专题01 有理数及其运算（6大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材人教版

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 ★举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 ☑复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 PP卜思维导图串知识 1/14 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01正数和负数 知识点02有理数的概念 知识点03数轴、相反数、绝对值 知识点 知识点04有理数的大小比较 知识点05有理数的运算 知识点06科学记数法 【考点1相反意义的量】 有理数及其运算 【考点2求一个数的绝对值、相反数、倒数】 【考点3有理数的比较大小】 【考点4绝对值得非负性求解问题】 【考点5用科学记数法表示较大的数】 【考点6根据点在数轴的位置判断式子的正负】 考点 【考点7数轴上表示含绝对值乘方的有理数】 【考点8有理数的混合运算】 【考点9有理数的运算中的新定义型问题】 【考点10有理数的运算中规律探究问题】 【考点11有理数的运算中应用问题】 【考点12数轴上的新定义型问题】 》重点速记 屑知识点01正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0:0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 同知识点02有理数的概念 2/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 局知识点03数轴、相反数、绝对值 1,数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数 对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0 的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 同知识点04有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 属知识点05有理数的运算 1.法则： (1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. (2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) (3)乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0. (4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·b(b≠0) (5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：②正数的任何次幂都是正数， 0的任何非零次幂都是0 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减：②同级运算，从左到右进行： ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.运算律： (1)交换律：①加法交换律：a+b=b+a;②乘法交换律：ab-ba: (2)结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(btc)；②乘法结合律：(ab)c-a(bc) (3)分配律：a(btc)=ab+ac ○知识点06科学记数法 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 科学记数法：把一个大于10的数表示成ax10的形式（其中1≤网<10，”是正整数），此种记法叫做 科学记数法。 核心考点举一反三 【考点1相反意义的量】 【例1】(25-26七年级上·全国·期末)零上6℃，记作+6℃，零下18C,记作() A.18C B.12C C.-18℃ D.-24C 【变式1】(24-25七年级下·云南普洱·期末)数学家刘微在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念： “正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数.若3根红色木棍表示+3，则5根黑 色木棍表示() A.-5 B.+5 C.-3 D.+3 【变式2】(24-25七年级上·甘肃平凉·期末)吐鲁番沙漠植物园低于海平面80.97米，记作-80.97米，崆 峒山是“丝绸之路”西出关中的要塞，它的海拔为2123米，记作() A.0米 B.+80.97米 C.+2123米 D.-2123米 【变式3】(24-25七年级上：云南保山期末)云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负. 若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“+50千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应 记作（) A.-30千克 B.+30千克 C.-80千克 D.+80千克 【考点2求一个数的绝对值、相反数、倒数】 【例2】(24-25七年级上·甘肃武威：期末)3的相反数是一：绝对值是一 【变式1】(24-25七年级上天津·期末)-3的相反数是 5的绝对值是 8 【变式2】(24-25七年级上·全国：期末)有理数3的相反数是一，绝对值是一 【变式3】(24-25七年级上·甘肃武威期末)3的倒数的相反数是一， 3的绝对值是 【考点3有理数的比较大小】 〔例3】(2526七年级上湖南期末)比核大小：35一3 34(用“”“”填空). 41 3 【变式1】(24-25七年级上广西梧州期末)比较大小：- ·(填“、”或“”)」 4/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 【变式2】(2425七年级上云南昭通：期末)比较大小：一4一5引 (填“>”或“<”) 【变式3】(24-25七年级上湖南株洲期末)在比较大小：-(-3)一-3引（填“><”或“=”） 【考点4绝对值得非负性求解问题】 【例4】(24-25七年级上·重庆永川期末)若|a+1川与(b-2)2互为相反数，则ab的值为一 【变式1】(24-25七年级上四川德阳期末)当2m+75的值最小时，m=一 【变式2】(24-25七年级上湖南岳阳期中)若(x-3)2+y+5=0,则x=一，y=一· 【变式3】(23-24七年级上·安微池州·期末)己知，数轴上A,B,C三点对应的有理数分别为a,b,c. 其中点A在点B左侧，A,B两点间的距离为4，且a,b,c满足a+b+(c-2024=0,则 (1)c的值为一 (2)数轴上任意一点P,点P对应的数为x,若存在x使x-a+x-b+x-c的值最小，则x的值为一 【考点5用科学记数法表示较大的数】 【例5】(24-25七年级上·四川成都期末)第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附 近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度.第一宇宙速度的具体 数值是7900米/秒，用科学记数法表示7900应为一· 【变式1】(24-25七年级上·重庆巫山期末)据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少， 为自2015年来首次下降.把438万用科学记数法表示为 【变式2】(24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023-2024冰 雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿人次，预计新一轮，也就是2024-2025冰雪季有望突破5亿人 次”，数据3.85亿用科学记数法表示为一 【变式3】(24-25七年级上江苏徐州期末)据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万 人次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力.将数据571.78万用科学记数法表示为一 【考点6根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例6】(24-25六年级下·黑龙江绥化期末)有理数4，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：① 11 a-b<0:②d>:③方>a:④a+b>0:⑤-a>b⑥ab<0·其中结论正确的个数是() b 01 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 5/14 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上山西晋城期中)若有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结 论正确的是() a b -101 A.azb B.a C.o D.ab0 【变式2】(24-25七年级上·福建福州·期末)如图，数轴上点A,B对应的有理数分别为a,b,下列说 法正确的是() A B a 0b A.ab>0 B.b>a C.a+b>0 D.b-a>0 【变式3】(24-25七年级上·湖北孝感期末)如图，数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b,则下列 结论中：①a+b<0:②a-b<0:③ab<0:④a(a-b)<0,正确的有() B a-10b1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点7数轴上表示含绝对值乘方的有理数】 【例7】(24-25七年级上福建龙岩期末)画出数轴并表示下列各数：0，-(+1)，-4，(-22,2 【变式1】(24-25七年级上·全国·期末)在数轴上表示下列各数，并将各数用“<”号连接起来： 5 --,-3.5’3’-12’0’(-2)2 -6-5-4-3-2-10123456 【变式2】(24-25七年级上·全国·期末)在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“<”将这些数连接起 来： (-2)2,-4,（-1.5,-12,0. 5432102345→ 【变式3刃(24-25七年级上广东韶关期未)已知有理数：-，3号， 32,+-5),0,-1.5 ()这些有理数中，整数有个，负数有 个： (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上： (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 【考点8有理数的混合运算】 【例8】(25-26七年级上·甘肃张掖期末)计算： 9-写}-5×-02 2-+7-3( 【变式1】(24-25七年级上浙江丽水·期末)计算： 2P-4x[0-32-5], 【变式2】(25-26七年级上·黑龙江·期末)计算： (1)(-12)-5+(-14-(-39)； 248-122-2] 【变式3】(25-26七年级上湖南期末)计算： 0--1-01×[2-3] 2-+-2×2-3 【考点9有理数的运算中的新定义型问题】 【例9】(24-25七年级下·江西赣州期末)我们定义一种新运算：a*b= ()求-2)*1的值： 2)求(-4)*[2*(-3)]的值. 【变式1】(24-25七年级上广东惠州期末)若定义一种新的运算“*” 2*3=22-2×3=4-6=-2. (1)求3*(-4)的值： (2)求(-2)*(6*3)的值， 【变式2】(24-25六年级上·山东淄博·期末)定义一种新的运算：a★b 3★(-4)=3×(-4)-3-(-4)2+1，请用上述规定计算下面各式： (1)2★8： 7/14 上好每一堂课 a2-b.例如：3*2=32-2=7. ,规定有理数a*b=a2-ab,如 =a×b-a-b2+1,例如 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(-5)★[3★(-2)]」 【变式3】(23-24七年级上河北沧州·期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定 a☆b=ab2+2ab+a. 如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16. (1)2☆(-3)= ②诺(3=8，求。的值： (3)若2☆x=m 4x☆3=n(其中为有理数)，试比较m’n的大小， 4 【考点10有理数的运算中规律探究问题】 【例10】(23-24八年级上吉林四平·期末)观察下列各式的规律，然后回答问题. 11- 11 1×2 22 1111 2×3236: 1 1 1 1×22×33×41:×、/ 9×10 (1)把横线处结果填出来. 1 11 1 2)猜想：1×2+2×3+3x4++ n(n+1 (3)说明你的猜想的合理性. 【变式1】(23-24七年级上·安徽安庆·期末)观察下列各式： 1 111,1 ①-1×。=-1+。 一X一三 一X一三 2 1②-，×32干3③-3434 2 (1)按照上述规律，第4个等式是： (2)写出第n个等式： (3)根据上述规律，计算： 〔*引分 【变式2】(23-24七年级上广东深圳·期末)观察下列等式 111 111 第1个等式：4=1×2i2第2个等式：4=2x323 1=11. 111 第3个等式：a=3×434:第4个等式：a=4x545:… 解答下列问题： 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (①)按以上规律写出第5个等式：4=5x6 (2)求a1+a2+…+a2023的值； 1 1 1 (3)求2×4+4×66×8 十 98x100的值. 【变式2】(23-24七年级上·安徽芜湖·期末)探索规律并解答问题： 1P=1x2x3 6 1+22=2x3x5 6 1+22+32=3×4×7 6 1+2+32+4=4×5×9 6: … (1)12+2+32+42+52= ;12+22+32+…+n2= (n为正整数). (2)计算：62+72+82+92+102+112+122. 【考点11有理数的运算中应用问题】 【例11】(25-26七年级上·湖北期末)某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下(“+”表示进库，“· ”表示出库)：+50、-45、-33、+55、-41、-36. (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存150吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥 吨 (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【变式1】(24-25七年级上河北邯郸·期末)某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每 箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示. 与标准重量的差值（单位：千克） -2.5 -2 -1.5 0 箱数 2 4 3 6 ()在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量： (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额. 【变式2】(24-25七年级上·吉林·期末)小李家购置了一辆续航为350km(能行驶的最大路程)的新能源 纯电汽车.他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km,以40km 为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“.”)·已知该汽车第六天行驶了35km. 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第 一 第二 第三 第四 第五 第六 第七 天 天 天 天 天 天 天 -6 +2 +4 -3 +8 +7 (I)在“■”处的数为_，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶_km; (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的15%时，行车电脑就会发出充电提示.请 通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示. 【变式3】(24-25七年级上河南郑州·期末)出租车司机郑师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路 上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负， ×表示空载，○表示载有乘客， 且乘客都不相同) 次数 2 3 5 6 7 里程 -2 -12 +18 -1 -15 -8 +14 载客 + O O (I)郑师傅走完第7次里程后，它在A地的 (填“东”或“西”)面，离A地有 千米： (2)已知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需 要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油： (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业 额是多少元？ 【考点12数轴上的新定义型问题】 【例12】(24-25七年级上江苏淮安·期中)定义：若A,B,C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点 C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A,B】的美好点.若规定A、B两点之间的距离为AB,即当 AC=2BC时，我们称点C是【A,B】的美好点. 例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离AC是2，到点B的距 离BC是1，那么点C是【A,B】的美好点；又如，表示O的点D到点A的距离AD是1，到点B的距离 BD是2，那么点D就不是【A,B】的美好点，但点D是【B,A】的美好点. A D CB 3-2-10123→ 图1 如图2，M,N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2. M 图2 10/14 专题01 有理数及其运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03 数轴、相反数、绝对值 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 2.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 知识点04 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点05 有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06 科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【考点1 相反意义的量】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）零上，记作，零下，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，根据零上温度用正数表示，零下温度用负数表示即可． 【详解】解：由零上记作， 则零下应记作． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·云南普洱·期末）数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若3根红色木棍表示，则5根黑色木棍表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量，熟记正负数的概念是解决问题的关键． 根据正负数的概念，红色木棍表示正数，黑色木棍表示负数，即可得到答案． 【详解】解：∵ 红色木棍表示正数，黑色木棍表示负数，且3根红色木棍表示， ∴ 5根黑色木棍表示， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）吐鲁番沙漠植物园低于海平面80.97米，记作米，崆峒山是“丝绸之路”西出关中的要塞，它的海拔为2123米，记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：海拔为2123米记作米， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）云南某茶园采摘茶叶时，规定茶叶增产记为正，减产记为负．若今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克”，那么今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作（　　） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，结合增产50千克记作“千克”，则减产30千克应记作“千克”，即可作答． 【详解】解：∵今年春季茶叶产量比去年增产50千克记作“千克” ∴今年夏季茶叶产量比去年减产30千克应记作“千克”， 故选：A． 【考点2 求一个数的绝对值、相反数、倒数】 【例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数的定义，熟记和灵活运用相反数和绝对值的定义是解题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，得到答案即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：；． 【变式1】（24-25七年级上·天津·期末）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 3 /0.4 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：3；． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有理数的相反数是 ，绝对值是 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的相反数与绝对值，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值为它本身；零的绝对值为零；负数的绝对值为它的相反数；掌握这两个概念是解题的关键；根据相反数与绝对值的概念进行计算即可． 【详解】解：的相反数是；； 故答案为：；． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）的倒数的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查倒数，相反数，绝对值，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．根据倒数，相反数，绝对值的定义，即可解答． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数是3，， ∴的倒数的相反数是3，的绝对值是． 故答案为：3；． 【考点3 有理数的比较大小】 【例3】（25-26七年级上·湖南·期末）比较大小： （用“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 将带分数转换为小数后比较两个负数的大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）比较大小： ．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较大小，绝对值越大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为＜． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在比较大小： （填“>”“<”或“”) 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号，去绝对值，有理数大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先化简多重符号，去绝对值，得到，，有理数大小比较的法则：正数大于一切负数，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【考点4 绝对值得非负性求解问题】 【例4】（24-25七年级上·重庆永川·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故答案为：，． 【变式3】（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 【考点5 用科学记数法表示较大的数】 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·重庆巫山·期末）据统计，2024年考研报名人数约有438万，较2023年减少，为自2015年来首次下降．把438万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：438万． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）据综合测算，2024年“五一”假期徐州共接待游客571.78万人次，徐州各大商圈特色活动不断出新，充分释放消费活力．将数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：万用科学记数法表示为． 故答案为：． 【考点6 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例6】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，，， ∴结论正确的有①③④⑥，共个， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， 即，，，． 只有C正确． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，数轴上点，对应的有理数分别为，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，有理数减法，加法，乘法运算法则，正确理解数的大小是解题的关键．根据数据确定出，进而结合运算法则进行判断即可； 【详解】解：由数轴可知， 则， 故选D． 【变式3】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上的点A、B对应的有理数分别为a、b，则下列结论中：；；；，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负． 先求出a、b的取值范围，再逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 即正确的有，，共3个， 故选：C． 【考点7 数轴上表示含绝对值乘方的有理数】 【例7】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）画出数轴并表示下列各数：0，，，，2 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数．熟练掌握在数轴上用点表示数，是解题的关键． 画出数轴，在数轴直接表示出所给数的位置即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上表示下列各数，并将各数用“＜”号连接起来： ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的大小，熟练掌握在数轴上表示有理数是解题的关键； 先将各数在数轴上表示出来，比较大小即可求解； 【详解】解：，，， 在数轴上表示为： 将各数用“＜”号连接起来：； 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、利用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方、绝对值，先将各个数进行计算，再表示在数轴上，比较即可得解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式3】（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1)3，3； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 【考点8 有理数的混合运算】 【例8】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘除、加减、绝对值和乘方运算，解题时需注意运算顺序：先乘方、乘除后加减，有括号和绝对值时先计算内部； （1）先计算除法与乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算绝对值，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序及乘法分配律的运用． （1）利用乘法分配律将分别与括号内的每一项相乘，再计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号内的运算，接着计算乘法，最后计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则进行计算即可； （2）先算乘方，再进行小括号内的计算，继而算乘除，最后进行加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】（25-26七年级上·湖南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点9 有理数的运算中的新定义型问题】 【例9】（24-25七年级下·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确理解题目中给出的新定义，按照要求计算为解题关键． （1）根据题目中给出的新定义列式计算即可； （2）根据题目中给出的新定义列式按照有理数混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)40 【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键． （1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可； （2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴． 【变式2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据的运算法则列式计算即可； （2）先计算，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【变式3】（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 【考点10 有理数的运算中规律探究问题】 【例10】（23-24八年级上·吉林四平·期末）观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式发现计算规律是解题关键． （1）根据已知等式规律即可求解； （2）根据已知等式规律完成猜想即可； （3）根据已知等式规律即可求解． 【详解】（1）解：观察题中等式可知， , 故答案为：． （2）解：猜想：． 故答案为：． （3）解：由中的发现可知， ． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：∵①    ②    ③ 第4个等式是：． （2）由（1）归纳可得： 第个等式： （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期末）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算，找规律，利用规律求值． （1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）按以上规律写出第5个等式：， 故答案为：； （2）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为：． 故答案为：55；； （2）原式 ． 【考点11 有理数的运算中应用问题】 【例11】（25-26七年级上·湖北·期末）某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、． (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)经过这6天，仓库里的水泥减少了；减少了吨 (2) (3)这6天要付元装卸费 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法，有理数的乘法等知识点，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据有理数的减法运算，可得答案； （3）根据装卸都付费，可得总费用． 【详解】（1）解： ， 答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨； （2）解：（吨）， 答：6天前仓库里存有水泥吨， 故答案为：200； （3）解： （元）， 答：这6天要付元装卸费． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)在“”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)，14； (2)行车电脑不会发出充电提示． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减应用，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可得“”处的数为；再比较，然后列式，即可作答． （2）理解题意，先算出总的路程，得，因为续航为，剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示，然后，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵该汽车第六天行驶了． ∴， ∴在“”处的数为； ∵， ∴， ∴这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： 则 ∴ ∴，故行车电脑不会发出充电提示． 【变式3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）出租车司机郑师傅某天上午从地出发，在东西方向的公路上行驶运营，下表是郑师傅这天上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负，表示空载，表示载有乘客，且乘客都不相同）． 次数 1 2 3 4 5 6 7 里程 载客 (1)郑师傅走完第7次里程后，它在地的__________（填“东”或“西”）面，离地有__________千米； (2)已知出租车行驶每千米的油耗约0.07升，郑师傅开始营运前油箱里有7升油，若剩余油量少于2升则需要加油，请通过计算说明郑师傅这天上午中途是否可以不加油； (3)已知载客时2千米以内收费7元，超过2千米后每千米收费1.6元，问郑师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【答案】(1)西，6 (2)郑师傅这天上午中途可以不加油，见解析 (3)郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可； （3）分别求得每次载客后的营业额后即可求得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 即郑师傅走完第7次里程后，它在A地的西面，离A地有6千米， 故答案为：西；6； （2）解：（千米）， ∴（升）． ， 郑师傅这天上午中途可以不加油． （3）解：由表格可得第3次载客行驶了18千米，行驶的路程越多，营业额越高， ∴（元）． 答：郑师傅这天上午最高一次的营业额是32.6元． 【考点12 数轴上的新定义型问题】 【例12】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)3或9 (3)当或或时，点恰好是和两点的3倍点 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，解本题的关键是分清3倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）点恰好是和 两点的3倍点，可分得或或，从而解得与的关系． 【详解】（1）解：由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3）解：，， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）规定：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用．根据题意找出左右移动与正负数表示的方法即可求解． 【详解】解：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、相反数和绝对值，将四个选项中的各数计算出来是解题的关键． 将四个选项中的各数都计算出来，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：A、，，，故不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、，，，故不符合题意； D、，，，故符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）下列算式中，计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，除法，有理数的乘方；通过直接计算每个算式的值，判断其正确性． 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ A错误． 对于选项B：∵ ，∴ B错误． 对于选项C：∵ ，∴ C正确． 对于选项D：∵ ，∴ D错误． 因此，计算正确的是选项C． 故选：C． 4．（25-26七年级上·湖北·期末）如图，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，绝对值比较，有理数相乘，有理数相加相减等．根据题意可知，即可得，再逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：由数轴上点可知，， A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D ． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·陕西安康·期末）的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，倒数，理解只有符号不同的两个数互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数，根据乘积是1的两个数互为倒数，可得的倒数． 【详解】解：根据相反数和倒数的定义得：的相反数是；的倒数是． 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·陕西延安·期末）比较大小： ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：＜ 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）赣县位于江西省赣州市中部，被誉为“千里赣江第一县”，是一个非常宜居的城市．2024年，赣县区的常住人口已经达到万人，其中万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义一种新运算，规定运算法则为：（均为整数，且），例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的混合运算．代入数值后，先计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：∵（a，b均为整数，且）， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 三、解答题 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，绝对值等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）运用乘法对加法的分配律进行计算即可； （2）先进行乘方和绝对值的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·四川乐山·期末）（1）在数轴上表示出，，，这四个数； （2）用“”符号把这四个数连接起来． 【答案】（1）见解析：（2） 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握化简绝对值，平方计算，用数轴上的点表示有理数，及比较大小是解题的关键． 先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【详解】解：（1）∵，． ∴如图，在数轴上表示出，，，这四个数； （2）由数轴上这四个数表示的点知，这四个数的大小关系为：． 13．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)4.1千克 (2)不足2.3千克 【分析】本题主要考查正负数，有理数的加减乘混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）分别找出与标准质量的差值最大的数和最小的数，作差即可； （2）求出20箱苹果与标准质量的差值的总和，即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重4.1千克． （2）解： （千克）， 答：与标准质量比较，20箱苹果总计不足2.3千克． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·四川成都·期末）认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律： ，，，，，… 用上面的思路，解答下列问题： (1)写出上面序列等式的第n个等式； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律； （1）根据所给式子得规律即可； （2）将原式化为，再计算即可； （3）根据，可得，再计算即可． 【详解】（1）根据上面序列等式，得第个等式为； （2） ； （3）， ， ． 9 / 10 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