广东省湛江市麻章区兄弟学校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

湛江博雅学校九年级第四次大练习 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D A D C D C C 1．A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用字母“a”出现的个数除以字母总数即可得到答案． 【详解】解：∵单词中，一共有11个字母，其中字母“a”有2个， ∴在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为， 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 4．D 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可． 【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； C. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 5．A 【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， 表中“”处的数为， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 8．D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵一次函数y=kx+k2+1中，k2+1＞0， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k＜0，由反比例函数的图象在二、四象限可知-k＜0，则k＞0，两结论相矛盾，故选项C不符合； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，由反比例函数的图象在二、四象限可知-k＜0，k＞0，故选项D符合； 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 9．C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 10．C 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故结论①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴， ∴，故结论②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的正半轴交于点，， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，，对称轴是直线， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，故结论④正确； ∴正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 12．5 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 15．3 【分析】先根据题意推出，然后通过设分别求出点和点的坐标，进而判定是的中位线，并推出，最后利用两点距离公式建立关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线交于点，连接，延长交轴于点， 根据题意，点和点关于线段的垂直平分线对称，则线段和也关于线段的垂直平分线对称， ∴四边形是等腰梯形，四边形为平行四边形， 根据轴对称的性质，， ∴， ∵， 设，则，即，， ∴直线的函数解析式为：， 根据函数图象平移的性质，直线的函数解析式为：， 联立直线解析式和反比例函数求解点坐标为， 根据平行线分线段成比例可得：， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 则， 解得， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，轴对称的性质，中位线定理，两点距离公式等知识点． 16．（）；（）， 【分析】（）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零指数幂分别运算，再合并即可； （）把方程化成一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可得到解答； （2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，则，得，由由且得到，则，即，即可得证． 【详解】（1）如图所示，为所求， ； （2）如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴且， ∴ ∴，即， ∴三点共圆，点在上． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及求弧长： （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （3）利用弧长公式求得点C经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：如图，即为所求． （3）解：在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为． 19．(1)，补全条形统计图见解析； (2)估计该校有名学生想去海洋馆； (3)他们恰好选中同一处研学地点的概率为． 【分析】（）用的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出组的人数，画出统计图即可； （）用乘样本中所占比例即可； （）根据列表法列出所有可能得情况，然后用概率公式即可求解； 本题主题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：此次接受随机抽样调查的人数（人）， 组人数为（人）； 补全条形统计图如图： 故答案为：； （2）解：（名）， 答：估计该校有名学生想去海洋馆； （3）解：根据题意，列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们恰好选中同一处研学地点的结果有种， ∴他们恰好选中同一处研学地点的概率为． 20．(1)每件售价应定为50元； (2)该款小商品的日平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 21．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 23．(1) (2)存在，点P坐标为，的面积最大值是 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出； （2）由（1）得到抛物线的解析式为，求出点，设点，，连接，作轴交于M，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，得到，得到，从而可求出的面积最大值及点P的坐标； （3）连接，证明，则，是等腰直角三角形，当最小时，面积取得最小值.由点E在线段上，则当时，最小. 此时点E是中点，由中点坐标公式即可得到点E坐标． 【详解】（1）将，两点坐标代入得： ， 解得：； （2）存在．理由如下： 由（1）得到抛物线的解析式为， 当时， ∴点， 设点，， 连接，作轴交于M，    设直线的解析式为， 由，可得 , 解得， ∴直线的解析式为，则， ， ∵， 当时， ∴的面积最大值为； 当时，， ∴点P坐标为； （3）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴当最小时，面积取得最小值. ∵点E在线段上， ∴当时，最小. ∵是等腰直角三角形， ∴此时点E是中点， ∵，， ∴. 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、圆周角定理、待定系数法求二次函数的解析式和一次函数解析式、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解答此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江博雅学校九年级第四次大练习 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在单词中任意选择一个字母，则选择字母“a”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 4．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 6．已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 7．对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 8．一次函数与反比例函数同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则；④若，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知点与点关于点对称，则 ． 12．盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ． 13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 14．如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，位于第一象限，，点、在函数的图象上，其中点与点关于线段的垂直平分线对称，延长交轴于点，当时， ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16．（）计算：； （）解方程：． 17．如图，在中，． (1)尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的中，求证：点在上． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． (1)与关于x轴对称，画出； (2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出； (3)求在（2）的旋转过程中，点C经过的路径长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19．某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母，，，表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次接受随机抽样调查的人数是 人；并补全条形统计图； (2)该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ (3)该校甲、乙两位同学分别从博物馆、动物园、植物园、海洋馆中选择一处作为研学地点，请利用树状图或列表法求他们恰好选中同一处研学地点的概率． 20．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 21．如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线；(2)若，的半径为，求的长． 23．如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．    (1)求b，c的值． (2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． (3)如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $