专题03 一次函数的应用（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题03 一次函数的应用 【题型1 一次函数与行程问题】..............................................................................................1 【题型2 一次函数与销售问题】.............................................................................................4 【题型3 一次函数的新情景应用】.........................................................................................6 【题型4.两直交点与二元一次方程组】..................................................................................12 【题型5 求直线围成的图像面积】........................................................................................13 【题型6 一次函数与几何综合】..........................................................................................17 【题型1 一次函数与行程问题】 1.(24-25七年级下 陕西咸阳 期末)周六,小峰去博物馆参观学习.他从家出发,先去早餐店吃完早餐,然后继续骑自行车去博物馆,参观完博物馆后直接骑自行车回家,如图是小峰离家的距离()和时间()之间的关系.根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中,自变量是_,因变量是_; (2)点A表示的是什么?小峰在博物馆参观了多少分钟? (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少? 2.(25-26八年级上 广东梅州 月考)如图,lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系. (1)B出发时与A相距 千米. (2)走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是 小时. (3)若B的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,多少小时与A相遇,相遇点离B的出发点多少千米. (4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式. 3.(24-25八年级下 山西大同 期末)小亮和姐姐周末去体育场观看比赛,姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场,到达赛场后观看比赛用了,看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中,姐姐从家出发的同时,小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中,结果比姐姐早40到家,姐姐从家出发开始计时,两人离家的距离y()与所用时间t()之间的关系图象如图所示,请结合图象信息解答下列问题: (1)填空: _, _; (2)求出小亮从体育场出发的过程中,小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间. 4.(2025 陕西西安 三模)如图1,延安既是华夏民族的发祥地之一,又是中国革命圣地,曾被喻为中国革命的灯塔,是国务院首批公布的历史文化名城.为了追寻红色印记,传承红色基因,某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动,他们从汉中出发匀速行驶至西安后,停车休息了2小时,然后从西安出发继续匀速行驶至延安,他们距离延安的路程与行驶时间x(小时)之间的关系如图2所示. 请你根据图中信息,解答下列问题: (1)求图中段y与x之间的函数关系式; (2)他们从西安出发多久后,距离延安的路程还剩? 5.(25-26八年级上 山西太原 月考)综合与探究 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发,沿同一公路相向而行.轿车出发后休息,直至与货车相遇后,以原速继续行驶.货车、轿车离甲地的路程y(单位:km)与货车出发的时间x(单位:h)的函数图象如图所示,请结合图象信息解决下列问题: (1)轿车行驶的速度为_,货车行驶的速度为_,线段所在直线的函数表达式为_; (2)求线段所在直线的函数表达式; (3)当两车相距时,直接写出货车出发的时间. 6.(25-26八年级上 重庆 期中)一天下午,妈妈骑着小电驴从家出发到距家2400米的超市买菜,同时欣欣也放学从学校步行往家走(其中家、学校、超市在一条笔直的马路上,且学校在家和超市之间),分钟后小欣和妈妈相遇,随后两人继续按原速往各自的目的地前进,妈妈到达超市后花5分钟买完菜,再按原路原速回家,不一会儿就追上了小欣,妈妈到家3分钟后小欣才到家.如图是两人离家的距离(米)与出发时间(分)之间的函数图象. 根据图象信息解答下列问题: (1)_,_; (2)①求小欣离家的距离(米)与出发时间(分)之间的函数关系式; ②请直接写出妈妈离家的距离(米)与出发时间(分)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)请直接写出小欣与妈妈恰好相距500米时x的值. 【题型2 一次函数与销售问题】 1.(2024 河南驻马店 一模)年春节假日期间,万余名游客欢聚云台山,新春喜乐会年味足.焦作某知名小吃店计划购买A,B两种食材制作小吃,以飨游客.已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元,购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元. (1)求A,B两种食材的单价; (2)该小吃店计划购买两种食材共千克,其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍,当A,B两种食材分别购买多少千克时,总费用最少?并求出最少总费用. 2.(24-25八年级下 广东惠州 期末)为进一步落实“乡村振兴”工程,某村在政府的扶持下建起了大棚基地,准备种植A,B两种蔬菜.若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜,总收入为42万元;若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜,总收入为38万元. (1)求种植A,B两种蔬菜,平均每亩收入各是多少万元? (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩,且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍,问应如何种植A,B两种蔬菜,总收入最大,最大总收入是多少? 3.(2025 河北唐山 三模)国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象.某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办,第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销.其进货单如图所示,其中部分数据被墨水覆盖,已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元. (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价; (2)受电影热度影响,第一批购进的两种手办全部售完,老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办,已知三种手办都需要购进,且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等.但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%,每套“敖丙”手办的进价比原来降低,每套“太乙真人”手办的进价不变,若购进套“太乙真人”手办,套“哪吒”手办. ①试推算与应满足的数量关系; ②若三种手办的售价不变,当“太乙真人”手办的数量不少于130套时,直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值. 4.(2024 云南文山 模拟预测)某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下: 商品种类 进价(元/千克) 售价(元/千克) 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y(元)与销售量x(千克)的关系如图所示: (1)求乙种商品的销售总价y(元)与销售量x(千克)的函数解析式; (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克,并全部销售完.当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时,求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润. 【题型3 一次函数的新情景应用】 1.(25-26八年级上 陕西西安 月考)某移动公司设有两类通讯业务,类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费,然后每通话分钟,付元;类收费标准为用户不缴月租费,每通话分钟,付话费元.若一个月通讯分钟,两种方式费用分别是,元. (1)分别求出,,与之间的函数关系式. (2)某人估计一个月通话时间为分钟,选哪种通讯方式更合算? 2.(25-26八年级上 全国 课后作业)时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标,让游客拥有更好的游玩体验.该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用,长安汉服体验馆推出两种租用方案,具体如下: 方案一:不办理年卡,每件按原价收取租金; 方案二:若办理年卡(从购买日起,可持年卡使用一年),则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠,年卡每张480元. 方案一的租金(元),方案二的租金(元)与租用件数x(件)之间的函数关系如图所示. (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元? (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元,则选择哪种优惠方式更合算? 3.(25-26八年级上 广西贺州 期中)综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究,第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流,下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题. 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图②所示,板凳的结构设计体现了数学的对称美. 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量,设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x,凳面的宽度为,记录如下: 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点. 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题: (1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直线上,说明理由. (2)当凳面宽度为时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少? (3)当凳面宽度不小于时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求? 4.(24-25八年级上 江苏盐城 期末)某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案. 方案一:没有底薪,只拿销售提成; 方案二:底薪加销售提成. 设(件)是销售商品的数量,(元)是销售人员的月薪酬.如图所示,为方案一的函数图象,为方案二的函数图象.根据图中信息解答如下问题: (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是_元; (2)求,图象的函数解析式; (3)小丽应选择哪种薪酬方案,才能使月工资更多? 5.(25-26八年级上 陕西咸阳 月考)电子体重秤的原理是利用力传感器,在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化,电阻的形变必然引发电阻值的变化,电阻值的变化又使内部电流发生变化从而产生了相应的电信号,电信号经过处理后就成了可视数字,简易电子秤制作方法:小明制作了一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R,通过研究,发现可变电阻R(单位:欧)是踏板上人的质量m(单位:千克)的一次函数,已知踏板上人的质量为75千克时,可变电阻值为90欧;踏板上人的质量为50千克时,可变电阻值为140欧. (1)求R与m之间的函数表达式; (2)当可变电阻值为45欧时,踏板上人的质量为多少千克? 6.(25-26八年级上 广西崇左 月考)综合与实践 【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器,在社会实践活动中,某小组同学根据“漏壶”的原 理制作了如图①所示的液体漏壶,漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的,中间连通,液体可 以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中,实验开始时圆柱容器中已有一部分液体. 【实验观察】 (1)下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据: 时间(小时) 圆柱体容器液面高度(厘米) 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点,用光滑的线连接; 【探索发现】 (2)请你根据表中的数据及图象,用所学过的一次函数知识确定 与 之间的函数解析式; 【结论应用】 (3)如果本次实验记录的开始时间是上午,那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点? 7.(25-26八年级上 陕西西安 月考)中秋节期间,小颖回家乡大团圆聚餐后,主动帮忙洗碗,她发现如果将一些相同规格的碗整齐地摞在一起,这摞碗的总高度与碗的数量之间有一定的关系.经过测量发现,1个碗的高度为,3个碗摞起来的总高度为,5个碗摞起来的总高度为.设y(cm)表示这种规格的碗摞起来的总高度,x(个)表示所摞碗的数量. (1)根据测量的数据,求y与x之间的关系式. (2)借助你得出的关系式,解决下列问题: ①当10个这种规格的碗摞在一起时,求这摞碗的总高度; ②当这摞碗的总高度为时,求所摞碗的数量. 8.(25-26八年级上 辽宁沈阳 期中)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱形铁块立放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上).现将甲槽的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度(厘米)与注水时间(分钟)之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)图2中折线表示_槽中水的深度与注水时间的关系,线段表示_槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点的纵坐标表示的实际意义是_; (2)求所在直线的解析式,并直接写出所在直线的解析式; (3)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米? (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米,直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积(壁厚不计,圆柱的体积=底面积 高). 【题型4.两直交点与二元一次方程组】 1.(25-26八年级上 山西运城 月考)如图,一次函数与的图象交于点,则关于x,y的方程组的解是( ) A. B. C. D. 2.(25-26八年级上 四川成都 期中)已知直线与的交点的坐标为,则方程组的解是() A. B. C. D. 3.(25-26八年级上 江苏南京 月考)如图,已知函数和的图像交于点,根据图像,可得方程组的解为 . 4.(25-26八年级上 全国 期末)如图,直线与交于点,则关于x,y的二元一次方程组的解是 . 5.(25-26八年级上 广东深圳 期中)如图,在平面直角坐标系中,直线与直线交于点,则关于,的方程组的解为 . 【题型5 求直线围成的图像面积】 1.(25-26八年级上 甘肃张掖 月考)如图,已知点是直线与y轴和x轴的交点,l和函数的图象交于点B. (1)求直线l的表达式; (2)若点B的横坐标是1,求关于x、y的方程组的解及a的值; (3)点D为函数与x轴的交点,求两函数图象与x轴所围成的的面积. 2.(25-26八年级上 江苏泰州 月考)如图,点,的坐标分别为,. (1)求直线的函数表达式; (2)若为直线上一动点,的面积为,求点的坐标. 3.(25-26八年级上 浙江杭州 月考)已知:如图,平面直角坐标系中,一次函数的图像分别与轴,轴交于点A,B,点的坐标是. (1)求直线的函数表达式. (2)若直线上有一点,且,求点的坐标. 4.(24-25八年级下 陕西渭南 期末)如图,直线:交轴于点,与轴交于点,直线经过点,交轴于点,直线交直线于点. (1)求出直线的函数解析式; (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半,求出点的坐标. 5.(24-25八年级下 云南红河 期中)如图,一次函数的图像经过点,. (1)求一次函数的解析式; (2)C是y轴上一点,连接,若的面积为10,求点C的坐标. 6.(25-26八年级上 安徽六安 期中)如图;在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点D,直线:与x轴交于点,与相交于点. (1)求直线的解析式; (2)求四边形的面积; (3)若点为x轴上一点(其中),过点M作垂直于x轴的直线,与直线、分别交于点P、Q,若,求t的值. 7.(25-26八年级上 陕西西安 月考)在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于点A,点B. 直线与交于点E.若点E坐标为. (1)直接写出E的坐标和m的值:_; (2)当时,x的取值范围是:_; (3)在x轴上是否存在点P,使直线把分成面积之比为的两部分?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 【题型6 一次函数与几何综合】 1.(25-26八年级上 安徽马鞍山 期中)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,一次函数经过点,分别交轴于点,交轴于点.轴上有一点,其横坐标为,过点作轴的垂线交射线于点,交一次函数的图像于点. (1)求点的坐标. (2)若,求的值. 2.(24-25八年级下 云南红河 期末)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为,. (1)求直线的函数解析式; (2)求的长; (3)若P为坐标轴上一点,使是以为腰的等腰三角形,请直接写出点P的坐标. 3.(25-26八年级上 福建漳州 期中)如图1,已知函数与x轴交于点C,与y轴交于点B,点C与点A关于y轴对称. (1)求直线的函数解析式; (2)设点M是x负半轴上的一个动点,过点M作y轴的平行线,交直线于点P,交直线于点Q.连接,如图2且. ①求证:; ②求点P的坐标. 4.(25-26八年级上 陕西咸阳 月考)如图,已知直线与x轴交于点A,与直线交于点. (1)求k的值及点A的坐标; (2)在x轴上是否存在一点M,使得是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 5.(25-26八年级上 四川达州 期中)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于,两点,直线与直线相交于点. (1)求,的值; (2)直线与轴交于点D,动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动,设点P的运动时间为t秒. ①若的面积为12,求t的值; ②是否存在一点P,使为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 6.(25-26八年级上 四川成都 期中)如图1,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点B,与y轴交于点A,且直线与直线平行. (1)k= ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ; (2)在y轴正半轴上有一点C满足,与连成直线,直线与直线交点为E.直线上有一动点P,满足,求P点坐标; (3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l,求直线l的表达式. 1 学科网(北京)股份有限公司 $ 专题03 一次函数的应用 【题型1 一次函数与行程问题】..............................................................................................1 【题型2 一次函数与销售问题】.............................................................................................9 【题型3 一次函数的新情景应用】.........................................................................................14 【题型4.两直交点与二元一次方程组】..................................................................................25 【题型5 求直线围成的图像面积】........................................................................................28 【题型6 一次函数与几何综合】...........................................................................................37 【题型1 一次函数与行程问题】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)小峰离家时间，小峰离家的距离； (2)点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟 (3)． 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可 （3）根据图象得出作从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； 故答案为：小峰离家时间，小峰离家的距离； （2）由图知：点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟； （3）由图知：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为： ． 2．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系． (1)B出发时与A相距 千米． (2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时． (3)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，多少小时与A相遇，相遇点离B的出发点多少千米． (4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式． 【答案】(1)B 出发时与 A 相距 10千米 (2)1 (3)小时，千米 (4) 【分析】本题考查函数图象，求一次函数的解析式，从函数图象中正确的获取信息是解题的关键： （1）根据函数图象直接作答即可； （2）用即可得出结果； （3）求出的速度，根据相遇时比多行千米，进行求解即可； （4）根据题意，把代入A行走的路程S与时间t的函数关系式，再求出，即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，B出发时与A相距千米； 故答案为：10； （2）解：由题意，修理自行车所用时间为（小时）； 故答案为：1； （3）解：由图象可知，的速度为每小时千米， 的自行车故障之前的速度为每小时千米， 由题意，，解得， ∴B经过小时，与A相遇，此时相遇点离B的出发点有（千米）； （4）解：设A行走的路程S与时间t的函数关系式为 根据题意，把代入， 得， 解得， ∴， 即A行走的路程S与时间t的函数关系式为． 3．（24-25八年级下·山西大同·期末）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 【答案】(1)40，70 (2)8 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由姐姐从离家到回到家，共用，即可求出，而小亮比姐姐早到家，故，即可解答； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为，根据题意列方程可解得答案． 【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 4．（2025·陕西西安·三模）如图1，延安既是华夏民族的发祥地之一，又是中国革命圣地，曾被喻为中国革命的灯塔，是国务院首批公布的历史文化名城．为了追寻红色印记，传承红色基因，某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动，他们从汉中出发匀速行驶至西安后，停车休息了2小时，然后从西安出发继续匀速行驶至延安，他们距离延安的路程与行驶时间x（小时）之间的关系如图2所示． 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式； (2)他们从西安出发多久后，距离延安的路程还剩？ 【答案】(1) (2)3小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为． 根据题意可得点C的横坐标为， ∴，， ∴， 解得：， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：令，得， 解得， （小时）， ∴他们从西安出发3小时后，距离延安的路程还剩． 5．（25-26八年级上·山西太原·月考）综合与探究 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：km）与货车出发的时间x（单位：h）的函数图象如图所示，请结合图象信息解决下列问题： (1)轿车行驶的速度为______，货车行驶的速度为______，线段所在直线的函数表达式为______； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)当两车相距时，直接写出货车出发的时间． 【答案】(1)120；60； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键． （1）由函数图象点的坐标含义结合速度等于路程除以时间可得答案，设线段所在直线的函数表达式为，将分别代入计算，即可解答； （2）先求解点的坐标为，点的坐标为，设线段所在直线的函数解析式为，将点，代入，再利用方程组求解一次函数的解析式即可； （3）分两种情况①当轿车休息前与货车相距时；②当轿车休息后与货车相距时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：轿车行驶的速度为， 货车行驶的速度为． 设线段所在直线的函数表达式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为． 故答案为：120，60；． （2）∵， ∴点的坐标为．           ∵， ∴点的坐标为．                 设线段DE所在直线的函数解析式为． 将点，代入，得 解得 ∴线段DE所在直线的函数解析式为． （3）由货车行驶的速度可知，线段的函数解析式为； ①当轿车休息前与货车相距200km时， ， 解得； ②当轿车休息后与货车相距200km时， ， 解得， 答：当两车相距时，货车出发的时间为或． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）一天下午，妈妈骑着小电驴从家出发到距家2400米的超市买菜，同时欣欣也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间），分钟后小欣和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花5分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了小欣，妈妈到家3分钟后小欣才到家．如图是两人离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数图象． 根据图象信息解答下列问题： (1)______，______； (2)①求小欣离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式； ②请直接写出妈妈离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出小欣与妈妈恰好相距500米时x的值． 【答案】(1)2400，11； (2)①；；②； (3)小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）由题意直接求出m；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出a； （2）①用待定系数法求出小欣离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； ②分段求出妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； （3）根据小欣与妈妈恰好相距500米分段列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； 妈妈的速度为：米/分， 妈妈到超市所用时间为：分钟， 妈妈到达超市后花5分钟买完莱， ， 故答案为：2400，11； （2）解：①小欣到家所用时间（分）， 设小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得：， 解得， 小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为； ②当时，； 当时，； 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得：， 解得， ， 综上所述：y与x的解析式为； （3）解：妈妈在去往超市的过程中：， 解得或； 妈妈在回家过程中：， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，． 【题型2 一次函数与销售问题】 1．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元 (2)A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出，根据一次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元． （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：， ∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍， ∴， 解得：， 又，， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 3．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 (2)①；②10860元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； （2）解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 4．（2024·云南文山·模拟预测）某商店购进和销售甲、乙两种商品的信息表如下： 商品种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种商品 20 45 乙种商品 40 销售总价y（元）与销售量x（千克）的关系如图所示： (1)求乙种商品的销售总价y（元）与销售量x（千克）的函数解析式； (2)该商店购进甲、乙两种商品共200千克，并全部销售完．当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，求该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)5600元 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式及一次函数的应用， （1）用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）先求出x的取值范围，再列出总利润为w关于销售量x的函数，最后求最值即可． 【详解】（1）解：当时，设（k为常数，且）． 将代入得， 解得，， ∴． 当时，设（a、b为常数，）． 将代入得， ， 解得，， ∴． （2）由题意知，购进x千克乙商品，则购进千克甲商品． ∴， 解得，． 设甲、乙两种商品全部销售完的总利润为w元． 由题意得，． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w取得最大值，为． ∴当甲种商品的购进数量不超过乙种商品的4倍时，该商店销售甲、乙两种商品所获得的最大利润为5600元． 【题型3 一次函数的新情景应用】 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）某移动公司设有两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元；类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元．若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元． (1)分别求出，，与之间的函数关系式． (2)某人估计一个月通话时间为分钟，选哪种通讯方式更合算？ 【答案】(1)， (2)选择类更合算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意准确理解两类计费的方式是解题的关键． （1）根据类的费用是月租费加上乘以通话时间，类的费用是乘以通话时间，列出函数关系式； （2）根据（1）的结论当时，分别求得，，并比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，类收费标准为月租费元加上每分钟元， ∴ 类收费标准为每分钟元，无月租费， ∴ ； （2）解：当通话时间分钟时， （元） （元） ∵ ∴ 选择类更合算 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验．该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方案，具体如下： 方案一：不办理年卡，每件按原价收取租金； 方案二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元． 方案一的租金（元），方案二的租金（元）与租用件数x（件）之间的函数关系如图所示． (1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？ (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择哪种优惠方式更合算？ 【答案】(1)长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元 (2)若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据方案一、方案二两店的租用方式即可用x式表示和的函数解析式，再根据当时，求出即可解答； （2）根据（1）中关系式将分别代入即可求解． 【详解】（1）解：设长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是元， 由题意，得， 因为当时，， 所以，解得， 所以长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元． （2）解：由（1）可得，方案一所需的总费用与之间的函数关系式为； 方案二所需的总费用与之间的函数关系式为， 将代入，解得； 将代入，解得． 因为， 所以若该旅行社今年的租金预算是4800元，则选择方案二更合算． 3．（25-26八年级上·广西贺州·期中）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？ 【答案】(1)函数解析式为，这些点在同一条直线上； (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 (3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将y代入函数解析式，解方程即可． （3）依据题意，当时，即，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设函数解析式为， ∵当，，，， ∴． ∴． ∴函数解析式为，经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入 得，， ∴． ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． （3）解：由题意，当时，即， ∴． 当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 【答案】(1)600 (2)的解析式为，的解析式为 (3)当销售数量件时选方案一，时两种方案均可，件时选方案二 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系，是解题的关键． （1）依据题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，结合函数的图象可以判断得解； （2）依据题意，结合函数的图象通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为，从而分三种情况分析可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪， 又由的图象可知，时， 方案二的底薪是600元． 故答案为：600； （2）解：由题意，设的解析式为， 图象过点， 的解析式为： 又设的解析式为， 图象过点，， ，且 的解析式为 （3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为 当，即时，方案一工资更多； 当，即时，两种方案工资相同； 当，即时，方案二工资更多． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）电子体重秤的原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化从而产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字，简易电子秤制作方法：小明制作了一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，通过研究，发现可变电阻R（单位：欧）是踏板上人的质量m（单位：千克）的一次函数，已知踏板上人的质量为75千克时，可变电阻值为90欧；踏板上人的质量为50千克时，可变电阻值为140欧． (1)求R与m之间的函数表达式； (2)当可变电阻值为45欧时，踏板上人的质量为多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数解析式； （2）把代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：设与踏板上人的质量m之间的函数关系式为（其中k，b为常数）． ∵踏板上人的质量为75千克时，可变电阻值为90欧；踏板上人的质量为50千克时，可变电阻值为140欧 ∴，在函数的图象上， ∴， 解得， R与m之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可知， 当时，则有， 解得， 答：当可变电阻R为45欧时，踏板上人的质量为千克． 6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）综合与实践 【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原 理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可 以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】 （1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据： 时间(小时) 圆柱体容器液面高度(厘米) 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】 （2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数知识确定 与 之间的函数解析式； 【结论应用】 （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是几点? 【答案】（1）见解析；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到厘米时是上午 【分析】本题考查了一次函数的应用，画一次函数图象； （1）描出各点，用光滑的线连接，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）令，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）描出各点，用光滑的线连接，如图所示：                                         （2）由（1）中图象可知该函数为一次函数， 设该函数的表达式为，    点，在该函数上， ，           解得，，                与的函数表达式为；    （3）当时，即，    解得：＝，                    ＝，                      即圆柱体容器液面高度达到厘米时是上午． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）中秋节期间，小颖回家乡大团圆聚餐后，主动帮忙洗碗，她发现如果将一些相同规格的碗整齐地摞在一起，这摞碗的总高度与碗的数量之间有一定的关系．经过测量发现，1个碗的高度为，3个碗摞起来的总高度为，5个碗摞起来的总高度为．设y（cm）表示这种规格的碗摞起来的总高度，x（个）表示所摞碗的数量． (1)根据测量的数据，求y与x之间的关系式． (2)借助你得出的关系式，解决下列问题： ①当10个这种规格的碗摞在一起时，求这摞碗的总高度； ②当这摞碗的总高度为时，求所摞碗的数量． 【答案】(1) (2)①；②8 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，求自变量和函数值等问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据自变量的值求函数值即可； ②根据函数值求自变量的值． 【详解】（1）解：根据题意得，y与x之间是一次函数关系， 假设y与x之间的关系式为， 将代入解析式得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：①当时，， ∴当10个这种规格的碗摞在一起时，这摞碗的总高度为； ②当时，， 解得， ∴当这摞碗的总高度为时，所摞碗的数量为8． 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示___________槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是___________； (2)求所在直线的解析式，并直接写出所在直线的解析式； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米？ (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，直接写出甲槽底面积和乙槽底的面积（壁厚不计，圆柱的体积=底面积×高）． 【答案】(1)乙，甲，铁块高（合理即可） (2) (3)或 (4)60平方厘米，48平方厘米 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，综合性强，难度较大，理解题意与图象蕴含信息是解题关键． （1）根据图象和图形提供信息可得甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米和乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米两种情况分类讨论，构造方程，解方程即可求解； （4）设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米，由题意得圆柱形铁块底面积为．甲水槽排水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，乙水槽段注水速度为立方厘米/分钟，根据甲水槽排水速度等于乙水槽注水速度列方程组，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，甲槽中水面是下降的，乙槽水面是上升的， ∴图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是铁块高． 故答案为：乙，甲，铁块高； （2）解：设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； 设所在直线的解析式为， 由图象得点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为； （3）解：当甲水槽水面高于乙水槽水面2厘米时，， 解得； 当乙水槽水面高于甲水槽水面2厘米时，， 解得； 答：注水时间为或分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相差2厘米 （4）解：设甲水槽的面积为平方厘米，乙水槽的面积为平方厘米， 由题意得圆柱形铁块底面积为． 由题意得，甲水槽排水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 乙水槽段注水速度为（立方厘米/分钟）， 由题意得 解得 ∴甲槽底面积和乙槽底的面积分别是60平方厘米，48平方厘米． 【题型4.两直交点与二元一次方程组】 1．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：关于x，y的方程组可变形为． 由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点问题．两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先根据交点坐标求出a的值，再得到方程组的解． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴将代入中，得， ∴交点坐标为， 因为直线可化为，直线可化为，所以该方程组的解即为两直线的交点坐标 ∴方程组的解为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，已知函数和的图像交于点，根据图像，可得方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∵函数和的图像交于点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数交点的性质和二元一次方程组的解，明白一次函数的交点即为对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 首先根据交点在已知直线上，代入解得交点的坐标，即可得到交点坐标对应的x，y的值就是关于x，y的二元一次方程组的解． 【详解】解：由图可知，直线与交于点， ∴点在直线上， ∴解得：， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数交点求方程组的解． 求出b的值，进而判断即可． 【详解】解：将代入得：， 即， ∵可化为，由图可知的解为， ∴关于，的方程组的解为． 故答案为：． 【题型5 求直线围成的图像面积】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，已知点是直线与y轴和x轴的交点，l和函数的图象交于点B． (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值； (3)点D为函数与x轴的交点，求两函数图象与x轴所围成的的面积． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． （1）将点带入求出k和b的值即可； （2）将点B的横坐标带入（1）中的函数表达式，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入即可求出a的值； （3）先求出点D的坐标，再用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：因为点在直线上， 所以， 解得， 所以直线l的表达式为：； （2）解：由于点B在直线l上，当时，， 所以点B的坐标为， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线的交点， 把代入中，解得； （3）解：把代入中，解得，即点， 所以， 因为点B的坐标为， 所以的高为6， 所以． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数表达式； (2)若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，正确地求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由，则，所以，从而求出，然后分别代入即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是． (1)求直线的函数表达式． (2)若直线上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、一次函数与几何综合． （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式． （2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P． 【详解】（1）解：一次函数的图像与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， 又 设直线的函数表达式为：， 把代入，则 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：一次函数的图像与x轴交于点A， ∴当时， ∴， ∴， 设上有一点，使得， 如图， ∴①，得， ∴ 解得，则点； ②，得， 解得，则点； 综上所述，点或． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）根据的面积是面积的一半，列出方程求出点的纵坐标，进而求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或． 5．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，一次函数的图像经过点，． (1)求一次函数的解析式； (2)C是y轴上一点，连接，若的面积为10，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是一次函数，熟练掌握待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，分类讨论，是解题的关键． （1）把点，代入，解方程组，求出k、b的值，即得一次函数的解析式； （2）设点C的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为；． （2）解：设点C的坐标为 ， 则， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴，或， 解得：或7． ∴点C的坐标为或． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)3 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先根据题意得，，再根据，得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q， ∴，， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B． 直线与交于点E．若点E坐标为． (1)直接写出E的坐标和m的值：______； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)在x轴上是否存在点P，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）将代入求出E的坐标，再代入求m的值即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出、坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，即， 将代入得， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）解：当时，，即； 当时，，即； 设， 当直线把分成面积之比为的两部分时，或， 当时，，解得：，； 当时，，解得：，． 【题型6 一次函数与几何综合】 1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数经过点，分别交轴于点，交轴于点．轴上有一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交射线于点，交一次函数的图像于点． (1)求点的坐标． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求得点的坐标． （2）利用待定系数法求出直线的解析式，可得到，，进而表示出，，分点在点下方时和分点在点上方时两种情况讨论，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图像上， ，解得， ， 当时，即，解得， 点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， 直线的解析式为， ，过点作轴的垂线交射线于点，交一次函数的图像于点， ，， ，， 若点在点下方时，即点在轴上方时，， ， ， 解得； 若点在点上方时，即点在轴下方时，， ， ， 解得，与相矛盾，故不符合题意，故舍去， 综上，若时，． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且． ①求证：； ②求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【分析】本题考查一次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）令、求得点、的坐标，根据点与点关于轴对称，求出点的坐标， （2）①设直线的函数解析式为，列方程求出、的值即可； 根据点与点关于轴对称，得到，进而证得，根据三角形内角和定理证得； ②设，则，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， 则、， 由于点与点关于轴对称， 则， 设直线的函数解析式为， 则， 解得， 因此，直线的函数解析式为； （2）①证明：根据题意得，点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， 设，则， ，，， ∴， 解得． ， 答：点P的坐标为． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求k的值及点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）把代入，求出的值，待定系数法求出k的值，令，求出点A的坐标即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：存在； ①当时，则：轴， ∵， ∴； ②当，作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴， ∴； 综上：或． 5．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)①或；②存在，点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、点到直线的距离等知识．注意（2）的②的分类讨论求解，避免遗漏． （1）由点C在直线上，可求出m的值．又由点C在直线上，即可求出n的值． （2）①根据题意即可求出A、D点坐标和，从而可知的长，即为三角形的底，再利用三角形面积公式即可求出． ②画出图形，分情况进行解答即可． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， ∴； 即又在直线上， ∴ ， ∴． （2）①由题意得：， 对于直线，令，得， ∴ 对于直线，令，得， ∴ 当点在线段上，， ∴， ∴． 当点在点的左侧时，， ∴， ∴． 综上可知，t的值为或； ②存在， 当时，如图,过C作于E， ∴， ∴， ∴． ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， 当时，如图，当点P在线段上时， ， ∴， ∴ ∴， 当时，如图，当点P在点的左侧时， ， ∴． ∴， 综上，点P的坐标为或或或． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，且直线与直线平行． (1)k= ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)在y轴正半轴上有一点C满足，与连成直线，直线与直线交点为E．直线上有一动点P，满足，求P点坐标； (3)将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，求直线l的表达式． 【答案】(1)，， (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出直线的解析式为．当时，，得点的坐标为．当时，，解得，得点的坐标为； （2）先求出直线解析式为．再求出点的坐标为．再得．设点的坐标为，再分类讨论求解即可； （3）将线段绕点沿顺时针方向旋转得线段，过点作，过点G作轴的平行线交轴于点，过点作于点，证明，求出，最后用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 则直线的解析式为． 当时，， 所以点的坐标为． 当时，，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：，，； （2）解：由，且点在轴正半轴上， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点和， ∴，解得， ∴直线解析式为． 联立直线和的解析式得： 解得， 代入得， ∴点的坐标为． 的面积，则． 设点的坐标为， 如图，过点作轴的平行线交直线于点， 当时，，解得， ， ， 当点在线段的延长线上时，如图， 解得：， 点的坐标为； 当点在线段的延长线上时，即为图中点， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图，将线段绕点沿顺时针方向旋转得线段，过点作，过点G作轴的平行线交轴于点，过点作于点， 设， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴，解得， ∴， 由题意可得将直线绕点E顺时针旋转后得到一条直线l，此时直线l过点， 设直线l的关系式为， 则，解得， ∴直线l的关系式为， 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标，全等三角形的性质，旋转的性质，分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $