精品解析：河北省邢台市任泽区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

河北省2026届九年级阶段评估（二） 数学 ▶上册第二十一章～下册第二十七章◀ 注意事项：总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 反比例函数的形式为（k为常数，），据此判断各选项． 【详解】解：选项A．是正比例函数，不符合题意； 选项B． 是二次函数，不符合题意； 选项C．，符合形式，其中，符合题意； 选项D．，含有常数项，不符合反比例函数定义． 故选：C． 2. 下列运动形式属于旋转的是（） A. 火箭升空 B. 钟摆的摆动 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 3. 已知反比例函数的图象如图所示，则“”的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，掌握“反比例函数图象所在象限与比例系数符号的关系”是解题关键．根据反比例函数的性质：当时，图象位于一、三象限；结合题目中图象经过一、三象限的条件，可推出，进而确定的取值范围． 【详解】解：反比例函数，当时，图象位于一、三象限，当时，图象位于二、四象限， 由题意得，的图象位于一、三象限， ， ， 的值可以是． 故选：． 4. “这么近，那么美，周末到河北！”嘉嘉和爸爸周末到河北博物院游玩，其中有藏品战国透雕龙凤纹铜铺首、战国中山王铁足铜鼎、刘胜金缕玉衣、西汉长信宫灯，从这四种文物中随机选择一种文物进行参观，恰好选择的文物是刘胜金缕玉衣的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算方法；关键是熟练应用公式进行计算；按照概率的计算公式计算即可． 【详解】解：∵总事件数，某事件数， ∴； 故答案选：C． 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质．本题核心是理解位似图形与相似图形的关系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面积比与相似比的数量关系（面积比为相似比的平方）．通过明确相似比，进而求出面积比是解题关键．位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离比；而相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此可逐步推导． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，， 与的相似比为， 与的面积之比为，对应选项A． 故选：A． 6. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 7. 如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴．故本选项的结论成立； B、∵，∴．故本选项的结论成立； C、∵，∴，∴．故本选项的结论成立； D、∵，， ∴，， ∴，， ∵与不一定相等， ∴不一定成立． 故选：D． 8. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动．若滑轮上某一点旋转了，则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意得到重物上升的高度为定滑轮上点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：当滑轮上某一点旋转了时，重物上升的高度就是点转过的弧长， 则重物上升的高度为， 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A. B. 1 C. 0 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与一般形式，掌握知识点是解题的关键． 根据常数项为0可得，但需确保方程为一元二次方程，即二次项系数，即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或 又∵方程为一元二次方程， ∴，即． ∴． 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 11. 如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质． 根据题意可得，，四边形是矩形，得出，，，设，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意,可得，， , ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ， ． 设， ，， ，解得， ，故选B． 12. 用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小确定最佳方案即可． 【详解】解：方案1：设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米， 矩形的面积为， 则矩形面积最大值为； 方案2：过点作， 设长为，， 由勾股定理得， 等腰三角形的面积为， 则， 令得：， 因此，等腰三角形的面积最大值为； 方案3：设半圆的半径为，半圆的弧长为， 由围栏长度得，解得， 则半圆的面积为， 取，则， 由于， 因此，最佳方案是方案3， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，点在上．若，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中同弧所对圆周角相等是解题的关键．本题可依据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等这一圆周角定理来求解的度数． 【详解】解：中，， ． 故答案为：． 14. 如图，是的边上的一点，添加一个条件________，使（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”，即可求解． 【详解】解：由题意得，（公共角）， 所以可添加，使． 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值．根据反比例函数解析式，分别计算各点纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：由，对于点，； 对于点，； 对于点，． ∵， ∴． 故答案为： 16. 如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、熟练掌握“角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键． 根据旋转的性质易得和，进而得到是等腰三角形，过点作于点，根据“角所对的直角边是斜边的一半”的性质得到的长，观察图形发现图中阴影部分的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：、 是等腰三角形， 过点作于点， ， 绕点逆时针旋转，得到 图中阴影部分的面积为， 即， 因此图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）已知点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程解法以及反比例函数图象与解析式之间的关系．两个小题均属于基础运算题，重点考察代数运算与函数概念的理解． （1）通过因式分解法直接求解即可； （2）已知点坐标代入函数解析式即可解出参数的值． 【详解】解：（1） 或， 解得：，； （2）点在反比例函数的图象上， ，解得， ． 18. 如图，四边形． （1）______°，______°． （2）求的值． 【答案】（1）144；83 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似图形的性质，多边形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据相似图形的性质与多边形的内角和求解即可； （2）根据相似图形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形， ∴． 故答案为：144；83． 【小问2详解】 ∵四边形， ∴， 即， 解得． 19. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 证明：， ， 、， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 一个不透明的口袋里装有四张卡片①②③④（如图），其中①③上的图形是大小不同的等腰直角三角形，②④上的图形是大小不同的正方形，四张卡片除了图形不同外，其他完全相同． （1）若从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为______． （2）若从中任取两张卡片（不放回），请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上的图形相似的概率． 【答案】（1） （2）画图见解析，取出的两张卡片上的图形相似概率为 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，相似图形，运用概率公式求概率，列举法求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）先找出图形是中心对称图形的卡片，再根据概率公式求解即可； （2）图形相似的卡片是①与③，②与④，用画树状图法或列表法找出所有等可能的情况，再找出满足要求的条件，即可求解． 【小问1详解】 解：图形是中心对称图形的卡片是②④， 所以从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：图形相似的卡片是①与③，②与④， 画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的图形相似的结果有4种， 则P（取出的两张卡片上的图形相似）． 21. 如图，在等腰中，，以的长为直径的交于点，过点作边的垂线，垂足为，且交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为4，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）设的长度为，根据，可求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． ， ， ， ． ， ． 又点在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：设的长度为． ， ， ， ， 解得，经检验，是分式方程的解， 的长度为4． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出当时，不等式的解集． （3）连接，，则的面积为______． 【答案】（1），一次函数的表达式为 （2） （3）8 【解析】 【分析】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，需熟练运用待定系数法求函数表达式、结合图象分析不等式解集、利用“分割法”求三角形面积，其中准确找到关键点（如函数交点、坐标轴交点）是解题核心． （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征先求，再确定点坐标，进而通过待定系数法求一次函数表达式； （2）根据一次函数与反比例函数图象的上下位置关系确定不等式的解集； （3）通过求一次函数与轴交点，将的面积转化为两个三角形面积的差来计算． 小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 将，代入，可得， 反比例函数的解析式为， 又点在反比例函数的图象上， 将代入，得，解得， 点的坐标为， 将点和代入一次函数， 得到方程组， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知一次函数为，反比例函数为， 两函数图象交于和， 结合图象，当时，一次函数的图象位于反比例函数的图象上方，即满足， 不等式的解集为； 【小问3详解】 先求一次函数与轴的交点： 令，则，记该交点为， 的面积为：， 的面积为：； 的面积为． 故答案为：． 23. 综合与实践 【情境】在综合实践课上，数学老师带领同学们分割长方形木板，如图，长方形木板上已经画好一条分割线，要求再画一条分割线将长方形木板分为4部分，且分割线垂直平分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉：如图1，作的垂直平分线交于点，交于点． 淇淇：如图2，①作的垂直平分线交于点，交于点，②作，③过点作（作图详细过程略）． 【探究】（1）根据嘉嘉的思路利用尺规补全作图．（保留作图痕迹，不写作法） （2）试说明淇淇作法的正确性（证明：垂直平分）． 【拓展】（3）如图3，在长方形中，点在边上，将向右平移得到，点在边上，将向下平移得到，与交于点，，．若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）作图见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的定义，平行线分线段成比例，平移的性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由长方形得到，因此，进而得到由得到．由得出，即，因此得到垂直平分； （3）如图2，在左侧作，交线段的延长线于点，连接．设与交于点，则，得到①．由平移得到，，，，证明，，得到，从而②，由①和②即可求解． 【详解】解：（1）如图1，直线为所求． （2）四边形为长方形， ， ． 又， ， ． ， ， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， 垂直平分． （3）如图2，在左侧作，交线段的延长线于点，连接． 设与交于点， 由平移可知，，，． ，， ， ①． ，， ． ， ， ， ，即． ， ， ． ， ， ， ，即②． 由①和②可得． 24. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，已知，为抛物线的顶点． （1）求的值及点的坐标． （2）如图，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标． （3）如图，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． ①请直接写出新抛物线的表达式，并判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； ②过点作直线与新抛物线交于点（点在新抛物线的对称轴的左侧），与抛物线交于另一点．是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，直接写出直线的表达式;若不存在，请说明理由． 【答案】（1），的坐标为 （2）点的坐标为 （3）①，点在新抛物线上；②存在．直线的表达式为 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交点得长度，结合确定点坐标，代入抛物线表达式求解，再求抛物线与轴交点得点坐标； （2）先求抛物线顶点的坐标，设出点坐标，求出直线的表达式得点坐标，再结合三角形面积相等的条件列方程求解点坐标； （3）①根据抛物线平移规律（左加右减）写出的表达式，代入点坐标验证是否在上； ②设出直线的表达式，联立抛物线方程得、点坐标，结合内切圆圆心在上（为角平分线）的条件列方程求解直线的表达式． 【小问1详解】 解：由题意可得点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的表达式为， 顶点的坐标为， 设点，其中， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的表达式为， 点的坐标为， ， ， ，即， 解得，（舍去）， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：①，点在新抛物线上． 抛物线的表达式为， 抛物线沿轴向左平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线的表达式为， 点的坐标为， 点在新抛物线上； ②存在，直线的表达式为． 设直线的表达式为（）， 联立与， 得， 解得（舍去），， 点， 同理可得点， 由点，易得直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为， 的内切圆的圆心在直线上，即为的平分线， 而轴， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 直线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、函数图象的平移、三角形面积关系、角平分线的性质等知识，熟练掌握二次函数的表达式求解、图象平移规律及几何图形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026届九年级阶段评估（二） 数学 ▶上册第二十一章～下册第二十七章◀ 注意事项：总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（） A. B. C. D. 2. 下列运动形式属于旋转的是（） A. 火箭升空 B. 钟摆的摆动 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 3. 已知反比例函数的图象如图所示，则“”的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. “这么近，那么美，周末到河北！”嘉嘉和爸爸周末到河北博物院游玩，其中有藏品战国透雕龙凤纹铜铺首、战国中山王铁足铜鼎、刘胜金缕玉衣、西汉长信宫灯，从这四种文物中随机选择一种文物进行参观，恰好选择的文物是刘胜金缕玉衣的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 7. 如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A. B. C. D. 8. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索与滑轮之间没有相对滑动．若滑轮上某一点旋转了，则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A. B. 1 C. 0 D. 1或 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 用10米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形三种方案（如图所示），最佳方案是（ ） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 都一样 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，点在上．若，则______°． 14. 如图，是边上的一点，添加一个条件________，使（写出一个即可） 15. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 16. 如图，绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）已知点在反比例函数的图象上，求的值． 18 如图，四边形． （1）______°，______°． （2）求的值． 19. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 一个不透明的口袋里装有四张卡片①②③④（如图），其中①③上的图形是大小不同的等腰直角三角形，②④上的图形是大小不同的正方形，四张卡片除了图形不同外，其他完全相同． （1）若从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为______． （2）若从中任取两张卡片（不放回），请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上的图形相似的概率． 21. 如图，在等腰中，，以的长为直径的交于点，过点作边的垂线，垂足为，且交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，的半径为4，求的长度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，． （1）求的值和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出当时，不等式的解集． （3）连接，，则的面积为______． 23. 综合与实践 【情境】在综合实践课上，数学老师带领同学们分割长方形木板，如图，长方形木板上已经画好一条分割线，要求再画一条分割线将长方形木板分为4部分，且分割线垂直平分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉：如图1，作的垂直平分线交于点，交于点． 淇淇：如图2，①作的垂直平分线交于点，交于点，②作，③过点作（作图详细过程略）． 【探究】（1）根据嘉嘉的思路利用尺规补全作图．（保留作图痕迹，不写作法） （2）试说明淇淇作法正确性（证明：垂直平分）． 【拓展】（3）如图3，在长方形中，点在边上，将向右平移得到，点在边上，将向下平移得到，与交于点，，．若，请直接写出值（用含的代数式表示）． 24. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，已知，为抛物线的顶点． （1）求的值及点的坐标． （2）如图，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标． （3）如图，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． ①请直接写出新抛物线表达式，并判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； ②过点作直线与新抛物线交于点（点在新抛物线的对称轴的左侧），与抛物线交于另一点．是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，直接写出直线的表达式;若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $