27.1圆的认识 圆的基本性质 -垂径定理 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“圆的基本性质——垂径定理”，以赵州桥主桥拱半径问题导入，通过对折圆形纸片活动揭示圆的对称性，再经画弦、作直径垂直弦的实验引导学生观察猜想，进而证明定理，最终应用定理解决实际问题，构建“问题-探究-证明-应用”的学习支架。 其亮点在于以真实情境激发数学眼光，通过动手探究（对折纸片、画弦实验）培养几何直观与推理意识，用“半径半弦弦心距”口诀总结模型。学生能在探究中发展创新意识，教师可依托此结构化流程提升教学效率，助力知识内化与应用能力培养。

圆的基本性质 --垂径定理 九年级下册数学 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出它的半径吗？ 37.4m 7.2m 圆的基本性质 --垂径定理 请同学们拿出准备好的圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 活动一 圆的对称性 6 7 1、圆是轴对称图形。 总结 2、圆有无数条对称轴。它的对称轴是任意一条经过圆心的直线。 8 活动二 观察 在圆形纸片上画弦AB,作直径CD,使CD⊥ AB，垂足为E. 问题：你能发现图中有那些相等的线段和弧？ · 相等的线段： E O A B C D 相等的弧： 9 活动二 猜测 在圆形纸片上画弦AB,作直径CD,使CD⊥ AB，垂足为E. 问题：你能发现图中有那些相等的线段和弧？ · 相等的线段： AE=BE E O A B C D 相等的弧： ＡＣ＝ＢＣ　 ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 10 活动二 实验 在圆形纸片上画弦AB,作直径CD,使CD⊥ AB，垂足为E. 问题：你能发现图中有那些相等的线段和弧？ · 相等的线段： AE=BE E O A B C D 相等的弧： ＡＣ＝ＢＣ　 ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 11 E 已知： CD是⊙O的直径，CD ⊥ AB于点E 求证：AE=BE, AC =BC , AD =BD . ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：连接OA,OB,则OA=OB. ∴ △OAB是等腰三角形， 又∵AB ⊥ CD， ∴AE=BE ∴点A和点B关于CD对称. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. 证一证 12 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理： · O A B D E 几何语言： ∵ CD是直径，CD⊥AB C ∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 记一记 13 · O A B D E ① 过圆心 ② 垂直弦 可推得 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧 由二得三 垂直于弦的直径平分弦, 且平分弦所对的两条弧 垂径定理： 记一记 题 设 结 论 C 14 1、下列图形是否具备垂径定理的条件？并说出理由。 试一试 是 是 不是 不是 注意：定理中的两个条件 过圆心（直径），垂直弦 缺一不可！ ∟ ∟ ∟ 15 · O A B E C D 2、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ） A、∠COA=∠DOA B、CE=DE C、OE=AE D、BD=BC ⌒ ⌒ c 16 · O A B E 1、如图，OE⊥AB于E， 若弦AB=8, OE=3. 求⊙O的半径长。 ∟ · B A E ∟ O 学以致用，你一定能行！ 变式：已知⊙O的半径为5 ,圆心O到弦AB的距离是3。 求弦AB的长。 3 4 3 5 5 4 17 · A B E ∟ O 1、若圆的半径为r，一条弦长为a，弦心距为d，则r、 d 、 a的关系是 。 2、辅助线：涉及圆中 半径、弦长、弦心距的 计算时，常通过连 ， 作 ，构造 三 角形，利用 和、 解决。 r2=d2+(a/2)2 半径 弦心距 直角 垂径定理 勾股定理 r d a 归纳总结 18 37.4m 7.2m A B O C D r r-7.2 18.7 7.2 19 www.czsx.com.cn ∵AB=37.4，CD=7.2， OC⊥AB， ∴ OD=OC－CD=r－7.2 解：如图所示设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为r 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（r－7.2）2 ∴ r ≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. B C A D O r r-7.2 18.7 口诀：半径半弦弦心距， 勾股定理最容易， 另外加上弓形高， Rt三角形少不了。 20 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm。 （1）请根据题意画出符合条件的图形. （2）求出AB与CD间的距离。 .o C A B D .o C A B D ∟ ∟ ∟ ∟ F E E F 能力拓展，你最棒！ 21 盘点收获， 各抒己见! 22 1、圆是轴对称图形。 2、垂径定理。 3、辅助线：涉及圆中半径、弦长、弦心距计算时，常通过连半径，作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决。 4、 盘点收获 23 1、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 . A C D B O 课堂检测 24 3、已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AE=1,BE=5,且∠BED=30°. 求圆心到弦CD的距离。 课堂检测 O . A B C D E 25 作业： 课本练习1、2题。 基训第56页6题 26 数学来源于生活， 生活离不开数学。 谢谢 !再见! 27 $