专题05 几何图形的初步（3大知识点+9大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05几何图形初步 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01几何图形 知识点02直线、射线、线段 知识点 知识点03角 【考点1正方体的展开图】 几何图形初步 【考点2由展开图计算几何体的面积或体积】 【考点3画出从不同方向看几何体的平面图形】 【考点4画直线、射线、线段】 【考点5与线段中点有关的计算问题】 考点 【考点6利用一元一次方程求余角、补角问题】 【考点7与角平分线有关的计算问题】 【考点8一副三角板中的有关计算问题】 【考点9线段、角有关的新定义型问题】 PD 重点速记 ®知识点01几何图形 1.立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都 在同一平面内，如三角形、圆等。 2.从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图。 3.点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面， 面动成体。 知识点02直线、射线、线段 1.有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2.线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC=BC=专AB。 3.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4.两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 图知识点03角 1.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形 成的图形。 2.角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1'=60”。 3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB 是∠AOC的角平分线，则∠AOB=∠BOC=专∠AOC。 4.余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这 两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5.方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东 或偏西。 核心考点举一反三 【考点1正方体的展开图】 【例1】(24-25七年级上·河南郑州期末)如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体() 【变式1】(24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末)正方体的表面展开图如图所示，上面字母 “a,b,c,d,e,f”分别对应写有“我爱大美突泉”六个字，则爱”的对面那个字是() b 2/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.美 B.泉 C.大 D.突 【变式2】(24-25七年级上山东青岛期末)如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数 字或代数式互为相反数，则m-n的值为() m n-3 A.8 B.-8 C.10 D.-10 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末)如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是() 日色色甲 【考点2由展开图计算几何体的面积或体积】 【例2】(24-25七年级下·上海崇明·期末)如图所示是一个几何体的表面展开图. ←4 (1)求该几何体的表面积（结果保留刀) (2)求该几何体的体积（结果保留刀). (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是_， 【变式1】(24-25七年级上广东东莞期末)【综合与实践】有两张长12cm,宽10cm的长方形纸板，分别 按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方 体纸盒各一个. 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 底面 10cm 底面 10cm 12cm 12cm 图1 图2 (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_（填“图1”或“图2”） (②)已知图1中裁去的小正方形的边长为3cm,求做成的纸盒体积： (3)已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为acm和一acm,分别求出按图1，图2方式裁得的纸盒底面 2 周长 【变式2】(24-25七年级上·吉林期末)聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开 成平面图形.于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸 盒剪成了两部分，即图2中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题. 宽 局 ① ② 图1 图2 (1)聪聪一共剪开了 条棱： (②)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他 有 种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况， (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的5倍.若该纸盒所有的棱长和 是880cm,求这个纸盒的体积. 【变式3】(24-25七年级上河南洛阳·期末)综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子. 我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以 做成一个无盖的长方体盒子， (1)如果原正方形纸片的边长为acm,剪去的正方形的边长为bcm,则折成的无盖长方体盒子的高为 cm,底面积为 cm?,请你用含a,b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm'. (2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取 1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,l0cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 果填入如表： b/cm 1 2 4 6 > 10 容积/ 324 512 500 384 252 128 360 cm3 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？ 请选择 A,一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大 (4)当b= 时(b为整数)，所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是 cm2. 【考点3画出从不同方向看几何体的平面图形】 【例3】(25-26七年级上·全国期末)在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为10©m的小立方块搭成 一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个 数. ② 14 232 从上面看 从正面看 从左面看 (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图： (②)如果在这个几何体的表面（不包括底面）喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 【变式1】(24-25七年级上·吉林期末)一个由若干个边长为1cm的小正方体组成的几何体如图所示： 从正面看 从上面看 从正面看 从左面看 图① (1)已知“从上面看”的形状如图①，请你画出从正面、从左面看这个几何体的形状图； (②)若为这个几何体的表面喷漆，每平方厘米需2克油漆，那么喷好这个几何体共需油漆_克. 【变式2】(24-25七年级上·贵州六盘水·期末)在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小 形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体.在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数 学问题，请帮他们解答 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0。 第1层 eae。a。 第2层 第3层 ------- 正面 从正面看 从左面看 从上面看 (I)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (②)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有_个 【变式3】(2425七年级上·辽宁丹东·期末)由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1. 正前方 从正面看 从左面看 从上面看 图1 图2 ()请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图.（一个网格为小立方 体的一个面) (②)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的 形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要 个小立方体. 【考点4画直线、射线、线段】 【例4】(24-25七年级上全国·期末)如图，A,B,C,D四个点在同一平面内，根据下列语句画图. P B ( (I)画射线AC,直线AD; (②)延长AB至点E,使得AB=BE; (3)连接CD与AB交于点F. 【变式4-1】(24-25七年级上福建莆田·期末)如图，在平面上有A,B,C,D四个点，根据下列语句画图. P A。 ●C B 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)①作射线DA;②作线段BD; (2)在(1)的基础上，请在线段BD上画出一点P,使点P到A,C两点的距离之和最短， 【变式4-2】(24-25七年级上·四川泸州期末)如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图： B. A. D (I)画直线AB,画射线AD,连接BC; (②)连接DC,并反向延长DC至点E,使DE=2DC; (3)请在A,B,C,D四个点围成的四边形内找一点O,使OA+OB+OC+OD最小，理由是 【变式4-3】（24-25七年级上湖北十堰期末)如图，平面内有四个点A,B,C,D.根据下列语句画图. A .D B. c (I)画直线BC: (2)画射线AD交直线BC于点E; (3)在直线AC上找一点F,使得BF+DF最小，并说明理由； (④在图中找一个点，使该点到点A,B,C,D的距离之和最小. 【考点5与线段中点有关的计算问题】 【例5】(24-25七年级下·新疆克拉玛依期末)如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=10cm, AD =7cm. A C D B (I)求CD的长； (2)若点E在线段AB上，且CE=2cm,求BE的长. 【变式1】如图，点C从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段AB向点B运动，当点C到达点B时 停止运动.已知AB=10,点D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒. A C D ⊙ (1)当t=2时，求线段AC,BD的长. (②)在运动过程中，若AC的中点为E. ①用含t的代数式表示线段AE,BD的长， ②请问线段DE的长度是否变化？若不变，求线段DE的长；若变化，说明理由. 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(24-25七年级上全国期末)在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单 位长度到达点A,再向左平移4个单位长度到达点B,最后向右平移10个单位长度到达点C. 876-5-4-3-2-1012345678 (I)分别写出点A,B,C表示的数， (2)若点P在线段BC上运动，当BP=3AP时，求出点P表示的数 (3)若点O从点C出发，在线段BC的延长线上运动，M是BQ的中点，N是CQ的中点，试说明BM-CN是 一个定值， 【变式3】(24-25七年级上甘肃兰州期末)如图，已知点A,点B是直线1上的两点，且AB=6cm,点P 和点Q是直线上的两个动点，点P的速度为2cm/s,点Q的速度为lcm/s,点P、Q分别从点A、B同时出 发在直线l上运动，运动时间为(S. A B 请回答下列问题： (I)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2cm时，求出t的值. 【考点6利用一元一次方程求余角、补角问题】 【例6】(24-25七年级上陕西渭南·期末)若一个角的余角比这个角的3倍多10°，求这个角的度数， 【变式1】(25-26七年级上·全国期末)已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B的度数的3倍还多30°， 求∠B的度数 【变式2】(24-25七年级上·吉林·期末)一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平 角，则这个角的为多少度？ 【变式3】(24-25七年级上·全国期末)设∠a、∠B度数分别为2n-1)°和68-n)°，且∠a、∠B都是 4?的补角，解答下列问题： (1)试求n的值： (②)∠a与∠B能否互余，为什么？ 【考点7与角平分线有关的计算问题】 【例7】(24-25七年级上·云南红河·期末)如图，0为直线AB上一点，∠A0C=60°，0D平分∠A0C, ∠D0E=90°. 8/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求出∠BOD的度数： (2)试判断OE是否平分∠B0C,并说明理由. 【变式1】(25-26七年级上江苏徐州期末)如图，直线AB与CD相交于点0，OF,OD分别是∠AOE, LBOE的平分线， E A B C (1)写出LD0E的补角： (2)试说明：∠AOC和LEOF互为余角， 【变式2】(25-26七年级上·全国期末)已知O为直线AB上的一点，∠C0E是直角，0F平分∠A0E. D A 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C0F=34°，则∠B0E= ;若∠C0F=m°，则∠B0E= ;LBOE与LCOF的 数量关系为 (2)在图2中，若∠C0F=75°，在LB0E的内部是否存在一条射线0D,使得2LB0D与∠A0F的和等于 BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，(1)中LB0E与∠C0F的数量关系是否仍然成立？请 说明理由，若不成立，求出∠B0E与∠COF的数量关系， 【变式3】(24-25七年级下·新疆克拉玛依期末)综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、 得出结论，是我们常用的几何探究方式.如图1，O是直线AB上的一点，∠COD=90,OE平分∠BOC. 数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： D -B 图1 备用图 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【观察计算】(1)如图1，当∠A0C=30°，求∠D0E的度数； 【类比猜想】(2)在图1中，当∠A0C=a(0°<a<180),试猜想∠D0E的度数（用含a的代数式表示）， 并证明你的猜想； 【拓展探究】(3)在(2)的基础上，将∠C0D绕着顶点0顺时针旋转，使得∠C0D的两条边中至少有一条 边在直线AB的下方，探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系，请直接写出你的结论 【考点8一副三角板中的有关计算问题】 【例8】(24-25七年级上陕西宝鸡期末)将一副直角三角尺如图放置. (1)若∠A0D=20°，求∠C0B的大小： (2)求∠A0C与∠BOD的数量关系. 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末)如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放. B (①)如果∠DCE=20°，则∠ACB=-; (2)如果CE始终在LACD内部，当∠DCE的度数发生变化时，请猜想∠DCE与∠ACB之间的数量关系，并 说明理由 【变式2】（24-25七年级上河南商丘·期末)(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ·(填序号) (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF, 然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠A0B)的顶点与60°角（∠C0D)的顶点互相重合，且边 OA、OC都在直线EF上，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当 边OB与射线OF第一次重合时停止 (2) 10/18 专题05 几何图形初步 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 知识点02 直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 知识点03 角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 【考点1 正方体的展开图】 【例1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体展开图，熟悉正方体展开图是解题的关键．根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可． 【详解】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”， 只有C选项不能围成正方体． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）正方体的表面展开图如图所示，上面字母“”分别对应写有“我爱大美突泉”六个字，则“爱”的对面那个字是（    ） A．美 B．泉 C．大 D．突 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握以上知识是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与是相对面；与是相对面；与是相对面． ∵字母分别对应写有“我爱大美突泉”六个字， ∴“”对应爱，“”对应美， ∴“爱”的对面那个字是美， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的意义．根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知：与相对，与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴，， ∴，， ∴ 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点成为解题的关键． 根据正方体展开图的特征及正方体上的三种图形相邻求解即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征及正方形上的三种图形相邻，可得正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是B． 故选：B． 【考点2 由展开图计算几何体的面积或体积】 【例2】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据展开图求几何体的表面积和体积，熟练掌握圆柱体的表面积和体积的计算公式，圆锥的体积的计算公式是解题的关键： （1）由展开图可知，几何体为圆柱体，根据圆柱体的表面积等于展开图的侧面积加上两个底面圆的面积，进行计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式进行计算即可； （3）根据圆柱体和圆锥的体积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，几何体为底面直径为4，高为5的圆柱体， ∴表面积为：； （2）圆柱体的体积为： （3）圆锥体的体积为圆柱体体积的，即为． 故答案为： 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图与图两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．     (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 ；（填“图”或“图”） (2)已知图中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图，图中裁去的小正方形边长分别为和，分别求出按图，图方式裁得的纸盒底面周长． 【答案】(1)图2 (2)做成的纸盒的体积为 (3)图1的底面周长为，图2的底面周长为 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可； （2）根据长方形的体积公式求解即可； （3）根据展开图的特点分别求出图1的底面周长和图2的底面周长． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）解：图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3）解：图1的底面周长为， 图2的底面周长为． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题． (1)聪聪一共剪开了______条棱； (2)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，则他有______种粘贴方法，请你帮他在①上补全一种情况． (3)经过测量，聪聪发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是原长方体高的倍．若该纸盒所有的棱长和是，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)8； (2)4； (3)． 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的体积，熟练掌握展开图是解题的关键． （1）根据展开图，判断聪聪剪开了8条棱，解得即可； （2）根据长方体展开图的基本意义，解答即可． （3）设长方体的高为，根据题意，得长宽都是，列式列式解答即可． 【详解】（1）解：根据展开图，得聪聪剪开了8条棱， 故答案为：8． （2）解：根据展开图的意义，可得到如下4种粘贴方式： 故答案为：4． （3）解：设长方体的高为，根据题意，得长、宽都是， 根据题意，得，整理得， 解得． ∴长、宽都是， ∴体积为： ． 答：长方体的体积为． 【变式3】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子．我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为________，底面积为________，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积________． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？请选择________ A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大 (4)当________时（b为整数），所得的无盖长方体的容积最大，此时容积是________． 【答案】(1)，， (2)588，576 (3)C (4)3，588 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式及代数式求值，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）根据（1）中的方法，将a，b的值达人计算即可； （3）根据表格中数值的变化关系可得答案； （4）由于b是整数，可由表格中数据的变化的对应值可得答案． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积； 故答案为：，，； （2）解：当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）解：由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）解：由于b是整数，由表格中的数据的对应值可知，当时，容积最大是， 故答案为：3，588． 【考点3 画出从不同方向看几何体的平面图形】 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为的小立方块搭成一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．    (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体、求几何体的表面积， （1）根据从上面看到的几何体的形状，画出从正面和左面看到的形状即可作图； （2）根据立体图形的表面个数及正方形的面积公式求解． 【详解】（1）如图所示：    （2）解：需要喷漆的面积是． 答：需要喷漆的面积是． 【变式1】（24-25七年级上·吉林·期末）一个由若干个边长为的小正方体组成的几何体如图所示： (1)已知“从上面看”的形状如图①，请你画出从正面、从左面看这个几何体的形状图； (2)若为这个几何体的表面喷漆，每平方厘米需2克油漆，那么喷好这个几何体共需油漆 克． 【答案】(1)见解析； (2)60． 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体所得到的平面图形的画法，以及几何体表面喷漆所需油漆量的计算．解题的关键是理解从正面、左面等不同方向观察几何体时所得到的图形的特征，以及通过统计几何体六个方向暴露面的总数量来计算表面积，进而求得油漆量． （1）确定正面和左面观察方向，数出对应方向上每列（行）小正方体的层数，按层数画出形状图． （2）统计六个方向暴露的小正方形面数，求和得总表面积，再乘每平方厘米油漆量即得总量． 【详解】（1）从正面、从左面看这个几何体的形状如图所示： （2）计算六个方向暴露的面数：上面、下面各6个，正面、背面各5个，左面、右面各4个，总面数为； ∵每个面的面积为：，总面积即为30平方厘米， ∴油漆总量总表面积克/平方厘米平方厘米克/平方厘米60克． 故答案为：60． 【变式2】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)55 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）解；根据题意可得， （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 【变式3】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）由8个棱长都为1的小正方体搭成的几何体如图1． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面） (2)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要___________个小立方体． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】此题考查了从不同方向看几何体等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可； （2）由题意知，第一列最多需要2个小立方体，第二列最多需要3个小立方体，第三列最多需要4个小立方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下： （2）解：若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要（个）小立方体． 故答案为：9． 【考点4 画直线、射线、线段】 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 【变式4-1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、射线、线段的特点及点与直线的关系是解题的关键． （1）①根据射线的特点作图；②根据线段的特点作图； （2）根据“两点之间，线段最短”作图． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； （2）点P即为所求． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据题目要求画出图形； （3）连接，交于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点O即为所求．理由是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据射线定义即可画射线交直线于点E； （3）根据根据两点之间线段最短求解； （4）点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线，点E即为所求； （3）连接与相交于点，根据两点之间线段最短，可得此时的最小值为； （4）如图，点F即为所求，利用同（3）． 【考点5 与线段中点有关的计算问题】 【例5】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，为线段上一点，为的中点，，． (1)求的长； (2)若点在线段上，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的中点和线段的和差计算． （1）由题目条件可得，再根据中点的定义可得； （2）分两种情况讨论：当点E在上，当点E在上，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴； （2）解：∵D为的中点， ∴， 当点E在上， ∵，， ∴；    当点E在上， ∵，， ∴． 【变式1】如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段，的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段，的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间可求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出；②不会发生变化，根据代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 点是线段的中点， ； （2）①由题意得， ， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ； ②线段的长度不变，； 由①得，； ， 线段的长度不变，． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题： (1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决追及问题，解题的关键是利用线段的和差列出方程． （1）根据路程列出一元一次方程求解即可； （2）根据路程列出一元一次方程求解即可； （3）根据路程列出含有绝对值的一元一次方程求解即可，或分两种情况进行分别求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得， ， 解得，， ∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得， ， 解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 【考点6 利用一元一次方程求余角、补角问题】 【例6】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若一个角的余角比这个角的3倍多，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角的定义，设这个角为，则这个角的余角为，根据一个角的余角比这个角的3倍多列方程解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为， ， 解得：， 答：这个角的度数是． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）一个锐角的三分之一与这个角的余角及这个角的补角的和等于平角，则这个角的为多少度？ 【答案】 【分析】设这个角为，根据锐角的三分之一与余角和补角的和等于平角建立方程，解答即可． 本题考查了余角，补角，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，根据题意，得， 解得． 故这个角是． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）设、度数分别为和，且、都是的补角，解答下列问题： (1)试求的值； (2)与能否互余，为什么？ 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的性质，余角的定义是解题的关键． （）根据补角的性质，可得，根据解方程，可得答案； （）根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由、都是的补角，得， ∴， 解得； （2）解：与互余，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴与互余． 【考点7 与角平分线有关的计算问题】 【例7】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)试说明：和互为余角． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义． （1）根据互补两角的和为进行判断即可； （2）根据角平分线的定义得到，由同角的补角相等得到，即，可知和互为余角． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴是的补角， ∵，， ∴是的补角， ∵， ∴是的补角， ∴的补角有； （2）证明：因为，分别是，的平分线， 所以， 因为，， 所以， 所以， 即和互为余角． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 【变式3】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 【考点8 一副三角板中的有关计算问题】 【例8】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键； （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 【考点9 线段、角有关的新定义型问题】 【例9】（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)①或或；②或 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南红河·期末）若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期末）一个立体图形如图所示，从左面看该立体图形得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据从不同方向看几何体求解． 【详解】 解：从左面看到的平面图形是，故B符合； 故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图，小红制作了一个相对面图案均相同的正方体礼盒，则这个礼盒的展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠．同时考查了空间想象力，结合正方体的展开图的对立面是每隔一个正方形，据此即可作答． 【详解】 解：根据题意得：这个正方体礼品盒的平面展开图可能是， 故选A． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 二、填空题 6．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【答案】160 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟移动度，然后计算9时20分时时针和分针的位置，再求夹角． 【详解】∵钟表一圈为360度，平均分为12部分， ∴每部分为度， ∴时针每分钟移动度， ∵9时整，时针在数字9处，分针在数字12处， ∴9时20分时，时针转过的角度为度，此时分针在数字4处， ∴时针与分针所成的夹角为度． 故答案为：160． 7．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图，在一条公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备 种车票． 【答案】20 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键． 根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故答案为：20 ． 8．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面，上面看到的形状图，则这个几何体至少是用 个小立方块搭成的． 【答案】5 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据从正面看到的图形和从上面看到的图形可知该几何体靠右边的两列各有一个立方块，左边这列最小有3个立方块，据此可得答案，由三视图想象几何体的形状，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】解：从正面看，有两层，三列，其中左边一列有两层，右边两列只有一层，从上面看，有三列，其中右边两列各1个立方块，结合从正面看到的，右边两列各有1个立方块，左边这列，上下两层，最少1块， ∴这个几何体中小方块的数量至少为（个）． 故答案为：5． 9．（24-25七年级上·云南红河·期末）线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【答案】或13 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段的三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 10．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题 11．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查直线、线段、角的概念，熟练掌握直线、线段、角的概念是解题关键． （1）连接可得线段； （2）作射线、，可得； （3）作直线与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，作直线和，交于点，点即为所求作． 13．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体． （1）根据从不同方向看到的几何体的画法画出相应的图形即可； （2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：露出表面的面一共有（个）， 则这个几何体喷漆的面积为：． 14．（23-24七年级上·天津南开·期末）直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】(1)， (2)①；②，， 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【答案】任务1：长方体盒子的高为；任务2：减掉的正方形的边长，长方体盒子的体积为 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用： 任务1：先设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答； 任务2：设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为，根据题意列式，计算即可作答． 【详解】解：任务1 设长方体盒子的高为a， 则底面长为，则底面宽为， 由题意得， ∴． 故长方体盒子的高为； 任务2： 设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为． 由素材3可得方程，， 解得，， ∴盒子的高为，盒子的宽为，长为． 故盒子的体积． 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&amp;（，）． 例如，，则，即&amp;（，），反之&amp;（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 【答案】(1)； (2)，t的值为或 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可 ；根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可； （2） 当到达时，，可以求出的度数，从而求出的值 ；分两种情况，根据列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶． 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶． （2）解： 当到达时， ． ， 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $