结合，方程思想 1. 标注已知，绘图定位：画出线段并明确标注已知点、中点及长度关系。 2.设元表示，建立方程：常设未知线段长为x,用含x的代数式表示所有相关线段长，特别是以中点为 界的各段。 6/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.依据等量，列式求解：利用中点定义(AM=MB=AB),或整体与部分的和差关系（如AC+CB=AB)列出方 程求解。 【例5】(24-25七年级上·云南红河期末)如图，A,B,C,D是直线1上的四个点，点M,N分别是线段 AB,CD的中点. IA M B CND (1)如果BM=6cm,CN=5cm,BC=13cm,求AD的长为多少cm? (2)如果MN=19cm,BC=10cm,求AD的长为多少cm? 【变式1】(2425七年级上·湖南长沙期末)如图，点C为线段AB上一点，点D为线段CB的中点，且 4B 48cm AC=12cm A E C D B (1)求线段BD的长度； (②)若点E在线段AB上，且AE:BE=1:2,求线段ED的长度 【变式2】(24-25七年级上河北唐山期末)如图，己知A,B为数轴上的两个点，点A表示的数是-30， 点B表示的数是10， A 及 -30 0 0 (①)线段AB的中点C对应的数为： (2)若点D在数轴上表示的数为正数，且AD=3BD. ①求点D表示的数； ②在(1)的条件下，直接写出CD的长. 【变式3】(24-25六年级下山东烟台期末)己知点C在线段AB上，M,N分别是线段AC和BC上的点. M CNB AMCNB 图1 图2 (1)如图1，M,N分别是AC,BC的中点.若AC=9cm,BC=6cm,则线段MW的长为 cm: ②如图2，若NMc-4C,NC-写BC,A8=15cn,求线段MN的长： 3 (③)若MC=1AC,NC=1BC,AB=m(m>0,n>1,n为正整数)，请用含mn的代数式，直接写出线段 MN的长. 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 核心技巧：紧扣定义，代数建模 1.依定义列式：设未知角为x,则它的余角为90°-x,补角为(180°-x。 2.找等量列方程：仔细审题，将题目描述的关系（如“一个角比它的补角大20°”）转化为等式，例如： x-(180°-x)=20。 3.求解并检验：解方程求出x,再计算出所求的余角或补角。最后检查是否满足题意（如角度是否在0 -180°范围内)。 【例6】(24-25七年级上·陕西渭南期末)若一个角的余角比这个角的3倍多10°，求这个角的度数， 【变式1】(25-26七年级上·全国期末)已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B的度数的3倍还多30°， 求∠B的度数 【变式2】(24-25七年级上·吉林期末)一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角， 则这个角的为多少度？ 【变式3】(24-25七年级上全国·期末)设∠a、∠B度数分别为2n-1)°和(68-n°，且∠α、∠B都是4y 的补角，解答下列问题： (1)试求n的值： (2)La与∠B能否互余，为什么？ 类型七、与角平分线有关的计算问题 核心技巧：借助定义，分析位置 1.明确定义画图形：依题画图，明确角平分线将大角分为两个小角相等（∠AOC=∠COB=%∠AOB)。 2. 设元表示各角：常设小角为x,用含x的式子表示相关角的大小。 3.寻找等量建方程：利用已知角度关系（如某几个角的和、差、倍数关系）列出关于x的方程求解，或 用整体法直接计算。 【例7】(24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末)如图，点A、0、E在同一直线上，∠A0B=50°， ∠EOD=2842,0D平分∠C0E. B D A E (I)∠AOB的余角是多少度？ (2)求∠C0B的度数， 【变式1】(25-26七年级上，浙江杭州·期末)如图，∠B0C=70°，∠A0C=50°，0D平分∠B0C,OE平 8/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分∠A0C. D (I)求出∠AOB及其补角的度数： (2)求出LD0C和LC0E的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补； (3)若∠B0C=Q,∠AOC=阝，则∠D0E与∠A0B是否互补？请说明理由. 【变式2】(24-25七年级上浙江宁波期末)如图，O是直线AC上一点，0G在∠B0C的内部，0F是 ∠AOB的平分线 (1)若∠B0C=120°，求∠B0F的度数， (2)若∠B0G与LAOF互余，请说明0G是∠B0C的平分线 【变式3】(24-25七年级上浙江杭州期末)如图，已知线段OA,OB,OC,OD,OE在同一平面内，且 ∠A0E=110°，∠A0B=20°. (I)若OB平分∠AOC,求∠C0E的度数： (2)在(1)条件下，若0D也平分∠B0E,求∠C0D的度数： (3)若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，OA与OB第一次垂直. 类型八、一副三角板中的有关计算问题 核心技巧：熟知角度，组合分析 1. 记角度：明确一副三角板各角度数：等腰直角三角板(45°，45°，90°)；另一块(30°，60°，90°)。 2.画图拼合：按题意画出三角板拼接图，标出所有已知角和拼合形成的角。 3.加减计算：所求角通常是几个已知角的和或差，如15°=45°-30°，105°=60°+45°。注意射线位 9/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 置，防止误算。 【例8】(2425七年级上·浙江台州期末)一副三角尺按如图方式叠放，∠DFE=90°，∠BAC=60°，点A, F重合.为探索∠CAE与∠BAD的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE=30°，求得 ∠BAD=60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD=2LCAE;乙：∠CAE+∠BAD=90°；丙： ∠BAD-∠CAE=30° (1)为验证猜想，他们再次假设∠CAE=25°，并求出∠BAD的度数.请写出求解过程； (2)①根据题(1)的结果，猜想一定错误的两位同学是 ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由， 【变式1】(24-25七年级上广东广州期末)如图，将一副三角尺叠放在一起.三角尺ABC的三个角度数分 别是45°，45°，90°，三角尺ADE的三个角度数分别是30°，60°，90°. 1)若∠CAE=50°，求∠BAE的度数； (2)若∠CAE=2∠BAD,求∠BAD的度数， 【变式2】(24-25七年级上河南驻马店·期末)如图1所示，将一副三角尺的直角顶点叠放在一起 E E D 图1 图2 (1)若∠DCE=38°，求∠ACB的度数. (2)猜想∠DCE与∠ACB的数量关系，并说明理由 (3)如图2所示，若将一副三角尺的45°角和60°角的顶点叠放在一起，则∠DEC与∠AEB之间的数量关系 10/19 期末专题05 几何图形的初步的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、正方体的展开图 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 类型四、画直线、射线、线段 类型五、与线段中点有关的计算问题 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 类型七、与角平分线有关的计算问题 类型八、一副三角板中的有关计算问题 类型九、线段、角有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、正方体的展开图 核心技巧：牢记类型，巧用“目字法” 1. 记大类：共11种，分“141”、“231”、“222”、“33”四类基础型。 2. 避“田七”：同一行（列）出现四个面相连成“田”字形，或出现“凹”、“凸”结构的“七”字形，则无法拼成正方体。 3. 快判断：找相对面。若展开图中，两个面中间只隔一个面（呈“目”字形），则它们是相对面，不会相邻。 【例1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图正方体展开图的六个面写着习近平总书记的六字金句“祖国必须统一”，把展开图折叠成正方体后，有“必”字的面相对的那个面上的字是（   ） A．祖 B．国 C．统 D．一 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形即可得解． 【详解】解：依题意，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴有“必”字的面相对的那个面上的字是统， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·四川绵阳·期末）下列每个平面图形均由6个大小相同的小正方形组成，其中不能折叠成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体的展开图，根据正方体的11种展开图，以及展开图中不能出现“田”，“凹”和“7”型进行判断即可． 【详解】解：A、能折叠成正方体，不符合题意； B、能折叠成正方体，不符合题意； C、能折叠成正方体，不符合题意； D、不能折叠成正方体，符合题意； 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·河北沧州·期末）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含1，2和3的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断A、C、D错误． 【详解】解：由题意得，含1，2和3的三个面是两两相邻的三个面， ∴四个图形中只有B选项中的图形符合题意， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体展开图的相对面，相反数，代数式求值，正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定9的相对面是，的相对面是，5的相对面是，再根据题意求出��，��，��的值，然后求解即可，解题的关键在于能够熟练掌握正方体展开图． 【详解】解：由图可得9的相对面是，的相对面是，5的相对面是， ∵数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为， ∴，，， 解得，，， ∴， 故选：D． 类型二、由展开图计算几何体的面积或体积 核心技巧：还原立体，对应关系 1. 识模型，巧还原：根据展开图特征（如6个矩形为长方体，扇形与圆为圆锥），通过折痕想象立体形状。 2. 抓关键，找数据：将展开图中的边、弧长、半径与立体图形的棱长、高、底面周长等关键量一一对应，标出已知数。 3. 用公式，准确算：结合几何体的表面积（所有面之和）、体积公式（如长方体V=abc，圆锥V=1/3πr²h）代入数据计算。注意圆锥侧面积是扇形面积。 【例2】（25-26七年级上·湖南·期末）某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积 ． 【答案】90 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用；设长方体宽为x，则长为，高为，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设长方体宽为x，则长为，高为， 由题意得， 解得， 则，， ∴药品包装盒的体积为()． 故答案为： 【变式1】（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为 ． 【答案】50 【分析】根据展开图，得长方体的高是，底面是正方形，其边长是，根据体积公式解答即可．本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，长方体的高是， ∵底面是正方形， ∴其边长是， ∴长方体的体积是， 故答案为：50． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在课题学习中，老师要求用长为12cm，宽为8cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且，则这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和立体图形展开图，设，再根据展开图列出方程求出长方体的棱长即可． 【详解】解：设，根据题意列方程得， ， 解得，， 则，长方体的高为， 这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是， 故答案为：48． 类型三、画出从不同方向看几何体的平面图形 核心技巧：分层投影，锁定轮廓 1. 辨方向，分层次：明确主视、左视、俯视的观察方向，在草图上将几何体沿该方向分层。 2. 画外框，定轮廓：对每一层，只画能直接看到的面，被遮挡的线用虚线。主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。 3. 验虚实，合整体：检查相邻层间是否有遮挡关系，确保可见线为实线，不可见轮廓为虚线，最终三视图应满足“长对正、高平齐、宽相等”。 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为． (1)请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积（包括底面）是_______． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）这个几何体的表面积， 故答案为：26． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期末）用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)请画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加多少个小立方块？请在从上面看到的形状图里标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）先确定几何体从正面、左面和上面看到的形状图，再画出图形即可； （2）结合堆砌图形的形状与从上面与左边看到的图形，再确定能够添加的位置和数量即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，该几何体从正面、左面和上面看到的形状图 （2）在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得从左面和上面看到的形状图不变，则要在几何体的第二排，从上面看的图形所示的2个位置放正方块，最多放4个，如图所示： 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是______（包含底部）； (3)如果要保证从上面看的图和从左面看的图不变，最多可以增加______个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查从不同方向看立体图形，掌握立体图形的特点，表面积的计算方法是解题的关键． （1）根据立体图形的特点画图示即可； （2）根据立体图形表面积的计算方法计算即可； （3）由图示特点进行分析即可； （4）由图示特点进行分析即可． 【详解】（1）解：几何体的三视图如下， （2）解：从下往上，第一层的表面积为：， 第二层的表面积为：， 第三层的表面积为：， ∴几何体的表面积为：； （3）解：根据（1）中的图示，保证从上面看的图和从左面看的图不变，可以在如图所示的位置各增加一个， ∴最多可以增加4个小正方形， 故答案为：4； （4）根据（1）中的图示，要保证三个视图都不变，最多可以在（3）中1的位置增加1个小正方形， 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面） (2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】此题考查了从不同方向看几何体等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可； （2）由题意知，第一列最多需要2个小立方体，第二列最多需要3个小立方体，第三列最多需要4个小立方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下： （2）解：若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要（个）小立方体． 故答案为：9． 类型四、画直线、射线、线段 画图解题三步法： 1. 审清题意，区分类型：直线无端点，射线一端无限延伸，线段有明确两端点； 2. 规范作图，标注符号：用直尺画线，清晰标注端点字母（如点A、B），直线与射线在无限延伸端画箭头； 3. 结合条件分析：利用“两点确定一条直线”等公理，注意交点、延长线等关键细节。 【例4】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知平面内四个点，，，分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹） (1)连接，作直线； (2)作射线，并用无刻度的直尺和圆规在射线上找点，使得（请作出所有符合要求的点）； (3)若要在线段上建一所供电站，向四个村庄供电，且满足到村庄与村庄所用电线最短，则供电站应建在何处，请画出供电站点的位置，并说明这样建的理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查画直线，射线和线段，尺规作图—作线段，线段的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据线段和直线的定义，画图即可； （2）根据射线的定义，画出射线，以为圆心，的长为半径画弧，找到点即可； （3）根据两点之间线段最短，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求，点即为所求； （3）如图，点即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短； 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，在同一平面内有三个点，，． (1)画射线，画线段； (2)连接，并在线段上作线段，使；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)连接，根据得到的图形，判断______（填“”“ ”“”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查基本作图—作一条线段等于已知线段，两点之间线段最短，正确掌握相关定义及基本作图是解题的关键． （1）直接利用直线、线段、射线的定义画出图形即可； （2）根据题意先连接，再以点A为圆心，以为半径画弧交于点D即可； （3）根据“两点之间线段最短”可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线，线段为所求． （2）解：如图，线段，线段为所求． （3）解：如图，线段为所求．． 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D． (1)请用直尺和圆规完成下列作图．（不写画法，保留画图痕迹） ①直线，相交于点E； ②在线段的延长线上取一点F，使． (2)若M、N分别为线段、的中点，且，求的长． 【答案】(1)①图见解析②图见解析 (2) 【分析】本题考查画直线，线段，尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算： （1）①根据要求作图即可；②根据尺规作一条线段等于已知线段的方法，作图即可； （2）根据线段的中点平分线段，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）①如图所示，点E即为所求点； ②如图所示，F点即为所求点； （2）∵M、N分别为线段、的中点， ∴，， ∴． 类型五、与线段中点有关的计算问题 核心技巧：数形结合，方程思想 1. 标注已知，绘图定位：画出线段并明确标注已知点、中点及长度关系。 2. 设元表示，建立方程：常设未知线段长为x，用含x的代数式表示所有相关线段长，特别是以中点为界的各段。 3. 依据等量，列式求解：利用中点定义（AM=MB=½AB），或整体与部分的和差关系（如AC+CB=AB）列出方程求解。 【例5】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，点M，N分别是线段，的中点． (1)如果，，，求的长为多少? (2)如果，，求的长为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，再根据即可求出答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质即可得出，再即可求出答案. 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点，，， ∴，， 又∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 【变式1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点E在线段上，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． （1）根据已知：，用即可求出的长，然后再根据点D为线段的中点，由线段的中点定义，可得，即可求出答案； （2）根据已知：，可设，则，再根据，得出，求出x的值，即可得出的长，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又点D为线段的中点， ； （2）， 可设，则， ， ， 解得：， ， ． 【变式2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，已知，为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是． (1)线段的中点对应的数为______； (2)若点在数轴上表示的数为正数，且． ①求点表示的数； ②在（1）的条件下，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，线段中点的性质以及线段的和差计算； （1）根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可； （2）分两种情况进行解答，即点在点的左侧或右侧，列式计算即可； （3）根据表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：，点表示的数是，点表示的数是． ∴线段的中点对应的数为 故答案为：． （2）当点在点的左侧时，， 解得：；则点表示的数为，舍去 当点在点的右侧时，， 解得：；则点表示的数为 ②∵对应的数为，表示的数为， ∴ 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 类型六、利用一元一次方程求余角、补角问题 核心技巧：紧扣定义，代数建模 1. 依定义列式：设未知角为x，则它的余角为(90°-x)，补角为(180°-x)。 2. 找等量列方程：仔细审题，将题目描述的关系（如“一个角比它的补角大20°”）转化为等式，例如：x - (180° - x) = 20。 3. 求解并检验：解方程求出x，再计算出所求的余角或补角。最后检查是否满足题意（如角度是否在0°~180°范围内）。 【例6】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若一个角的余角比这个角的3倍多，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角的定义，设这个角为，则这个角的余角为，根据一个角的余角比这个角的3倍多列方程解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为， ， 解得：， 答：这个角的度数是． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 【答案】 【分析】设这个角为，根据锐角的三分之一与余角和补角的和等于平角建立方程，解答即可． 本题考查了余角，补角，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，根据题意，得， 解得． 故这个角是． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的性质，余角的定义是解题的关键． （）根据补角的性质，可得，根据解方程，可得答案； （）根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得； （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余． 类型七、与角平分线有关的计算问题 核心技巧：借助定义，分析位置 1. 明确定义画图形：依题画图，明确角平分线将大角分为两个小角相等（∠AOC=∠COB=½∠AOB）。 2. 设元表示各角：常设小角为x，用含x的式子表示相关角的大小。 3. 寻找等量建方程：利用已知角度关系（如某几个角的和、差、倍数关系）列出关于x的方程求解，或用整体法直接计算。 【例7】（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，点、、在同一直线上，，，平分． (1)的余角是多少度？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了余角的定义、角的和与差、角平分线的定义． (1)根据余角的定义和，求出的余角； (2)根据，平分，可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 的余角为； （2）解：，平分， ， 点、、在同一直线上， . 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）由题意得到的度数，结合角平分线定义，得到结果； （2）由已知条件，得到，利用等角的余角相等，得到，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 类型八、一副三角板中的有关计算问题 核心技巧：熟知角度，组合分析 1. 记角度：明确一副三角板各角度数：等腰直角三角板（45°,45°,90°）；另一块（30°,60°,90°）。 2. 画图拼合：按题意画出三角板拼接图，标出所有已知角和拼合形成的角。 3. 加减计算：所求角通常是几个已知角的和或差，如15°=45°-30°，105°=60°+45°。注意射线位置，防止误算。 【例8】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误；②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【详解】（1）解：，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺的三个角度数分别是，三角尺的三个角度数分别是． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】本题考查几何图形中角的计算，一元一次方程的应用． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，则，根据建立关于的方程，解方程求出的值后即可得到的度数． 【详解】（1）解：依题意得：， 则； （2）解： 设的度数为，则， ， ， 解得：， 的度数为． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图1所示，将一副三角尺的直角顶点叠放在一起． (1)若，求的度数． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图2所示，若将一副三角尺的角和角的顶点叠放在一起，则与之间的数量关系是_____． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角板中的角度计算，角的和差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出的度数； （2）根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （3）根据图形利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵； （2）解：猜想，，理由： ∵，， ∴，． ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）一副直角三角板（其中一个三角板的内角是，另一个是） (1)如图①放置， _____； (2)在（1）的基础上，再拿一个的直角三角板，如图②放置，将边和边重合，是的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请 说明理由． (3)根据（1）（2）的计算，请解决下列问题： 如图③，将一个直角三角板的一直角边与边重合，锐角顶A与的顶点重合， 是的角平分线吗？如 果是，请加以说明，如果不是，请说明理由 【答案】(1) (2)是的角平分线，理由见解析 (3) 是的角平分线，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的知识，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意、结合图形计算即可； （2）证明，根据角平分线的定义解答； （3）根据题意得到，根据，得到，根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴． 又由（1）知，， ∴，即是的角平分线； （3）解：是的角平分线， 理由如下：如图③，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线． 类型九、线段、角有关的新定义型问题 核心技巧：紧扣新规，类比转化 1. 读定义，找模型：仔细阅读新定义（如“双中点线段”、“倍角”），提取其核心规则与操作步骤。 2. 化新为熟，画示意图：将新定义中的元素（新点、新角）用图形表示出来，关联到熟悉的线段、中点、角平分线等基本模型。 3. 套规则，列式算：严格按照新定义的运算法则或关系，建立方程或进行推理计算，得出结论。 【例9】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）探究新知： 已知点C在线段上，若三条线段中，有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“倍分点” （1）一条线段的中点 这条线段的“倍分点”（填“是”或“不是”）； （2）已知线段，点P是线段的的“倍分点”，则 （用含a的代数式表示出所有可能的结果）． 深入研究： 如图，一条直线上有线段，长为，点P从点M出发以每秒的速度向右出发，运动时间为t秒． （3）当t为何值时，点N为线段的“倍分点”； （4）如果同时点Q从点N出发，以每秒的速度向右运动，当P为的“倍分点”时，直接写出t的值． 【答案】（1）是 （2）或或 （3）t值为9或12或18 （4）t的值为或4或6 【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的应用，线段的和差计算，关键是根据新定义正确分情况讨论列出方程解答． （1）由中点可知，这条线段等于中点分出的线段的2倍，进而得出结论； （2）根据“倍分点”的定义，分三种不同情况当时，当时，当时，可表示的长； （3）分三种情况列出方程解答便可：； （4）分情况讨论：，分别列出方程解答． 【详解】解：（1）由线段的中点定义，可得线段的中点是“倍分点”； 故答案为：是； （2）当时， ∵， ∴ ∴； 当时， ∵， ∴ ∴； 当时， ∴； 故答案为：或或； （3）①当时， ， 解得：， ②当时，， 解得：， ③当时，， 解得：． 综合以上可得t值为9或12或18． （4）由题意得：，， ∴， 当时，， 解得：； 当时， ∴， 解得； 当时， ， 解得， 当P为的“倍分点”时，t的值为或4或6． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求； (2)将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分， ①判断和的数量关系，并说明理由； ②图中的差余角有哪些？请说明理由； (3)将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，据此建立方程求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进一步由平角的定义得到，据此可得结论；②由（2）①的结论得到，根据，得到，据此可得结论； （3）分在左侧，在右侧，在下方三种情况，根据差余角的定义得到，再根据角之间的关系导角求解即可． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴； ②的差余角有，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的差余角有； （3）解：如图3-1所示，当在左侧时， ∵是的差余角， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3-2所示，当在右侧时， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当在下方时， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段内和点在线段内两种情况进行讨论求解． 【详解】解：点为线段的中点，且， ， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，， ； 当点在线段内， ， ． 故选D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值和正方体相对两面上的字．熟练掌握代数式求值和正方体相对两面上的字是解题的关键． 先根据正方体的展开图的相对面一定隔着一个小正方形，确定相对面，进而根据相反数的定义，求出的值，进而求出单项式的值即可． 【详解】解：由图可知，与4是相对面，和1是相对面， ∴，， ∴， 故选A． 4．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·天津·期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角为 度． 【答案】55 【分析】本题考查了余角和补角的概念以及运用．利用“一个角的补角比这个角的余角的3倍少”作为相等关系列方程求解即可． 【详解】解：设该角度数为x， 则， 解得， 故这个角的余角是． 故答案为：55． 8．（24-25七年级上·广东·期末）现在时间是，钟面上时针与分针夹角的度数是 度． 【答案】130 【分析】本题考查钟面角，根据钟表上一大格是，时针1分钟转进行计算，即可解答． 【详解】解：在钟面上，“4”与“8”之间度数为， 时，分针在“4”上，时针从“8”转过了， ∴时针与分针夹角的度数为． 故答案为：130． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角的计算，平角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点B是线段上一点，点D是线段延长线上一点，点B是线段的中点．若，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，求出是解题的关键．先由B是的中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． 11．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角 (1)图中与互余的角是______； (2)是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分．见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是利用角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义求的度数，即可得到其余角； （2）根据已知条件进行角的计算即可得平分． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是直角， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：； （2）平分，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴平分． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示是一个几何体，画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给的几何体，分别画出对应的从正面、左面、上面看到的几何体的形状图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 15．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，平面上有，，，四个点，请根据下列语句作图： (1)画直线与射线相交于点； (2)画线段与线段交于点； (3)图中_____点到，，，四点的距离之和最小，理由是_____ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)Q，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据两点之间线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线与射线相交于点P，点P即为所求； （2）解：线段与线段交于点Q，点Q即为所求； （3）解：图中Q点到，，，四点的距离之和最小，理由是：两点之间线段最短． 故答案为：Q，两点之间线段最短． 16．（24-25六年级下·山东泰安·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、一元一次方程的应用，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． （1）由图可得，结合，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数； （2）由图可知，，得出，再由，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：由图可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 17．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出了两种不同的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．请你动手操作并完成任务（纸板厚度及接缝处忽略不计）．    动手操作1：根据图1所示的方式制作一个无盖的长方体纸盒． 方法1：先在纸板的四角剪去四个边长都为的正方形，再沿虚线折起来． 动手操作2：根据图2所示的方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法2：先在纸板四角剪去两个边长都是的正方形和两个宽为的同样大小的小长方形，再沿虚线折起来． (1)无盖长方体纸盒底面的边长是 ，有盖长方体纸盒的底面积是 （用含，的代数式表示） (2)已知，． ①求该无盖长方体纸盒的底面积； ②求该有盖长方体的体积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了认识立体图形，列代数式及已知字母的值求代数式的值，掌握立体图形的特征是正确计算的前提，用代数式是解题关键． （1）根据图1，得底面的边长为；根据图2，得长方体底面的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可； （2）①把，代入代数式结合正方形的面积公式求值即可； ②把，代入代数式结合长方体的体积公式求值即可． 【详解】（1）解：无盖长方体纸盒底面的边长是， 有盖长方体纸盒底面的长为，宽为， 故有盖长方体纸盒的底面积是． （2）解：①当，时， 该长方体纸盒的底面边长为， 所以该长方体纸盒的底面积为． ②当，时， 该长方体纸盒的底面积为， 所以该长方体纸盒的体积为． 18．（24-25七年级上·福建福州·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 (1)直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； (3)在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】(1)， (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据“，”再结合点、点在数轴上的位置，即可求出点、点表示的数； （2）根据点、点运动方式表示出点、点坐标，再根据中点坐标公式表示出点坐标，最后根据两点之间距离公式表示出线段的长度，还可根据“当两点相遇时停止运动”求出时间的范围； （3）先根据点位置求出点坐标，再根据两点之间距离公式表示出长度，在讨论长度时需要分类讨论点与点的位置关系，最后把三条线段长度代入即可列出方程，解出． 【详解】（1）解：， 点在点的右侧，且 故答案为：， （2）点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动， 点坐标为： 点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， 点坐标为： 点为线段的中点， 点坐标为： 当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动 线段的长度 （3）点在线段上，且， ，，点坐标为： 由（2）可知，点坐标为：，且在点左边， 当点在点右边时，即， 解得 当点不在点右边时，即， 解得 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点之间距离公式和两点之间中点坐标公式．解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，在表示两点之间距离时需要对两个点的位置关系进行分类讨论． 19．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 20．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________； 【探索归纳】 （2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是理清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解． （1）先根据角的和差关系计算出，再由角平分线的定义求出的度数，再根据求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）分①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，②当为，夹角的角平分线，即平分时，，③当为，夹角的角平分线，即平分时，，④当为，夹角的角平分线，即平分时，，四种情况根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图： 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， ∴总运动时间为秒， ∴，， 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得； 当重合时，则，解得， ①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图： ∴， ； 解得（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴ 解得，符合题意； ③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； ④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图： ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $