江西省南昌市新建区南昌二中心远教育集团九湾学校（南昌市湾里管理局九湾学校）2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

南昌二中心远教育集团九湾学校2025-2026学年第一学期12月月考 初三数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.已知，，则(    ) A. B. C. D. 3.“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，年平均亩产量约公斤，年平均亩产量约公斤若设平均亩产量的年平均增长率为，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是(    ) A. B. C. D. 5.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.分解因式：          ． 8.习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有亿人在平台上学习．亿这个数用科学记数法表示为          ． 9.一元二次方程配方为，则的值是          ． 10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为_____． 11.如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为          结果用含，的式子表示． 12.如图，在中，，，点为中点，点在上，当为          时，与以点，，为顶点的三角形相似． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分。 13.计算：； 解不等式组： 14.如图，点，分别在正方形的边，上，，，． 求证：∽． 15.如图，三个顶点的坐标分别为，，． 以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出，写出，，的坐标 请用无刻度直尺作出的平分线保留作图痕迹 16.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． 求证：； 若，，求的度数． 17.如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． 试判断与的位置关系，并说明理由； 过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 18.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． 求点对应的指标值； 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 19.为纪念建国周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：我爱你，中国，歌唱祖国，我和我的祖国分别用字母，，依次表示这三首歌曲比赛时，将，，这三个字母分别写在张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． 八班抽中歌曲我和我的祖国的概率是______； 试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八班和八班抽中不同歌曲的概率． 20.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒． 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润． 五、解答题：本题共2小题，每小题9分，共18分。 21.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为    求直线的解析式；                                                                    直线与轴交于点，若点是直线上一动点不与点重合，当与相似时，求点的坐标． 22.某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 选取与树底位于同一水平地面的处； 测量，两点间的距离； 站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 测量到地面的高度． 选取与树底位于同一水平地面的处； 测量，两点间的距离； 在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 测量，两点间的距离； 测量到地面的高度． 测量数据 ； ； ． ； ； ． 备注 图上所有点均在同一平面内； ，均与地面垂直； 参考数据：． 图上所有点均在同一平面内； ，均与地面垂直； 把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 六、解答题：本题共1小题，12分。 23.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线过、两点，连接． 求抛物线的解析式； 求证：∽； 点是抛物线上的一点，点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为抛物线对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 织 南昌二中心远教育集团九湾学校2025-2026学年 第一学期12月月考初三数学试卷答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 0] [0] [0] [o] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [21 [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效， [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5.保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [51 [5 [5] [6] [6] [6] [6] [6] [61 6 [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [] [7] [7] [7] [] [7] [8] [8J [8] [8] [8] [81 [8] [ [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 单选题 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、 填空题 7 8. 9. 10. 11 12 三、解答题 2x-3≥-5， 13. ()计算：（后+）÷（分-： (2)解不等式组： x+2<x 14. A D 1 B E C 囚囚■ 15. 17654 3 2 A 012 345 6789x 16. A G B E C 17. E D B 四、解答题 18. ◆（指标） B 45 y D 01020 45 x(分钟 囚 囚■ ■ 19 1 20. 1 五、 解答题 21. I ■ 囚■囚 ■ ▣ 22. 六、解答题 23. D M E B 囚■囚 a 南昌二中心远教育集团九湾学校2025-2026学年第一学期12月月考 初三数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B.是整数，故本选项不合题意； C.是无理数，故本选项符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义，熟记实数的分类是解答本题的关键． 2.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的是幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法有关知识， 利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法对该式变形，然后再代入计算即可． 【解答】 解：，， ，， 原式 3.“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，年平均亩产量约公斤，年平均亩产量约公斤若设平均亩产量的年平均增长率为，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意得：， 故选：． 设“海水稻”的平均亩产量的年平均增长率为，根据“年平均亩产量平均亩产量的年平均增长率年平均亩产量”，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 4.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中和的符号对函数图象的影响是解题的关键．分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【解答】 解：当时，过一、二、三象限；过一、三象限； 当时，过一、二、四象象限；过二、四象限． 观察图形可知，只有选项符合题意． 5.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，， ， 为直角三角形，， 、与分别相切于点、   ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 阴影部分即四边形的面积是． 故选：． 利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积． 本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质． 6.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】 解：由二次函数的图像开口向下，得； 由二次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴上，得 由二次函数图像的对称轴在轴右侧，得， 结合得则，故错误； 由图像易得当时，，则，故正确 因为二次函数的图像关于直线对称，且点关于直线的对称点为， 则当时，，故正确 由图像易得方程的两根分别满足，， 则，即，则，故错误 由函数图像易得当时函数取得最大值， 所以对任意，都有， 即，故正确． 综上所述，正确的结论有． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.分解因式：          ． 【答案】  【解析】【分析】 首先直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【解答】 解： ． 故答案为：． 8.习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有亿人在平台上学习．亿这个数用科学记数法表示为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了对科学记数法的理解和运用．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【解答】 解：亿． 故答案为：． 9.一元二次方程配方为，则的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值． 【解答】 解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为． 10.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为_____． 【答案】  【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 反比例函数的图象与交于两点，且 设，则 则 点在第一象限 把代入得 经检验：都是原方程的解 故答案为： 11.如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为          结果用含，的式子表示． 【答案】  【解析】略 12.如图，在中，，，点为中点，点在上，当为          时，与以点，，为顶点的三角形相似． 【答案】或  【解析】为中点，当时，，∽，；当时，，∽，综上，或故答案为或． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 13.计算：； 解不等式组： 【答案】解：原式 ； 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为．  【解析】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的混合运算，正确求出每一个不等式解集并掌握分式的混合运算顺序和运算法则是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先计算括号内分式的加减运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 如图，点，分别在正方形的边，上，，，． 求证：∽． 【答案】证明：，，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ∽．  【解析】先根据，得出的长，进而可得出的长，由相似三角形的判定即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 15.本小题分 如图，三个顶点的坐标分别为，，． 以原点为位似中心，在第一象限内将放大为原来的倍得到，作出，写出，，的坐标 请用无刻度直尺作出的平分线保留作图痕迹 【答案】(1)解:如图所示,即为所求. (6,2),(2,4),(8,6).   (2)如图所示,射线AP即为BAC的平分线.   【解析】 略  略 16.本小题分 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． 求证：； 若，，求的度数． 【答案】解：证明：， ． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ≌， ． ，， ， ． ≌， ， ．  【解析】由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出； 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键． 17.本小题分 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． 试判断与的位置关系，并说明理由； 过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】解：与相切， 理由：连接， ， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， 与相切； 的平分线交于点，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， 故图中阴影部分的面积为：．  【解析】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出的长是解题关键． 直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出，进而得出答案； 利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 18.本小题分 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． 求点对应的指标值； 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入 得：， 解得：， 反比例函数的解析式为：， 当时，， ， ，即对应的指标值为； 能，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入 得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，，解得：， 由得反比例函数的解析式为：， 当时，，解得：， 时，注意力指标都不低于， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于．  【解析】设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； 求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 19.本小题分 为纪念建国周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：我爱你，中国，歌唱祖国，我和我的祖国分别用字母，，依次表示这三首歌曲比赛时，将，，这三个字母分别写在张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． 八班抽中歌曲我和我的祖国的概率是______； 试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八班和八班抽中不同歌曲的概率． 【答案】 树状图如图所示： 共有种可能，八班和八班抽中不同歌曲的概率．  【解析】解：因为有，，种等可能结果， 所以八班抽中歌曲我和我的祖国的概率是； 故答案为． 见答案 【分析】 直接根据概率公式计算可得； 画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 20.本小题分 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒． 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润． 【答案】解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元， 答：猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元； 由题意得，当时，每天可售出盒， 当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒， ， 配方，得：，开口向下， 时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为：元． 答：关于的函数解析式为，且最大利润为元．  【解析】设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； 由题意得，当时，，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值． 本题考查了二次函数的应用以及分式方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为    求直线的解析式；                                                                    直线与轴交于点，若点是直线上一动点不与点重合，当与相似时，求点的坐标． 【答案】解：设直线的解析式为， 将，代入得：，解得：． 故直线的解析式为：； 如图： 直线与轴的交点为， ， 点的坐标为， ， ， 与轴交于点， ， 当∽， ， ， ，， 过点作，垂足为， ， ， ， ， 当∽， ， ， ， ，解得， ， 则，或   【解析】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键． 设直线的解析式为，用待定系数法将，的坐标代入即可； 由直线与轴的交点为，得到，由点的坐标为，得到，求得，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论． 22.本小题分 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 选取与树底位于同一水平地面的处； 测量，两点间的距离； 站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 测量到地面的高度． 选取与树底位于同一水平地面的处； 测量，两点间的距离； 在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 测量，两点间的距离； 测量到地面的高度． 测量数据 ； ； ． ； ； ． 备注 图上所有点均在同一平面内； ，均与地面垂直； 参考数据：． 图上所有点均在同一平面内； ，均与地面垂直； 把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】解：“测角仪”方案： ，，，四边形是矩形， ，， ，，． 答：树的高度为． “平面镜”方案：，，， ，，，，， 答：树的高度为．   【解析】略 23.本小题分 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线过、两点，连接． 求抛物线的解析式； 求证：∽； 点是抛物线上的一点，点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为抛物线对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 【答案】解：直线过、两点， 当时，代入，得，即， 当时，代入，得，即， 把，分别代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 抛物线与轴交于点， ， 解得，， 点的坐标为， ，， 在中，，， ， ， ， ， 又， ∽； 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， 当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为， ，， 点和点关于对称轴对称， 如图， 连接交对称轴于点，此时最小， 连接交直线于点，则，点的坐标为， ， ， 的最小值为．  【解析】直线过、两点，可求、两点坐标，把，分别代入，可得解析式． 抛物线与轴交于点，即，可得点的横坐标，由相似三角形的判定得：∽． 设点的坐标为，则点的坐标为，由坐标得，当时，线段的长度最大，此时，点的坐标为，即点和点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，此时最小，连接交直线于点，则，由勾股定理得，根据，即可求解． 本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定等． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $