第01讲 证明（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第01讲 证明 知识点：命题与证明 【题型一 判断是否是命题】 【典例1】在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【变式1】下列四个选项中的说法不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．如果，那么 D．三角形的外角大于任何一个内角 【变式2】下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【变式3】下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【题型二 写出命题的题设与结论】 【典例2】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【变式1】把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式： ． 【变式2】将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 【变式3】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【题型三 判断命题真假】 【典例3】下列命题是真命题的是（   ） A．带根号的数都是无理数 B．圆周率是有理数 C．无理数无法用数轴上的点表示 D．无理数是无限不循环小数 【变式1】下列命题是假命题的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．判断某一件事情的句子叫做命题 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 【变式2】下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【变式3】下列命题中，是真命题的是(   ) A．若，则 B．相等的角是对顶角 C．两点之间线段最短 D．若，则． 【题型四 举例说明假(真)命题】 【典例4】对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式1】能说明命题“若，则”是假命题的反例为（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题而所举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】下列选项中，可以用来说明“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【题型五 定理与证明】 【典例5】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【变式1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【变式3】下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【题型六 逻辑推理与论证】 【典例6】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【变式2】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是 ． 【变式3】甲、乙、丙、丁四人各说了一句话．甲说:“我是说实话的人”；乙说:“我们四个人都是说谎话的人”；丙说:“我们四个人只有一人是说谎话的人”；丁说:“我们四个人只有两个人是说谎话的人”．这四个人中，有人说的是实话，有人说的是谎话，那么甲说的是 ，丙说的是 ． 1．下列命题中一定正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．是25的平方根 C．带根号的数都是无理数 D．两个无理数的和仍是一个无理数 2．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 3．下列命题是真命题的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1和0 B．有理数与数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．三角分别相等的两个三角形全等 4．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ． 7．请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则 ． 8．小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了 局比赛，其中第9局比赛的裁判是 ． 9．可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 9．如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为 ． 10．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 11．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 证明 知识点：命题与证明 【题型一 判断是否是命题】 【典例1】在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 【变式1】下列四个选项中的说法不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．如果，那么 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题，熟记命题的定义是解题的关键．根据命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、对顶角相等，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； B、过直线外一点作已知直线的平行线，不是判断一件事情的语句，不是命题，则此项符合题意； C、如果，那么，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； D、三角形的外角大于任何一个内角，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 【变式3】下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 【题型二 写出命题的题设与结论】 【典例2】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 【变式1】把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等 【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可． 【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”； 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等． 【变式2】将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 【答案】如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形 【分析】本题考查了命题的改写方法，解题的关键是准确区分命题中的题设（条件）和结论． 先确定原命题中表示条件的部分“一个三角形有两条边相等”和表示结论的部分“这个三角形叫做等腰三角形”；再用“如果”引导条件，“那么”引导结论，完成命题改写． 【详解】解：首先分析原命题的结构，原命题中“一个三角形有两条边相等”是条件，“这个三角形叫做等腰三角形”是结论；   故答案为：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形． 【变式3】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【题型三 判断命题真假】 【典例3】下列命题是真命题的是（   ） A．带根号的数都是无理数 B．圆周率是有理数 C．无理数无法用数轴上的点表示 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判定、无理数的定义，有理数的定义及数轴与实数的关系，根据无理数、有理数的定义以及数轴与实数的关系，对每个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A项：无理数是无限不循环小数，而带根号的数不一定都是无理数，如，2是有理数，所以带根号的数都是无理数这一说法错误，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； B项：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，圆周率是无限不循环小数，所以圆周率是无理数，不是有理数，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； C项：数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数，所以无理数可以用数轴上的点表示，该选项中命题不是真命题，此选项不符合题意； D项：无理数的定义就是无限不循环小数，所以无理数是无限不循环小数这一说法正确，该选项中命题真命题，此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】下列命题是假命题的是（    ） A．三角形具有稳定性 B．判断某一件事情的句子叫做命题 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性、命题的定义、全等三角形的性质及判定；根据初中数学知识，逐一判断各选项的真假． 【详解】解： A：三角形具有稳定性，是真命题； B：判断某一件事情的句子叫作命题，是命题的定义，是真命题； C：全等三角形的对应角相等，是全等三角形的性质，是真命题； D：如果两个三角形有两边及其一边的对角分别相等（即SSA条件），但SSA不能保证三角形全等（如存在反例），是假命题． 所以假命题是D． 故选：D． 【变式2】下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；线段垂直平分线的判定可对D进行判断． 【详解】解：A、在一个三角形中，等边对等角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 【变式3】下列命题中，是真命题的是(   ) A．若，则 B．相等的角是对顶角 C．两点之间线段最短 D．若，则． 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，A选项两负数相乘为正，故错误；B选项相等的角不一定是对顶角，故错误；C选项是公理，正确；D选项时，不一定，故错误． 【详解】解：A．若，，则， ∴不成立，假命题； B．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角(如等腰三角形底角)，假命题； C．两点之间线段最短，是真命题； D．∵，当时，但也成立， 不成立，假命题． 故选：C． 【题型四 举例说明假(真)命题】 【典例4】对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，举一个例子，满足一个大于，一个不大于，且两个角的和大于即可． 本题考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，符合题意的是，，其余都不满足， 故选：C． 【变式1】能说明命题“若，则”是假命题的反例为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的绝对值、假命题的概念解答．反例需满足但，只有选项D符合条件． 【详解】解：∵，， ∴； 但，， ∴， 故命题不成立，选项D为反例． 选项A、C中且，选项B中，均不满足反例条件． 故选：D． 【变式2】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题而所举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查证明命题，逐项验证是解决问题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即满足，但的选项，逐一验证各选项，只有B选项满足，且即可得到答案． 【详解】解：命题“若，则”为假命题的反例，需满足，但，则 A：当，时，，不满足，不符合题意； B：当，时，，满足，故为反例，符合题意； C：当，时，，不满足，不符合题意； D：当，时，，不满足，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列选项中，可以用来说明“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是举反例，判断假命题时，只需举出一个反例，即满足条件但结论不成立即可．需要找到满足但 的反例，以证明命题为假． 【详解】解：∵ 对于选项 C：， 但， ∴ 原命题“若，则”不成立． 其他选项均不符合题意，故不是反例． 故选：C 【题型五 定理与证明】 【典例5】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 【变式2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【题型六 逻辑推理与论证】 【典例6】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】623 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 【变式2】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是 ． 【答案】小振 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 【变式3】甲、乙、丙、丁四人各说了一句话．甲说:“我是说实话的人”；乙说:“我们四个人都是说谎话的人”；丙说:“我们四个人只有一人是说谎话的人”；丁说:“我们四个人只有两个人是说谎话的人”．这四个人中，有人说的是实话，有人说的是谎话，那么甲说的是 ，丙说的是 ． 【答案】 实话 谎话 【分析】本题考查了逻辑推理与判断，根据四人所说的话，显然第二个人说的是谎话，再依次假设第三个人和第四个人说的是实话，然后再根据假设结论来推导（能推导出与条件矛盾的即为错误结论），从而得出答案． 【详解】解：乙显然说的是谎话， 假设丙说的是实话，那么丁说的应该也是实话，由此两人的话产生矛盾， 所以丙说谎话， 假设丁说实话，那么甲也说实话， 假设丁说谎话，那么只有甲说实话， 所以可以确定甲说实话，乙、丙说假话，丁说话不确定， 故答案为：实话，谎话． 1．下列命题中一定正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．是25的平方根 C．带根号的数都是无理数 D．两个无理数的和仍是一个无理数 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根和无理数的概念，举反例；根据定义及举反例逐一判断各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A. 9的立方根是，原说法错误，故不符合题意； B.是25的平方根，原说法正确，故符合题意； C.，是有理数，原说法错误，故不符合题意； D.，两个无理数的和有可能是有理数，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 2．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1和0 B．有理数与数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．三角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了命题，立方根，实数的定义，全等三角形的判定，实数与数轴，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、立方根等于本身的数有1，和0，故该选项不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，故该选项不符合题意； C、有理数和无理数统称为实数，故该选项符合题意； D、三角分别相等的两个三角形不是全等三角形，故该选项不符合题意； 故选：C 4．对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举反例判断命题的真假，把选项代入逐一排除即可求解，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，不是反例，不符合题意； 、当，时，，是反例，符合题意； 故选：． 5．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 6．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ． 【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为 “这两条直线平行”． 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 7．请写出一个a的值，能说明命题“若，则”是假命题，则 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故命题“，则”是假命题， 故答案为：（满足条件即可）． 8．小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小黄共当裁判9局，小刘、小李分别进行了23局、13局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了 局比赛，其中第9局比赛的裁判是 ． 【答案】 27 小李 【分析】本题考查推理与论证；先确定小刘和小李之间打了局，小刘和小黄之间打了局，小李和小黄打了局，进而确定三人一共打的局数和小李当裁判的局数即可得解。 【详解】解：小黄共当裁判局， 小刘和小李之间打了局， 小刘、小李分别进行了局、局比赛， 小刘和小黄之间进行了局比赛， 小李和小黄之间进行了局比赛， 三人一共打了局比赛， 小刘打了局比赛、小李打了局比赛， 小刘当裁判局，小李当裁判局， 而小黄当裁判局，从到共个奇数，个偶数， 每一局都有胜负， 不会出现连续做裁判的情况， 总共27局比赛，由于裁判每局轮换，任何一人最多能当裁判局，小李当裁判的次数14局达到了最大值，因此其担任裁判的局次必然是第1, 3, 5, ..., 27局。故第9局的裁判是小李， 故答案为：；小李 9．可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当时，，但是， ∴是假命题的反例． 故答案为：． 9．如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为 ． 【答案】531 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．根据题意分析推理即可，由①结合③可以确定最上边第一位数字为5，由①②可以确定后两位数为31，据此分析即可． 【详解】解：由③最上面的密码数字是10的因数且①密码数字均为奇数，且各不相同， ∴最上边第一位数字为5， ∵①密码数字均为奇数，且各不相同且②密码数字从上至下递减， ∴中间和下面两个数字分别为3和1， 则正确密码为531， 故答案为：531． 10．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补 (2)假命题，反例为：一个角为，一个角为 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补； （2）该命题是假命题， 反例为：一个角为，一个角为， 满足条件一个锐角和一个钝角，但，因此这两个角不互补． 11．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，真命题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，则如果，那么；或如果，那么．进行证明，即可作答． 【详解】解：真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）； 或真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）； 1 学科网（北京）股份有限公司 $