专题5.4用一次函数解决实际问题之应用(7大题型+典题精炼)2025-2026学年苏科版八年级数学上册讲练测

专题5.4用一次函数解决实际问题 题型梳理 [题型一 一次函数应用之分配方案问题]..........................................................2 [题型二 一次函数应用之最大利润问题]..........................................................9 [题型三 一次函数应用之行程问题].................................................................15 [题型四 一次函数应用之梯度计价问题].........................................................20 [题型五 一次函数应用之其他问题].................................................................25 [题型六 一次函数应用之几何问题].................................................................30 (基础知识) 一次函数解决实际问题的核心公式是 y=kx+b（k≠0），其中各字母的实际意义 需结合场景定义，无固定公式，仅需套用模型。 1. 核心公式及字母意义 *通用公式:y=kx+b (x为自变量,y为因变量,k为斜率,b是截距) *特使情况:当五固定初始量时,b=0,公式简化为y=kx(正比例函数,是一次函数的特例) 二.不同场景下的公式适配(字母对应的实际意义) 1. 费用类场景 *公式模型:总费用y=kx+b;k=单位费用,b=固定费用,x=数量 2. 行程类场景 *公式模型:路程y=速度×时间+初始路程 *对应y=kx+b;k=工作效率,b=已完成工作量,x=工作时间 3. 工程类场景 *公式模型;工作量y=工作效率×时间+已完成工作量 *对应y=kx+b,k=工作效率,b=已完成的工作量,x=工作时间 4. 方案选择类场景 *公式模型:设两个方案,分别列y1=k1x+b1和y2=k2x+b2 *关键公式:求费用相同时,令y1=y2,解方程得x(分界点) 三.常用衍生公式(解题必备) 1.求斜率k:若已知两组对应值(x1,y1)和(x2,y2),则k= (实际意义为单位变化量) 2.求截距b:将已知点(x0,y0)和k代入y=kx+b,得b=y0-kx0 3.交点求解:两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2得交点,令k1x+b1=k2x+b2,解得 X= 再代入求y 四. 注意事项 *公式中k和b得符号有实际意义:k>0时,y随x增大而增大;k<0时反之;b=0表示无固定初始量. *自变量x需符合实际(如时间.数量非负.人数为整数),需标注取值范围. （练习题） [题型一 一次函数应用之分配方案问题] 1．某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 2．为了方便老师工作，某中学决定购进一批教学用具，在购买教学用具时，该校从甲、乙、丙三家商场了解到同一种型号教学用具的优惠条件如下： 甲：定价为90元，超过5个，超过的部分每个优惠20%；   乙：定价为90元，每个优惠10% ； 丙：购会员卡100元，每个教学用具70元． (1)设该校购买x个教学用具，选择甲商场时，所需费用为y1元；选择乙商场时，所需费用为y2元；选择丙商场时，所需费用为y3元；请分别求出y1 ，y2 ，y3与x之间的函数关系式； (2)当购买教学用具数量大于多少件时，y2＞y3？ 3．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 4．什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． (1)设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 5．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． [题型二 一次函数应用之最大利润问题] 6．鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 (1)求与之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 7．“十一”期间某超市对一款饮料进行为期9天的打八折促销活动．如图所示的是该款饮料的销量（瓶）与时间（天）之间函数关系的部分图象． (1)求与之间的函数表达式； (2)已知该款饮料的进价为7元/瓶，打折前售价为10元/瓶．求： ①促销期间，日销售最大利润； ②日销售利润不低于100元的天数． 8．港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 9．某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 10．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） [题型三 一次函数应用之行程问题] 11．汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 12．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 13．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 14．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是________m． (2)求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程． 15．甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图； （2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间． [题型四 一次函数应用之梯度计价问题] 16．某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 17．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 18．个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 19．新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 20．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． [题型五 一次函数应用之其他问题] 21．2025年新修订的《反不正当竞争法》实施后，多地规范网约车计价规则．福鼎市某合规网约车平台调整运价为：普通时段起步价7元（含2公里基础里程），超出2公里后，超出部分按每公里2元收取里程费．某乘客在普通时段打车，设行驶里程为公里，应缴车费为元． (1)当时，写出与之间的函数关系式； (2)若该乘客在普通时段打车8公里，他这次的打车费用是多少元？ 22．某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 23．随着技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活，某公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了9个小时．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人每小时分拣快递______件； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当天乙机器人分拣快递的数量比甲机器人分拣快递的数量多______件． 24．陕西省近年来不断推进储能项目发展．重力储能是一种新型储能方式，它能通过提升或放下重物实现能量的储存或释放．重力储能分为两部分：①输入电能提升重物，储存能量；②放下重物，释放能量输出电能．某风力发电站采用了这种储能方式．测量人员对储能过程进行了一次的监控，其中储存的能量与时间各段成一次函数关系，请你根据绘制的图象回答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)根据数据分析，该重力储存系统的储存效率为（储存能量与输入电能之比），综合效率为（输出电能与输入电能之比）．请你计算该发电站在这一天中运行几小时后损失的电能达到了． 25．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． [题型六 一次函数应用之几何问题] 26．如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M． （1）求l1的函数表达式； （2）若点M坐标为（1，），求S△APM； （3）无论k取何值，直线l2恒经过点　　，在P的移动过程中，k的取值范围是　　． 27．经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）. （1）请求出n的值； （2）试求出PB的长度. （3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积. 28．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 29．【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 30．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4用一次函数解决实际问题 题型梳理 [题型一 一次函数应用之分配方案问题]..........................................................2 [题型二 一次函数应用之最大利润问题]..........................................................9 [题型三 一次函数应用之行程问题].................................................................15 [题型四 一次函数应用之梯度计价问题].........................................................20 [题型五 一次函数应用之其他问题].................................................................25 [题型六 一次函数应用之几何问题].................................................................30 (基础知识) 一次函数解决实际问题的核心公式是 y=kx+b（k≠0），其中各字母的实际意义 需结合场景定义，无固定公式，仅需套用模型。 1. 核心公式及字母意义 *通用公式:y=kx+b (x为自变量,y为因变量,k为斜率,b是截距) *特使情况:当五固定初始量时,b=0,公式简化为y=kx(正比例函数,是一次函数的特例) 二.不同场景下的公式适配(字母对应的实际意义) 1. 费用类场景 *公式模型:总费用y=kx+b;k=单位费用,b=固定费用,x=数量 2. 行程类场景 *公式模型:路程y=速度×时间+初始路程 *对应y=kx+b;k=工作效率,b=已完成工作量,x=工作时间 3. 工程类场景 *公式模型;工作量y=工作效率×时间+已完成工作量 *对应y=kx+b,k=工作效率,b=已完成的工作量,x=工作时间 4. 方案选择类场景 *公式模型:设两个方案,分别列y1=k1x+b1和y2=k2x+b2 *关键公式:求费用相同时,令y1=y2,解方程得x(分界点) 三.常用衍生公式(解题必备) 1.求斜率k:若已知两组对应值(x1,y1)和(x2,y2),则k= (实际意义为单位变化量) 2.求截距b:将已知点(x0,y0)和k代入y=kx+b,得b=y0-kx0 3.交点求解:两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2得交点,令k1x+b1=k2x+b2,解得 X= 再代入求y 四. 注意事项 *公式中k和b得符号有实际意义:k>0时,y随x增大而增大;k<0时反之;b=0表示无固定初始量. *自变量x需符合实际(如时间.数量非负.人数为整数),需标注取值范围. （练习题） [题型一 一次函数应用之分配方案问题] 1．某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 2．为了方便老师工作，某中学决定购进一批教学用具，在购买教学用具时，该校从甲、乙、丙三家商场了解到同一种型号教学用具的优惠条件如下： 甲：定价为90元，超过5个，超过的部分每个优惠20%；   乙：定价为90元，每个优惠10% ； 丙：购会员卡100元，每个教学用具70元． (1)设该校购买x个教学用具，选择甲商场时，所需费用为y1元；选择乙商场时，所需费用为y2元；选择丙商场时，所需费用为y3元；请分别求出y1 ，y2 ，y3与x之间的函数关系式； (2)当购买教学用具数量大于多少件时，y2＞y3？ 【答案】(1)；； (2)10 【分析】（1）根据个商场的优惠条件，得出y1，y2，y3与x之间的函数关系式，即可求解； （2）根据题意得到关于x的不等式，即可求解。 【详解】（1）解：由题意可得， 当0＜x≤5时，， 当x＞5时，． ； ； ； （2）解：若，则81x＞100＋70x 解得： ∵x取正整数 ∴x＝10， ∴当购买教学用具数量大于10件时，y2＞y3. 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键。 3．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】(1)， (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）联立函数解析式得： ，解得：， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 4．什邡某影院的电影票价：成人票每张35元，学生票每张20元．春节期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生去该电影院看电影． (1)设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)当时，一样多，方案1优惠，方案2优惠 【分析】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，再进一步分类讨论． （1）首先根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额； 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式， （2）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据优惠方案1：付款总金额购买成人票金额除去4人后的学生票金额可得： ， 优惠方案2：付款总金额（购买成人票金额购买学生票金额）打折率可得 ； （2）解：， ①当时，得 ， ， 当学生人数为33人时，两种优惠方案付款一样多． ②当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案①付款较少． ③当时，得 ， ， ∴当时，，优惠方案②付款较少． 5．甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 厂 厂 甲地 30 40 乙地 10 15 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： 甲地 乙地 厂 x ② 厂 ① ③ ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． [题型二 一次函数应用之最大利润问题] 6．鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： 进价元束 售价元束 (1)求与之间的函数关系式； (2)该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式； （2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束， 根据题意得：， 与之间的函数关系式； （2）解：根据题意得：， 解得：， 对于， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元． 7．“十一”期间某超市对一款饮料进行为期9天的打八折促销活动．如图所示的是该款饮料的销量（瓶）与时间（天）之间函数关系的部分图象． (1)求与之间的函数表达式； (2)已知该款饮料的进价为7元/瓶，打折前售价为10元/瓶．求： ①促销期间，日销售最大利润； ②日销售利润不低于100元的天数． 【答案】(1) (2)①300元；②日销售利润不低于100元的天数共有7天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出函数关系式； （3）①由函数的图象可得，当时，销售量最高，即可求最大利润； ②分两种情况求出日销售利润不低于100元的对应的取值值范围，即可得出日销售利润不低于100元的天数． 【详解】（1）解：当时， ∵图象过原点， ∴设函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴， 当时，设函数的表达式为， 将代入，得 ，解得 ∴ 综上所述，与的函数表达式为 （2）①设日销售最大利润为，则， ∵， ∴随的增大而增大， 由题意可知，最大为300， ∴最大为300元； ②当时，根据题意，得，解得， 当时，根据题意，得，解得， ∴， ∴（天） ∴日销售利润不低于100元的天数共有7天． 8．港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【答案】(1) (2)他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益 【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式； （2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩， ， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得：， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，获得最大收益． 答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益． 9．某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 【答案】(1)；且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本题的关键． （1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可； （2）根据计划用不超过1800元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润的最高值． 【详解】（1）解：由题意得； 与的函数关系式为:； 由题意得， 解得 ， ∴ 且为整数； （2）解：中， 随的增大而增大， 当时，y最大， 最大值为，此时， 当购进甲品牌30个，购进乙品牌20个时获利最多，最多为400元． 10．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【答案】(1) (2)从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台 (3)①当时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台；②当时，各种方案费用一样多；③当时，从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【分析】本题考查了一次函数的应用， 解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． （1）根据总费用=城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用+城运往乡的费用，即可求解； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出，分情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求解即可；②当时，元，各种方案费用一样多，③当时，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． （3）解： =， ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． [题型三 一次函数应用之行程问题] 11．汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 12．甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 13．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 14．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是________m． (2)求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程． 【答案】(1)500 (2)315米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）用男子组的速度乘以时间再加上已经跑过的路程，进行求解即可； （2）求出函数关系式，联立两个解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：（米）， 故答案为：500； （2）女子组的速度为：，男子组队员跑步的路程：，女子组队员跑步的路程：， 联立： 解得： （米）， 男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米． 15．甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图； （2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间． 【答案】（1）图像见解析；（2）12 【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像； （2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可． 【详解】解：（1）作图如图所示： ； （2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v， ∴， 解得：， ∴甲整个行程所用的时间为12． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等． [题型四 一次函数应用之梯度计价问题] 16．某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 17．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 18．个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）月收入超过元但低于元的部分征收的所得税；月收入超过元但低于元的部分征收的所得税，据此即可列出函数解析式； （2）将代入（1）中解析式，即可求解； （3）将代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）由题意可得， 即应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式为． （2）当时，（元） 某人月收入9800元，求他应缴所得税元 （3）当时，， 解得， 此人本月的工资是元． 19．新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 20．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 【答案】(1) (2)行驶的路程为 (3)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，画函数图象； （1）根据分段函数的计算方法列函数关系式即可； （2）把代入，求出x值即可； （3）根据函数的解析式画函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上； （2）解：∵， ∴， 解得； ∴行驶的路程为； （3）解：函数图象为： [题型五 一次函数应用之其他问题] 21．2025年新修订的《反不正当竞争法》实施后，多地规范网约车计价规则．福鼎市某合规网约车平台调整运价为：普通时段起步价7元（含2公里基础里程），超出2公里后，超出部分按每公里2元收取里程费．某乘客在普通时段打车，设行驶里程为公里，应缴车费为元． (1)当时，写出与之间的函数关系式； (2)若该乘客在普通时段打车8公里，他这次的打车费用是多少元？ 【答案】(1) (2)19元 【分析】题目主要考查一次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：超出2公里时， 与之间的关系式为； （2）， 把代入得，， 他这次打车的费用是19元． 22．某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①选择方案一更省钱；②有更省钱的购买方案，先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，所需费用为1680元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ； （2）解：①当时，． ∵， ∴选择方案一更省钱． ②有更省钱的购买方案： 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本， 该方案所需费用为（元）． 23．随着技术的快速发展，智能设备已经走入我们的生产生活，某公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人中途停工维修，维修结束后又和乙机器人一起继续工作，从开始分拣到结束工作，乙机器人工作了9个小时．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人每小时分拣快递______件； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当天乙机器人分拣快递的数量比甲机器人分拣快递的数量多______件． 【答案】(1)600 (2) (3)3000 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）由图象可知，小时，只有乙机器人工作，进而求出乙机器人的工作效率，再根据小时，甲和乙机器人共分拣快递件，求出甲机器人的工作效率即可； （2）求出两个机器人的工作效率之和，设出函数解析式，把代入函数解析式，进行求解即可； （3）用乙的总量减去甲的总量进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，乙的工作效率为（件/小时）， 故甲的工作效率为（件/小时）， 故答案为：600； （2）解：由（1）可知，两个机器人的工作效率之和为（件/小时）， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （3）解：（件）， 故答案为：3000． 24．陕西省近年来不断推进储能项目发展．重力储能是一种新型储能方式，它能通过提升或放下重物实现能量的储存或释放．重力储能分为两部分：①输入电能提升重物，储存能量；②放下重物，释放能量输出电能．某风力发电站采用了这种储能方式．测量人员对储能过程进行了一次的监控，其中储存的能量与时间各段成一次函数关系，请你根据绘制的图象回答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)根据数据分析，该重力储存系统的储存效率为（储存能量与输入电能之比），综合效率为（输出电能与输入电能之比）．请你计算该发电站在这一天中运行几小时后损失的电能达到了． 【答案】(1)段的函数表达式 (2)运行小时后损失的电能达到了 【分析】本题主要考查了一次函数的运用，掌握待定系数法，理解图示的含义是解题的关键． （1）根据图示，运用待定系数法即可求解； （2）由图可知：小时为储存能量阶段，小时为释放电能阶段，一天循环两个周期，先求出第一周期的电能损失，再求出剩下的电能损失在第二周期所用时间即可得答案． 【详解】（1）解：根据图示得到，，，设的解析式为， ∴， 解得，， ∴段的函数表达式； （2）解：由图可知：小时为储存能量阶段，小时为释放电能阶段，一天循环两个周期， ∵，重力储存系统的储存效率为， ∴输入的电能为， ∵综合效率为， ∴小时损失的电能为， ∵损失的电能达到， ∴第二周期损失电能为：， ∴第二周期所需时间为：（小时）， （小时）， ∴在这一天中运行小时后损失的电能达到了． 25．如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可； （2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可； （3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格，x增加，y减小， 则， 关于x的函数解析式为， 当时，， 当时，的值为2； （2）解：根据题意，得，即， 解得， 答：此时单层部分的长度是； （3）解：， 当时，得， 解得， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． [题型六 一次函数应用之几何问题] 26．如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M． （1）求l1的函数表达式； （2）若点M坐标为（1，），求S△APM； （3）无论k取何值，直线l2恒经过点　　，在P的移动过程中，k的取值范围是　　． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）将点A（0，2）和C（6，﹣2）代入，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据过点M求出解析式，求出求S△APM； （3）过定点，分别求出在两点的时的k即可． 【详解】（1）点A（0，2）和C（6，﹣2）代入，得： ，解得 ． （2）过M A（0，2），B（4，2）,点P是线段AB上的动点 直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P ． （3） 过定点 当点经过A（0，2）时，代入 ，解得 当点经过B（4，2）时，代入 ，解得 当点P从点A到点B的移动过程中，k的值在不断变小，点P不与点A重合． ． 【点睛】本题考查了，待定系数法求一次函数解析式，一次函数围成的三角形面积，过定点的一次函数，通过数形结合，理解题意，正确的解得一次函数解析式是解题的关键． 27．经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）. （1）请求出n的值； （2）试求出PB的长度. （3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积. 【答案】（1）n＝6；（2）；（3）直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积为18 【分析】（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8即可求出n； （2）过P作PA⊥x轴于A，在Rt△ABP中，根据勾股定理即可求出PB； （3）由直线l2：y＝2x+8可求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8得：﹣2+8＝n， 解得：n＝6； （2）过P作PA⊥x轴于C， 则C点的坐标为（﹣1，0）， 在Rt△CBP中，PC＝|n|＝6，CB＝2﹣（﹣1）＝3，PB2＝PC2+CB2， ∴PB＝＝3； （3）∵直线l2：y＝2x+8与x轴相交于点A ∴A点的坐标为（﹣4，0）， ∴AB＝6， ∵P（﹣1，6）． ∴S△PAB＝×6×6＝18． ∴直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积为18． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质与勾股定理的运用． 28．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作轴交直线于点E，使，设点C的横坐标为m． (1)求点A、点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)如图2，连接，，在点C运动的过程中，当的面积等于的面积时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意，当时，当时，分别代入求解即可； （2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （3）过作于，然后结合图形表示出，得出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：． ， 当时，， ； （2）解：的横坐标为， ， 当时，， ． ， ， ， 由得：， 解得：； （3）解：过作于， ， ， ， ， 解得：． 29．【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或 【分析】任务1：①由“纵横值”定义得，即可求解； ②设线段上任一点的坐标为，由“纵横值”定义即可求解； 任务2：由“纵横值”定义和得，即可求解； 任务3：①设，由“纵横点”和“纵横值”的定义得，根据要求画出图形，即可求解； ②设，，由“纵横点”求出，可得点为直线与直线的交点，由待定系数法求得直线的解析式为； 同理可求另一条直线，即可求解． 【详解】解：任务1： ①； 故答案为：； ②设线段上任一点的坐标为， ， ，， 当时， ， 即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 任务2： ， ， 整理得：， 故答案为：； 任务3：①设， “纵横点”坐标为，“纵横值”是8， ， 整理得：， 所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下： ②设，， ， ， 整理得：， ， 联立得， 解得， 点为直线与直线的交点， 由图得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义，待定系数法，理解新定义是解题的关键． 30．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $