精品解析：江西省某校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

吉安八中2025—2026学年上学期第二次月考八年级数学试卷 一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中是无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图象中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 5. 如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 6. 一次函数与，它们在同一坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于轴对称，则_____． 8. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 9. 已知，则的立方根为_____． 10. 如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是____________________． 11. 如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为______． 12. 平面直角坐标系中，x轴的一条垂线MN分别交x轴于点M，交直线y=2x+3于点N，当点N位于第二象限，且y轴上存在一点P，使△MNP为等腰直角三角形时，△MNP的直角顶点坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 解方程组： （1）； （2）． 15. 已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 16. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图： （1）如图1，请以线段为斜边作等腰直角； （2）如图2，请以线段底边作等腰，且使得腰长为有理数； 17. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元． （1）求每销售一件种伴手礼和一件种伴手礼各获利多少元？ （2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，其中种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种伴手礼件． ①求与的函数关系式； ②当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 19. 已知：如图，已知三个点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的图形；写出各顶点坐标； （2）求面积． 20. 在学习二次根式后，小宇发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如： 请你参照上面的方法，解决下列问题： （1）用上述方法将化成一个式子的平方； （2）若，当a，b均整数时，则a= ，b= ； （3）计算 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时，的取值范围； （3）是轴上一点，若的面积为8，请求出点的坐标． 22. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系． （1）货车行驶的速度为______； （2）求所在直线的函数解析式； （3）直接写出两车出发多长时间相距． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23 如图1，已知直线：交轴于，交轴于. （1）直接写出的值为______. （2）如图2，为轴负半轴上一点，过点的直线：经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值. （3）如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2025—2026学年上学期第二次月考八年级数学试卷 一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在中， 是有理数，是无理数， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原式错误； B、，原式错误； C、，原式正确； D、，原式错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列图象中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，符合题意； C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意； 故选：B． 4. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5. 如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据“与的差为2，小长方形的周长为14”，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 6. 一次函数与，它们在同一坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项中的图像不可能存在； B、：；： ； 故此选项的图像不可能存在； C、：；： ； 故此选项的图像可能存在； D、：；： ； 故此选项的图像不可能存在； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，代数式求值，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此可求出m和n的值，再计算． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 8. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象中随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图象中随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： ． 9. 已知，则的立方根为_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值及立方根的定义，根据非负数的性质得到关于的二元一次方程组，求出的值，进而得到的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴得，， ∴， ∵， ∴的立方根为2． 故答案为：． 10. 如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点、的坐标．令可得，即点根据正方形的性质可得点的横坐标，待入解析式即可求得点的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点的坐标． 【详解】解：正方形，边在轴的正半轴上， ，，、、、轴， 顶点，在直线， 令，则， 点， 点的横坐标为3， 将代入直线，得， 点、的纵坐标是， 即， 点的横坐标为， 即点， 故答案为：． 11. 如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，先求出函数，的交点坐标为，运用数形结合思想作答即可．掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 【详解】解：由整理得， 依题意，把代入，解得， 即函数，的交点坐标为， 再结合图象得出的解为， 即关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 12. 平面直角坐标系中，x轴的一条垂线MN分别交x轴于点M，交直线y=2x+3于点N，当点N位于第二象限，且y轴上存在一点P，使△MNP为等腰直角三角形时，△MNP的直角顶点坐标为________． 【答案】（-1，0），（-1，1）或（0，） 【解析】 【分析】分三种情况：以∠PMN为直角；以∠PNM为直角，以∠MPN为直角，分别讨论即可. 【详解】解：分情况讨论： ①以∠PMN为直角，如图： 此时MN = PM，设M点的坐标是(m，0)，则N点坐标为(m，-m)， ∵点N在直线y=2x+3上， ∴-m=2m+3， 解得m=-1， ∴此时的直角顶点坐标为(-1，0)，符合题意； ②以∠PNM为直角，如图： 此时MN = PN， 设M点的坐标是(m，0)，则N点坐标为(m，-m)， ∵点N在直线y=2x+3上， ∴-m=2m+3， 解得m=-1， ∴直角顶点N的坐标为(-1，1)，符合题意； ③以∠MPN为直角，如图： 此时PM = PN，过点P作PQ⊥MN，交MN于点Q， 设点M的坐标是(m，0)，则PQ=QM=QN=-m，则点N的坐标为(m，-2m)， 把点N(m，-2m)代入直线y=2x+3，得-2m=2m+3， 解得m=， ∴直角顶点P的坐标为（0，），符合题意. 故答案为：（-1，0），（-1，1）或（0，） 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，用方程的思想解决问题是解答此题的关键. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，去括号，再计算二次根式乘法，再加减即可； （2）先化简绝对值，计算零指数幂，立方根，再计算乘法，然后进行加减计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的实质就是消元，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先整理，再利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：方程组可化为， ，得③， ，得④， ，得， 解得， 把代入②，， 解得， 所以原方程组的解是． 15. 已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，，或0； （2） 当时，平方根为；当时，平方根为． 【解析】 【分析】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是，则， ∴； ∵的算术平方根是2，则，即， ∴； ∵c的算术平方根等于本身， ∴或0， ∴，，或0； 【小问2详解】 解：当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 16. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺在网格内完成下列作图： （1）如图1，请以线段为斜边作等腰直角； （2）如图2，请以线段为底边作等腰，且使得腰长为有理数； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，取格点C，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可； （2）如图证明是线段的垂直平分线，从而推出，在利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由（1）得， ∵F是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键． 17. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 【答案】（1）； （2）17米 【解析】 分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：在中， 即 解得： 答：旗杆的值为17米． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元． （1）求每销售一件种伴手礼和一件种伴手礼各获利多少元？ （2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，其中种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种伴手礼件． ①求与的函数关系式； ②当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 （2）①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即或； （2）①根据“总利润等于两种商品利润和”列出函数关系式即可；②根据题意求出①中函数最大值即可． 【小问1详解】 解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： 解得： 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． 【小问2详解】 ①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 19. 已知：如图，已知三个点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的图形；写出各顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、网格中图形的面积等知识点，掌握轴对称的性质以及割补法求面积是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可解答；然后写出点的坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求．． 【小问2详解】 解：的面积为． 20. 在学习二次根式后，小宇发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如： 请你参照上面的方法，解决下列问题： （1）用上述方法将化成一个式子的平方； （2）若，当a，b均为整数时，则a= ，b= ； （3）计算 【答案】（1） （2）12， （3） 【解析】 【分析】（1）利用题中的方法，把10分成7与3的和，把21分成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可； （2）利用完全平方公式把等式右边展开，得，由此得a与b的值； （3）利用题中的方法将被开方数写成完全平方的形式，再化简即可． 此题考查了二次根式的计算、完全平方公式，解题的关键是结合题目特点，灵活运用完全平方公式化简二次根式． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ，； 故答案为：12， 【小问3详解】 ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时，的取值范围； （3）是轴上一点，若的面积为8，请求出点的坐标． 【答案】（1）一次函数关系式，正比例函数关系式为； （2）当时，； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数图像的性质． （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图像，写出在上方时，的取值范围； （3）设，求出，，结合题意得到，由此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：，代入得：， 解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据函数图像可得，当时，； 【小问3详解】 解：设， ，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 22. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系． （1）货车行驶速度为______； （2）求所在直线的函数解析式； （3）直接写出两车出发多长时间相距． 【答案】（1） （2）线段DE所在直线的函数表达式为 （3）两车出发小时或小时后相距 【解析】 【分析】（1）根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度； （2）设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可； （3）待定系数法求得解析式，根据①当轿车休息前与货车相距时，②当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 由图象可得，货车行驶的速度为：（）， 故答案为：75； 【小问2详解】 由题意可得所在直线为关于x正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为, ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 设段的函数解析式为y=mx+n， 将代入得： ， 解得， ∴． ①当轿车休息前与货车相距时，有， ， 解得； ②当轿车休息后与货车相距时，有， ， 解得． 答：两车出发小时或小时后相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 如图1，已知直线：交轴于，交轴于. （1）直接写出的值为______. （2）如图2，为轴负半轴上一点，过点的直线：经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值. （3）如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求点坐标. 【答案】（1）k=-1；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求解即可得出； （2）先求得直线为，用含t的式子表示MN，根据列出方程，分三种情况讨论，可得到或； （3）在轴上取一点，连接，作交直线于，作轴于，再证出，得到直线的解析式为，将代入，得，可得出. 【详解】解：（1）将代入， 得， 解得. 故答案为 （2）∵在直线中，令，得， ∴， ∵， ∴线段的中点的坐标为，代入，得， ∴直线为， ∵轴分别交直线、于、，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，分情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，，解得：. ③当时，，解得：，舍去． 综上所述：或． （3）在轴上取一点，连接，作交直线于，作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴. 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合.要准确理解题意，运用数形结合、分类讨论的思想解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $