精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市米东区联考2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

2025—2026学年第一学期九年级第二次月考数学试卷（问卷） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的识别是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍能与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； 故选D． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行判断． 【详解】解：A：和指数不同，无法合并，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：C ． 4. 已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心的距离为， ∴点A与的位置关系是点A在圆外． 故选：C 5. 已知二次函数，下列结论错误是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质判断各选项。 【详解】解：∵ ， ∴ ，抛物线开口向上，A正确； 对称轴为直线 ，B正确； 顶点坐标为 ，C正确； ∵ 开口向上，对称轴 ， ∴ 当 时， 随 的增大而减小，故D错误。 故选D. 6. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），解题的关键是根据各季度销售额的关系列出方程． 先分别表示出第二季度和第三季度的销售额，再根据三个季度销售额之和为327.6万元列出方程． 【详解】解：已知第一季度销售额为90万元，平均每季销售额的增长率为， 第二季度销售额是在第一季度基础上增长的，所以第二季度销售额为万元， 第三季度销售额是在第二季度基础上增长的，所以第三季度销售额为万元， 因为三个季度销售额一共327.6万元，所以可列方程：． 故选：D． 7. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可． 【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长． 8. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【详解】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 9. 如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当过点C时，有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连结， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点， ∴对称轴为， 当时，， ∴顶点， ∵与y轴相切， ∴的半径为4， ∵点D为的中点， ∴， ∴最大时，有最大值， ∴当过点C时，有最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，切线的性质定理，与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是添加恰当辅助线． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 11. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】y=2x2+1 【解析】 【分析】先将抛物线的解析式改写成顶点式，然后根据平移的规律进行求解即可得. 【详解】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1， 故答案为y=2x2+1． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握函数图象平移的方法是解题的关键，函数图象平移的规律：横坐标方向“左加右减”、纵坐标方向“上加下减”. 13. 将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 14. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据新运算规则将转化为一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围．本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程中与根的关系是解题的关键． 【详解】解：根据新运算，对于，有： 整理为 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 即 解得 15. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于轴的下方，当时，它的图象位于 x 轴的上方，进而可得二次函数的图象与轴的交点坐标为和，即可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方， ∴当时，它图象位于轴的下方，当时，它的图象位于轴的上方， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）如图，，平分，交于点． 实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点，交于点，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； 猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）； （2）见解析；猜想：四边形是菱形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，尺规作图——作角平分线，菱形和平行四边形的判定，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由算术平方根，负整数指数幂，绝对值意义，零指数幂法则分别求解，然后算加减即可； （）以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，然后连接，交于点，连接即可； 根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 四边形是菱形， 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 平移后的如图： 【小问3详解】 旋转中心的坐标为． 如图： 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围； （2）由根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知：，， ∴， ∴或， ∵； ∴． 20. 如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由为等边三角形，则，，由旋转性质可知，，，证明，所以，再由平行线的判定即可求证； （）由是边长为的等边三角形，点是的中点，则，，，所以，然后通过勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边长为的等边三角形，点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴． 21. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）若销售单价为64元，连续两次降价后销售为36元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为_____； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为_____元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 根据题意可知：， 解得或（舍去）， 即每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； 则， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 22. 如图，已知的半径为4，是的直径，为的弦，B为延长线上的一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）求弦的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，欲证明为的切线，只需利用等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，构建直角，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得，然后利用勾股定理来求弦的长度； （3）图中阴影部分的面积扇形的面积的面积． 小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， 在中，， 即． 为的切线； 【小问2详解】 如图，连接， 是的直径， ， 由（1）知，， ， 根据勾股定理得． 的长是； 【小问3详解】 由（2）知，在中，， ; ∵点O是斜边上的中点， , ， 图中阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积公式，正确作出辅助线，合理利用所学知识是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）当时，S有最大，最大为值为 （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，切线的性质． （1）根据抛物线的对称性求出，得到，，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）由轴得到点Q的横坐标为t，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，得到点，进而得到解析式，根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）可知直线的解析式为，设，则，得到，分与x轴相切、与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得， ∴，， 将，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图2， ∵轴，点P的横坐标为t， ∴点Q的横坐标为t，点， 对于抛物线， 令，则有， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． ∴点， ∴， ∴当时，PQ最大， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知直线的解析式为， ∵点P是直线一动点， ∴可设， 又∵轴，点Q在抛物线上， ∴， ∴， 当与x轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即 当时，可有，即； 当与y轴相切时，， 则或， 解得，或，， 当时，点P、Q重合，不合题意， 当时，可有，即， 当时，可有，即； 综上所述，与x轴相切时，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级第二次月考数学试卷（问卷） 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 无法确定 5. 已知二次函数，下列结论错误是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 6. 自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 8. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 11. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是________． 12. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 13. 将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 14. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是______． 三．解答题 16. 计算： （1）； （2）如图，，平分，交于点． 实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点，交于点，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； 猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 20. 如图，是边长为等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 21. 某商家销售一批“中国制造”吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）若销售单价为64元，连续两次降价后销售为36元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为_____； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为_____元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，已知的半径为4，是的直径，为的弦，B为延长线上的一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）求弦长； （3）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $