专题02 整式及其加减（4大知识点+14大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材人教版

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式及其加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 ★举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 ☑复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 PP卜思维导图串知识 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01代数式 知识点02整式的相关概念 知识点 知识点03整式的加减 知识点04图形与数字的变化规律 【考点1代数式书写方法】 【考点2单项式、多项式、整式的判断】 整式及其加减 【考点3单项式、多项式的系数和次数】 【考点4多项式系数、指数中字母求值】 【考点5已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【考点6整式的加减运算】 【考点7整式的加减中的化简求值】 考点 【考点8整式的加减运算与应用】 【考点9已知式子的值，求代数式的值】 【考点10整式加减中的无关型问题】 【考点11带有字母的绝对值化简问题】 【考点12与图形有关的规律探究问题】 【考点13与数字有关的规律探究问题】 【考点14整式中的新定义型问题 》重点速记 局知识点01代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可 以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2.代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入 法、整体代入法、间接求值法等。 同知识点02整式的相关概念 1.单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数， (2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和， 2,多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 要点诠释：(1)在多项式中，不含字母的项叫做常数项， (2)多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 (3)多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式. (4)多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这 个多项式按这个字母降幂排列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做 把这个多项式按这个字母升幂排列. 3.整式：单项式和多项式统称为整式 知识点03整式的加减 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： (1)“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同： (2)“两无关”是指：①与系数无关：②与字母的排列顺序无关. 2,合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变 3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变：括 号前面是“_”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变， 4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是 “-”,括号内各项的符号都要改变. 5,整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后 去括号，合并同类项， 知识点04图形与数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识 的基础上去探究，观察思考发现规律 (1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数 量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程. 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心考点举一反三 441 【考点1代数式书写方法】 【例1】(24-25七年级上全国期末)下列式子中符合代数式的一般书写要求的是() A.axb B.3×2 C.2÷ab 【变式1】(24-25七年级上广东清远期末)下列式子中，符合代数式书写的是() A. 2x-y 3 B.12y C.y2÷3 D.x2×y 【变式2】(24-25七年级上江西赣州·期末)下列代数式符合书写要求的是() 1 B.mx3 C.m÷2n D.3mn 【变式3】(24-25七年级上河南安阳·期末)下列式子中，符合代数式书写的是() A.15x2 B. 2x-y 3 C.y÷3 D.xxy 【考点2单项式、多项式、整式的判断】 11 b+1 【例2】(24-25七年级上重庆秀山期未)式子2x+y,30,-x2+y-1”2'6,2中，单项式 有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【变式1】(24-25七年级上海南省直辖县级单位·期末)下列整式中，是二次单项式的是（) A.x2-1 B.2x2y C.xy D.-2x abc a+b.m+”中多项式 【变式2】(24-25七年级下·全国期未)下列各式：2,2x-1'7a+b’-2’2’m 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式3】(24-25七年级上·吉林长春·期末)下列代数式中不是整式的是() A.x+3y B.x2+2x-5 C.6 1-3 D. 【考点3单项式、多项式的系数和次数】 【例3】(25-26七年级上·全国·期末)下列说法正确的是() A.m与n的2倍的差表示为2(m-n) 4/18 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.一是整式 C单项式号的系数是”次数是3 D.多项式2x3y2-x2y+3xy2-1是五次四项式 【变式1】(25-26七年级上河南新乡·期末)下列说法正确的是() A单顶式如的系数是 3 B.单项式2πa的次数是4 C.多项式x2y2-2x2+3是四次三项式 D.多项式x2-2x+6的项分别是x2,2x,6 【变式2】(23-24七年级下·安徽准南期末)下列说法中正确的是() A.方的系数是月 B.22ab的次数是6 C.兮是单项式 D.2x-5x2+7是二次三项式 【变式3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末)下列说法正确的是() A.的系数是-2 2vt B.3ab的次数是6次 C生是多缆式 D.x2+x-1的常数项为1 【考点4多项式系数、指数中字母求值】 【例4】(25-26七年级上江苏徐州期末)如果xmy-(m-3)y+3x是关于x,y的五次三项式，那么 m=_ 【变式1】(24-25七年级上·全国期末)要使关于x的多项式(m-4)x+5x2+(3-n)x不含三次项及一次项， 则m2+n2的值为一。 【变式2】(24-25七年级上·吉林期末)若多项式(m-6)amb+2是关于a、b的九次二项式，则m的值为 【变式3】(2425七年级上·福建福州期末)如果“y-(m-4y-是关于xy的五次三项式，则m= 【考点5已知同类项求指数中字母或代数式的值】 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例5】(25-26七年级上·甘肃张掖期末)若单项式3x2my与x4"y的和仍是单项式则m+n=一. 【变式1】(24-25七年级上广西梧州期末)如果单项式x2y与y是同类项，那么a+b的值为一 【变式2】(23-24七年级下甘肃武威期末)如果单项式446与9a6的和为单项式，则gy=一 1 【变式3】(24-25七年级上吉林长春期末)若-2y与石y2是同类项，则(m-m2=一 【考点6整式的加减运算】 【例6】(24-25七年级上全国·期末)化简： (1)4x2+5y-22x2-3y a32y-2-r-4y-65 【变式1】(24-25七年级上河北石家庄·期末)化简： (1)2a-3b+b+3-a: 28--4r-寻月 【变式2】(24-25七年级上·吉林长春·期末)计算： (1)-4x+5-(3-2x: 24a2b-2ab2）-3ab2-2a2b. 【变式3】(24-25七年级上·吉林·期末)化简 (1)a+6a-3b-(a+2b): (2)m2n-3mn2）-2m2n-7mn2）. 【考点7整式的加减中的化简求值】 【例7】(25-26七年级上全国期末)先化简，再求值：3m2-[5m-2(2m-3到+4m],其中m=-4. 【变式】(25,26七年级上甘肃张被期末)先化简，后求值：3y-2g2--2g,其中x-2 y2 【变式2】(24-25七年级下新疆克拉玛依期末)先化简，再求值：43ab-ab2)-2(3ab2-ab-14a2b, 其中a=1,b=-1. 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26六年级上全国期末)先化简，再求值：y--y+)-2(xy-y）,其中，y满 足x+3+(y-2)2=0」 【考点8整式的加减运算与应用】 【例8】(25-26七年级上·湖南·期末)学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价10元，笔记本 每本2元.小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的90%付 款：②买一只文具盒送一本笔记本.现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买x只文具盒(x≥，笔记本 本数是文具盒只数的4倍多5. ()若该班按方案①购买，需付款元：（用含x的代数式表示）：若该班按方案②购买，需付款元.（用含x 的代数式表示) (2)若x=10,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【变式1】(24-25七年级上广东肇庆·期末)如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为 12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为α米. 小 a米 路 12米 喷泉 a米 米 个a米 15米 (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当a=2.3米时，喷泉的周长. 【变式2】(24-25七年级下·江西赣州期末)如图所示长方形ABCD,在AB边上有一点E,BC边上有一点 F. 6 D长 12 (I)根据图中尺寸大小，BE的长度为 (用含x的式子表示)； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含x的式子表示）· 【变式3】(24-25七年级上·甘肃兰州·期末)如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由9个等边三角 形（注：等边三角形就是三条边都相等的三角形）拼成的六边形， 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ()已知中间最小的等边三角形的边长是1，若设图中最大等边三角形A的边长是x米，请用含x的代数式分 别表示出等边三角形CE和G的边长分别为：-，-，-· (2)再(1)的条件下，观察图形的特点可知，六边形广场的周长（最外面一圈的长）可以用含x的代数式 表示为 (③)因城市规划的需要，市政府设想把这个六边形广场改建为一个正方形广场，改建之后让这两个广场的周 长保持不变，若等边三角形H的边长为21米，此时你能求出改建之后的正方形广场边长为多少米吗？ 【考点9己知式子的值，求代数式的值】 【例9】(24-25七年级上湖北随州·期末)请阅读材料： 代数式x2+x+5的值为8，求代数式2x2+2x-4的值. 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得x2+x+5=8,则有x2+x=3, 2x2+2x-4=2x2+x-4 =2×3-4 =2」 所以代数式2x2+2x-4的值为2. 【方法运用】 (1)若x2+2x=2,则代数式2x2+4x的值为： (2)若代数式x2+2x+3的值为5，求代数式-2x2-4x+4的值： (3)已知a-2b=7,2b-c的值为最大的负整数，求3a+4b-2(3b+c)的值. 【变式1】(24-25七年级上广西百色期末)【阅读理解】 已知代数式x2+x+3的值为9，求代数式2x2+2x-3的值 嘉琪采用的方法如下： 由题意得x2+x+3=9,则有x2+x=6, 2x2+2x-3=2x2+x-3=2×6-3=9 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若-x2=x+2,则x2+x+3= 8/18 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若代数式x2+x+1的值为15，求代数式-2x2-2x+3的值. 【拓展应用】 (3)若x2+2xy=-2,xy-y2=-4,求代数式2x2+3xy+y2的值. 【变式2】(24-25七年级上湖南常德·期末)【教材呈现】 以下是七年级上册数学教材的部分内容 例1已知a+b=5,求(a+b)2-4(a+b)的值. 分析：将a+b看作一个整体，则问题就可迎刃而解了. 解：(a+b)2-4(a+b)=52-4×5=5」 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应 用 【解决问题】 已知(x-y)2=5,求2(x-y2-5(x-y)2+(x-y)的值： (2)已知a2-2b=4,求3a2-6b-21的值： (3)当x=1时，代数式mx2+nx+1的值是2025，当x=-1时，求代数式-mx2+x+1的值 【变式3】(24-25七年级上·四川乐山期末)【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第120页的 部分内容 若代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x-3的值为 【阅读理解】小明在做这道题时采用的方法如下： 解：由题意得，x2+x+3=7,则有x2+x=4, 所以2x2+2x-3=2x2+x-3=2×4-3=5 【方法运用】 (1)若代数式x2+x+7的值为6，求代数式3x2+3x-5的值： (2)若a2-ab=12,ab-b2=-6,则代数式a2-2ab+b2的值： (3)当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为一2023，当x=-2时，求代数式ax3+bx+1的值. 【考点10整式加减中的无关型问题】 【例10】(25-26七年级上全国期末)已知多项式A=2x+4y-5,B=2(x+y)-(x+3). (1)当x=y=-5时，求A-B的值： (2)A-2B的值与x,y的取值是否有关？试说明理由. 【变式1】(24-25七年级上·湖北黄石·期末)已知代数式A=2x2+3xy+2y，,B=x2-y+x. (1)当x=-1,y=3时，求A-2B的值： 9/18 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若A-2B的值与x的取值无关，求y的值， 【变式2】(24-25七年级上河南驻马店·期末)已知A=3ab-2ab2+abc,晓风错将“2A-B”看成“ 2A+B”，算得结果C=4a2b-3ab2+4abc. (I)计算B的表达式； (2)求正确的结果的表达式： （③度华说(2)中的结果的大小与。的取值无关，对吗？若0=令，力-行：求（②）中代数式的值 【变式3】(24-25七年级上山东日照·期末)已知含字母m,n的代数式是： 3m2+2n2+mn-3-3m2+2n2）-4mn-m-. (1)化简这个代数式. (2)小明取m,n互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0.那么小明所 取的字母n的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值 恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？ 【考点11带有字母的绝对值化简问题】 【例11】(25-26七年级上河南期末)观察有理数a,b,c在数轴上的位置，如图所示. C b0 (1)比较大小：a-b_0,c-b_0,a-c_0; (2)化简：b-a+lc-a-b-c= 【变式1】(24-25七年级上四川乐山期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示 b 0c ()判断a+b_0,b-c_0,abc_0:(选填“>”“<”或“=”) (2)化简：la+b-b-c+lc-a. 【变式2】(24-25七年级上·湖南湘西·期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示： 上 -1a0 1b c (1)a+1 0,b-a0,b-c 0: (2)化简：la+1+b-d-b-c. 【变式3】(24-25七年级上·吉林·期末)有理数a、b、c在数轴上的位置如图， a 0c b→ (1)判断正负，用“>”或“<”填空：a-b_0,a+c_0,b-c_0,abc_0. 10/18 专题02 整式及其加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 2.代数式的书写规则：乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 3.代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 知识点02 整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点03 整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 知识点04 图形与数字的变化规律 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点1 代数式书写方法】 【例1】（24-25七年级上·全国·期末）下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据代数式的知识，进行作答，然后逐选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； B、原代数式书写正确，此选项符合题意； C、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； D、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·广东清远·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式，依次分析各个选项，选出符合代数式的书写格式的选项即可． 【详解】解：A. ，符合代数式的书写格式，即A项符合题意，     B. ，正确的格式为：，常数项不出现带分数，即B项不合题意，     C. ，书写代数式时，一般不出现除号，除号要变为分数线，正确写法为，因此选项C不符合题意；     D. ，正确的格式为：，乘号往往省略不写，故D选项不合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A．.. B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写习惯，根据代数式的书写要求判断各项，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【详解】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）下列式子中，符合代数式书写的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式书写方法，熟练掌握代数式书写方法是解题的关键：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来． 根据代数式书写方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，不能出现带分数，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； B．，符合代数式书写格式，故选项符合题意； C．，不用“”号，而应写成分数的形式，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； D．，字母与字母相乘，乘号应该省略，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； 故选：B． 【考点2 单项式、多项式、整式的判断】 【例2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）式子，，，，，，中，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的判断，正确理解单项式的定义是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积的形式也是单项式，由此判断即可． 【详解】解：单项式有、、，共3个 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列整式中，是二次单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式，熟练掌握单项式和多项式的意义是解题的关键． 根据单项式多项式的定义以及单项式次数的意义，判断即可． 【详解】解：A．是多项式，故该选项不符合题意； B．是三次单项式，故该选项不符合题意； C．是二次单项式，故该选项符合题意； D．是一次单项式，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的判断，熟练掌握多项式的识别是解题的关键．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．根据多项式的定义判断即可． 【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式， 多项式有：，，，共3个． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列代数式中不是整式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的定义，注意整式包括多项式和单项式．根据整式的定义即可解答． 【详解】解：A．，是多项式，所以是整式，故本选项不符合题意； B．，是多项式，所以是整式，故本选项不符合题； C．，是单项式，所以是整式，故本选项不符合题意； D．，是分式，所以不是整式，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点3 单项式、多项式的系数和次数】 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．m与n的2倍的差表示为 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是3 D．多项式 是五次四项式 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义，牢记这些定义是解题的关键．根据用字母表示数，整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：m与n的2倍的差表示为，故A选项说法错误； 因为 是数字与字母的商，所以 不是整式，故B选项说法错误； 单项式 的系数是，次数是3，故C选项说法错误； 多项式 是五次四项式，故D选项说法正确． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是4 C．多项式是四次三项式 D．多项式的项分别是，， 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的系数和次数，根据单项式和多项式的系数和次数即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、单项式的系数是，故选项不符合题意； B、单项式的次数是1，故选项不符合题意； C、多项式是四次三项式，正确，故选项符合题意； D、多项式的项分别是，，，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】依次分析每个选项，根据单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义来判断对错即可． 本题主要考查了单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：的系数是，故A选项错误，不符合题意． 的次数是，故B选项错误，不符合题意． ，是多项式，故C选项错误，不符合题意． 有三项，最高次项是，次数为，是二次三项式，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数，多项式的项以及定义，熟练掌握单项式和多项式的相关概念是解本题的关键．根据单项式的系数与次数，多项式的项以及定义依次逐项判断即可． 【详解】解：A．根据单项式的系数的定义，得的系数是，此选项错误，不符合题意； B．根据单项式的次数的定义，得的次数是4，此选项错误，不符合题意； C．根据多项式的定义，得是多项式，此选项正确，符合题意； D．根据多项式的项的定义，得的常数项是，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【考点4 多项式系数、指数中字母求值】 【例4】（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中次数最高的项的次数为多项式的次数．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式是关于，的五次三项式， ，， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为0．根据已知条件即可得出，进而得出答案． 【详解】解：∵不含三次项及一次项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．根据九次二项式的定义可得，且，计算即可． 【详解】解：由题可知：， 解得∶ ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·福建福州·期末）如果是关于、的五次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式的定义可得：，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【考点5 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例5】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）若单项式与的和仍是单项式则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项：字母相同，且相同字母的指数分别相同的几个单项式，理解同类项的概念是解题的关键；根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们是同类项，从而根据指数相同列出方程求解． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们为同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（24-25七年级上·广西梧州·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查同类项的定义，由同类项的定义求出、的值，进而求出的值解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．因此，两个单项式中x的指数和y的指数必须分别相等． 【详解】由同类项的定义，得，， 解得， 所以． 故答案为：3． 【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如果单项式与的和为单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义列出方程，，解方程即可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点6 整式的加减运算】 【例6】（24-25七年级上·全国·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减的运算法则. （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项进行计算即可； （2）去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项法则．熟练掌握去括号时括号前系数的变化以及准确识别和合并同类项是解题的关键． （1）先去括号，再通过合并同类项来化简式子，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． （2）同样先去括号，再对式子中的同类项进行合并化简． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点7 整式的加减中的化简求值】 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决本题的关键． 去括号合并同类项后，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）先化简，后求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握运算法则是关键；先去括号、合并同类项，再代入求值即可． 【详解】 ， 当，时， 原式． 【变式2】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号，合并同类项进行化简，然后代入字母的值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式3】（25-26六年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，绝对值的非负性，先利用去括号法则和合并同类项法则化简整式，再根据非负数的性质求出字母的值，再把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， 因为x，y满足， 所以， 所以， 当时，原式． 【考点8 整式的加减运算与应用】 【例8】（25-26七年级上·湖南·期末）学校小卖部新进了一部分学习用品，文具盒每只定价元，笔记本每本元．小卖部在开展促销活动期间，向学生提供两种优惠方案：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；②买一只文具盒送一本笔记本．现某班开展学习竞赛要到学校小卖部购买只文具盒，笔记本本数是文具盒只数的倍多． (1)若该班按方案①购买，需付款 元：(用含的代数式表示)；若该班按方案②购买，需付款 元．(用含的代数式表示) (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)； (2)第②种合算，计算见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）将分别代入（1）中两个代数式，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：①文具盒和笔记本都按定价的%付款；则方案①需付款； ②买一只文具盒送一本笔记本．则方案②需付款； 故答案为：；． （2）把分别代入（1）中两个代数式： 方案①：元；方案②：元； ， 故第②种合算． 【变式1】（24-25七年级上·广东肇庆·期末）如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【答案】(1)喷泉的长为米，宽为米 (2) 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； （2）由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，的长度为_________（用含的式子表示）； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式， （1）直接根据,求出即可； （2）阴影部分的面积等于直角三角形面积减去小直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为： （2） 即阴影部分的面积为： 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由个等边三角形（注：等边三角形就是三条边都相等的三角形）拼成的六边形． (1)已知中间最小的等边三角形的边长是，若设图中最大等边三角形的边长是米，请用含的代数式分别表示出等边三角形和的边长分别为： ， ， ． (2)再（）的条件下，观察图形的特点可知，六边形广场的周长（最外面一圈的长）可以用含的代数式表示为 ． (3)因城市规划的需要，市政府设想把这个六边形广场改建为一个正方形广场，改建之后让这两个广场的周长保持不变，若等边三角形的边长为米，此时你能求出改建之后的正方形广场边长为多少米吗？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据已知并结合图形依次求出等边三角形的边长即可求解； （）根据（）中各个等边三角形的边长列式求出六边形的周长即可； （）先求出的值，进而求出六边形的周长，得出正方形广场的边长，即可求解； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵图中最大等边三角形的边长是米，中间最小的等边三角形的边长是， ∴等边三角形的边长分别为：， 故答案为：； （2）解：由（）得，六边形的周长， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 解得， ∴原六边形的周长为米 ， ∴改建之后正方形广场的周长为米， ∴正方形广场的边长为米． 【考点9 已知式子的值，求代数式的值】 【例9】（24-25七年级上·湖北随州·期末）请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】(1)4 (2)0 (3)19 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体思想，是解题的关键： （1）利用整体代入法进行求解即可； （2）根据，得到，再利用整体代入法进行求解即可； （3）根据的值为最大的负整数，得到，将代数式展开，利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意，得：， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， 又∵， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·广西百色·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则__________． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）25；（3）0 【分析】本题考查了求代数式的值，整体思想是解答本题的关键． （1）由条件变形得，再整体代入即可求值； （2）由条件得，再把所求代数式变形，然后整体代入即可求值； （3）由条件得，把代数式变形为，然后整体代入即可求值． 【详解】解：（1）∵，则， ∴； 故答案为：1； （2）由得， 则 ； 答：的值为25． （3）由，得， ∴ ； 答：的值为0． 【变式2】（24-25七年级上·湖南常德·期末）【教材呈现】 以下是七年级上册数学教材的部分内容． 例1已知，求的值． 分析：将看作一个整体，则问题就可迎刃而解了． 解：． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在数与式、方程与不等式等方面都有广泛的应用． 【解决问题】 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)当时，代数式的值是2025，当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将看作一个整体，再合并同类项，代入求值． （2）将看作一个整体，将所求的代数式变形为进行计算即可． （3）将代入代数式中，求出的值，将看作一个整体，代入要求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）当时，， ∴， ∴当时，． 【变式3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 若代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做这道题时采用的方法如下： 解：由题意得，，则有， 所以． 【方法运用】 (1)若代数式的值为6，求代数式的值； (2)若，则代数式的值； (3)当时，代数式的值为－2023，当时，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查代数式求值的方法，解题关键是掌握整体思想，代入求值． （1）先根据求出的值，再将变形为含有的形式，最后代入计算即可． （2）观察所求代数式，可变形为，然后将已知条件，代入计算． （3）先根据时的值求出的值，再将代入并变形，最后把的值代入计算． 【详解】（1）解：由题意得，，则有， 所以； （2）解：， 将，代入， 可得，原式； （3）解：当时， ， 所以， 当时， ， 把代入， 可得，． 【考点10 整式加减中的无关型问题】 【例10】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)当时，求的值； (2)的值与，的取值是否有关？试说明理由． 【答案】(1) (2)的值与，的取值无关，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用整式的加减运算进行化简，再代入进行计算即可得解； （2）先利用整式的加减运算求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 将代入可得，原式； （2）解：的值与，的取值无关，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴的值与，的取值无关． 【变式1】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值以及根据代数式的值与某字母无关求参数的值． （1）根据题意先求出的表达式，利用去括号法则去掉括号，再合并同类项得到的最简形式； （2）由于的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，在的最简形式中找出含x的项，令其系数为0，解方程求出y的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式． （2）解：由（1）知，， ∵的值与x的取值无关， ∴含x的项的系数为0， 在中，含x的项为，其系数为， ∴， 解得． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 【变式3】（24-25七年级上·山东日照·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，正确的计算是关键： （1）去括号，合并同类项，化简即可； （2）根据互为倒数的两数之积为，得到，代入化简后的代数式，求出的值，进而求出的值即可； （3）根据题意，得到代数式的值与字母无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意，得：，代入，得：， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当，即：时，为定值； 故． 【考点11 带有字母的绝对值化简问题】 【例11】（25-26七年级上·河南·期末）观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： ， ， ； (2)化简： 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先判断数的大小，再判断式子的符号即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·四川乐山·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)判断 0， 0， 0；（选填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减，掌握数轴上有理数的特点及有理数的运算法则是解题的关键． （）由数轴可得，，再根据有理数的运算法则判断即可求解； （）由得，再结合（）的结果，根据绝对值的性质化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 又由（）知，，， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负，化简含绝对值的代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据数轴判断出，，的正负即可； （）根据绝对值的性质化简，然后进行合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 【考点12 与图形有关的规律探究问题】 【例12】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；…． (1)请用含n的代数式分别表示出图n中，白色小正方形、灰色小正方形的数量； (2)当时，白色小正方形比灰色小正方形正好多多少个？ 【答案】(1)白色小正方形的数量，灰色小正方形的数量为 (2)254 【分析】本题考查了图形中的数字规律，观察目标正方形的数量与图形的序号之间的关系，构建其二者联系的代数式即可． (1)第一个图形中灰色小正方形的数量是，第2个图形中灰色小正方形的数量是，第3个图形中灰色小正方形的数量是，由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； 第一个图形中小正方形的数量是，第2个图形中小正方形的数量是，第3个图形中小正方形的数量是，由此得到第n个图形中小正方形的数量是；从而得到白色小正方形的个数为，解答即可． (2)根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一个图形中灰色小正方形的数量是， 第2个图形中灰色小正方形的数量是， 第3个图形中灰色小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中灰色小正方形的数量是； 第一个图形中小正方形的数量是， 第2个图形中小正方形的数量是， 第3个图形中小正方形的数量是， …， 由此得到第n个图形中小正方形的数量是； 从而得到白色小正方形的数量为． （2）解：根据题意，得， 当时，． 即白色小正方形比灰色小正方形多254个． 【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 观察图案可得：第一个图案正三角形有4个．六边形有1个，第二图案正三角形有6个，六边形有3个． (1)第4个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形有 个，六边形有 个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由见解析 【分析】本题考查了多边形和图形的变化类的规律． （1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10，4； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个， 故答案为：，； （3）解：没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形． 【变式2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案． (1)第个图案需要木棒 根，第个图案需要木棒 （用含n的式子表示）根． (2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？ 【答案】(1)11； (2)51 【分析】本题考查了根据图形变化找规律，仔细观察图形的变化，找到规律是解题关键．第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，据此解答． 【详解】（1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒； 故答案为：11； （2）解：当时，， ∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是． 【变式3】（24-25七年级上·河南商丘·期末）【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【答案】（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 【考点13 与数字有关的规律探究问题】 【例13】（24-25七年级上·全国·期末）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数n 连 续 偶 数 的 和 S 1 2 3 4 5 (1)根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S的公式为：___________； (2)根据上题的规律计算：的值．（要求写出过程） 【答案】(1)n（n+1） (2)37650 【分析】考查了数列求和，解题的关键是注意所给的具体式子，观察结果和数据的个数之间的关系． （1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是． （2）根据（1）中发现的规律求解即可； 【详解】解：（1）观察表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可以发现规律：； 故答案为：; （2）令，则， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）【观察思考】 ； ； ； ； …… 【尝试探索】 （1）将写成6个连续奇数的和：___________； 【规律表达】 （2）任意大于1的正整数的三次幂可以写成个连续奇数的和，则这个连续奇数中最大的数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【规律应用】 （3）若可以写成个连续奇数的和，其中有一个奇数是2025，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的规律， 根据题目给出的规律得到相应的表达式是解题的关键； （1）根据题目给出的规律，可以发现每个正整数的三次幂可表示为个连续奇数的和，推导这些奇数的起始数，起始数是； （2）推导出最大数的表达式，最大数是； （3）根据最大数表示，根据，先大约猜出在45附近取值，即可得到结果； 【详解】解：（1）∵起始数是， ∴当时，起始数为：31， ∴． 故答案为：； （2）由最大数是化简为； 故答案为：； （3）∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·广西河池·期末）观察下列算式： 按规律填空： (1) ； (2) ； (3) ； (4)根据以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法，规律型：数字的变化类，解题关键在于掌握计算法则找到规律. （1）首先根据前面的式子的规律即可求解； （2）探索当个数相加时，每个式子等号左右两边与的关系，然后根据规律求解； （3）利用（2）中的规律即可得； （4）由上述规律得：，，则，计算即可. 【详解】（1）解：根据所给算式规律可得， 故答案为：； （2）解：由题意，得，，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）中规律可得， 故答案为：； （4）解：由上述规律得：，， ∴ ． 【变式3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式： ；；； ；；…… (1)请再写出一个符合上述规律的等式：__________________________________________； (2)有同学说，“任意两个正整数乘积的倒数都符合上述规律”请你证明； (3)设，，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数字变化的规律，解题的关键是：得到． （1）观察所给等式，发现各部分变化规律，即可求解， （2）设两个正整数，，据此得出等式并证明，即可求解， （3）根据（2）中发现的规律，代入进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题知，符合上述规律的等式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）设两个正整数，， 即证明：成立， 过程如下：右边左边， 故此等式成立， （3）解： ， ∴ ． 【考点14 整式中的新定义型问题】 【例14】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求a的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、整式加减运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据题意可知，结合新定义运算将化简，然后将代入求值即可； （3）首先根据新定义运算计算与的差，结合知与的差中不含项可知，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知 ； （2）∵a，b互为相反数，x是最大的负整数 ∴， ∴ ； （3）根据题意，可知与的差为 ， ∵与的差中不含项， ∴，得解． 【变式1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)a与b互为“和偶数”；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，绝对值的意义，解题的关键是理解并掌握“和偶数”的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）根据“和偶数”定义可得答案； （2）列出算式，去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于2即可； （3）由c与d互为“和偶数”知，据此可得，然后分类讨论，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4与互为“和偶数”， ∵， ∴与互为“和偶数”． （2）解：a与b互为“和偶数”， 理由：∵ ， ∴a与b互为“和偶数”； （3）解：∵c与d互为“和偶数”， ∴， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，c与d互为“和偶数”． 【变式2】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 【答案】(1)5， (2)a与b是关于8的友好数； (3)1 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算得到，即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算得到，再整体代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴a与b是关于8的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于8的友好数， ∴，即：， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）下列式子：①；②；③；④，其中符合代数式书写规范的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则：数字和字母的乘积的形式，用点乘或省略乘号，除号用分数线表示，带分数化为假分数，系数为1的数字1省略，逐一进行判断即可． 【详解】解：①应该写成，不符合题意； ②符合题意； ③应该写成，不符合题意； ④符合题意； 综上所述，其中符合代数式书写规范的有2个． 故选B． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 【答案】C 【分析】此题考查了单项式、多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式、多项式的知识，逐选项进行判断，然后即可求解； 【详解】解：单项式的系数是，次数是3，A选项错误； 单项式的系数是，次数是2，B选项错误； 是二次多项式，C选项正确； 多项式的常数项是，D选项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南丽江·期末）现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．从三方面(符号、系数的绝对值、指数)观察可得规律：符号的规律：都是负、正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第n个对应的指数是．即可求第8个单项式． 【详解】解：∵，…， ∴第n个单项式是， 当时，第8个单项式是： 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法，两个有理数比较大小，绝对值化简等．根据已知条件、可得，结合可判断①和②正确；化简绝对值表达式③可得值为1；对于④，通过代入计算发现可能为4或8，不一定为8，故④错误． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ ，； ∵ ，， ∴ ，，； ∵ ， ∴ ，； ∴ ，故③正确； ∵ ，且， ∴ ，； ∵ ， ∴ 或； 若，则，，； 若，则，，； ∴不一定为8，故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：A． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第2025个图案中灰色小正方形的个数为（   ） A．8101 B．8100 C．8098 D．8099 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题干信息，得出第n个图案中灰色小正方形的个数为个．再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中灰色小正方形的个数为：； 第2个图案中灰色小正方形的个数为：； 第3个图案中灰色小正方形的个数为：； …， ∴第n个图案中灰色小正方形的个数为个． 当时， 即第2025个图案中灰色小正方形的个数为个． 故选：A 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同类项、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查代数式求值，运用整体代入法．观察代数式是已知条件的3倍，因此可通过整体代入求解． 【详解】解：由，得， 故答案为：23． 8．（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为0．根据已知条件即可得出，进而得出答案． 【详解】解：∵不含三次项及一次项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个日历表，现在用长方形任意框出4个数．若右上角的数用a来表示，则这4个数的和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值．根据表格中的数据，可以用含的代数式表示出框内其他的三个数，然后将四个数相加，即可解答本题． 【详解】解：由图可知， 右上角的数为，则左上角的数为，右下角的数为，左下角的数为， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】根据数轴可以得到，，，然后即可将所求式子的绝对值去掉，再计算加减法即可． 本题考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由数轴可得， ，， ，，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，以及非负数的性质等，掌握整式的加减运算法则，熟练运用非负性求出未知数的值是解题关键．原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 【答案】(1)二，去括号时未变号 (2)，过程见解析 【分析】本题考查整式的减法计算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号； （2）根据整式的减法计算法则计算即可． 【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时未变号； （2） 当时，原式 14．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，，其中m为的倒数，． (1)求m的值，并化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，倒数的定义，掌握先化简，再把给定字母的值代入计算这一过程是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求出m的值，将m，n代入A，B中，根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的中，计算即可． 【详解】（1）解：∵m为的倒数， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：当，时，． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则进行计算，再代值计算即可； （2）根据代数式的值与a的取值无关，得到含a的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解：（1）中化简后的结果为， 要使得代数式的值与a的取值无关， 则， ∴． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数，面积分别为、． (1)请分别用含的式子表示出、，并判断______填“、、”号． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式求出，，然后利用作差法比较大小即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 为正整数， ， ． 故答案为：． （2）当时， ． 17．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； (2)请求出当，，时，S的值（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值等知识点，根据图形、利用三角形与圆的面积公式列出代数式是解题的关键． （1）根据列式即可； （2）将、、代入由（1）所得的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 答：剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S为． （2）解：当，，时， ． 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解答下列问题． (1)若有理数x，y满足，，且，求的值； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示，请化简． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】本题考查了绝对值性质，代数式求值，有理数与数轴，熟练掌握绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键． （1）利用绝对值性质得到，再根据，即异号，分情况列式计算，即可解题； （2）根据数轴可知，，进而得到，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：有理数x，y满足，， ， ，即异号， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为1或； （2）解：由图知，， ， 则 ． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，见解析 【分析】本题考查了代入法解方程及分式化简，正确代入已知条件并简化复杂式子是解题的关键．首先利用已知条件求出a和b的值， （1）通过代入时建立方程； （2）利用方程解的条件求k的值，进而化简代数式； （3）需判断当时分式的值是否为定值，需代入计算并分析结果是否与m有关． 【详解】（1）解：当，，移项得; （2）解：把代入， 得． 由，即，代入上式: ， 化简得． ; （3）解：是定值，理由如下： 当时，代数式 的值为 5， 即：， 又当 时，代数式 的值为 m（）， 即： 当 时，代数式 的值为：， 代数式 A 的值为： ， 由①得，代入：， 分母， ， 当时，代数式的值为． 20．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，这是由若干个边长均为1的灰、白两种颜色的小正方形组成的大正方形图案， 小河同学根据图案中每个白色小正方形的个数得到以下对应的式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… (1)写出第6个式子：______． (2)写出第个式子______（用含的代数式表示）． (3)请计算图1到图19中白色小正方形的总个数． 【答案】(1) (2) (3)399 【分析】本题主要考查图形与数字类规律问题，解题的关键是得出一般规律； （1）根据题中所给式子及图形可进行求解； （2）由（1）可得出一般规律； （3）根据（2）中的规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得： 第6个式子：； 故答案为； （2）解：∵第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， 第5个式子：， 第6个式子：； ……； ∴第个式子：； 故答案为； （3）解：由题意得： ． 21．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【教材原题】 （1）如图甲、乙，若，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 （2）当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】 （3）A，B两地相距100千米．某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A 地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．问出发多少小时甲、乙两人相距20千米？ 【答案】（1）10；（2）；（3）当经过时间为为小时或小时，两人相距20千米 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）先表示长方形A与B的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再把代入整理可得，再整体代入计算即可； （3）由2小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距20千米，当两人相遇后，相距20千米，再列式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知： ， ∵， 原式 （2）当时，则， ， 当时， （3）由题意可得：， ∴， 当两人相遇前，相距20千米， （小时）； 当两人相遇后，相距20千米， （小时）， 综上：当经过时间为为小时或小时，两人相距20千米． 22．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $