精品解析：河北省唐山市丰南区经安中学四校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年度第一学期九年级数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 考生须知 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）． A. -2 B. 2 C. -2或2 D. 0 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 4. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 5. 将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 某商品经过两次降价，售价从原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A B. C. D. 8. 如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°, 那么∠AOB等于（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. a>0 B. c<0 C. b2-4ac<0 D. a+b+c>0 11. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于原点对称点的坐标是___________． 14. 如图，扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________（结果保留）． 15. 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则不等式的解集是__________． 16. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为__________． 三、解答题（本题满分72分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出解答过程． 17. 用配方法解方程：． 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 19. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）当x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）当x取何值时，？ 20. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是多少？ （2）从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率． 21. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求长． 22. 某商场销售一种进价为20元/件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：． （1）求该商场销售这种商品每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该商场每天的销售利润不低于2000元，求销售单价x的取值范围． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的值． 24 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，且在直线的上方，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形的面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级数学第二次月考试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 考生须知 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（ ）． A -2 B. 2 C. -2或2 D. 0 【答案】A 【解析】 分析】根据题意可得m2﹣4=0，且m﹣2≠0，求解即可． 【详解】由题意得：m2﹣4=0，解得：m=±2． ∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，从中随机摸出一个球，是红球的概率是：； 故选A． 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有，从而求出． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC中位线， ∴BC＝2DE， ∵DE＝3， ∴BC＝2×3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 4. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式和反比例函数的性质，通过代入点求出k的值，根据k的符号判断图象所在的象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴ , ∴ ∴该函数图象在第二、四象限 故选：D 5. 将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了点的平移．根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少进行解答即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位，再向下平移2个单位， ∴点的坐标是， 即点的坐标是， 故选：A 6. 如图，是的直径，C是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 故选B. 7. 某商品经过两次降价，售价从原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为x，然后根据商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得或（舍去）， 故选C． 8. 如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°, 那么∠AOB等于（ ） A 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【详解】∵PA是圆的切线． ∴∠OAP=90° 同理∠OBP=90° 根据四边形内角和定理可得：∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120° 故选C． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. a>0 B. c<0 C. b2-4ac<0 D. a+b+c>0 【答案】D 【解析】 【详解】由图像开口向下得a＜0，当x=0时y=c＞0. ax2＋bx＋c=0有两根所以判别式大于零.当x=1时y= a＋b＋c>0故选D 11. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 12. 如图，在矩形中，，点P在边上，且，点Q在边上，若为等腰三角形，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 过点作于点，此时只有这一种情况，则,，由等腰三角形的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴,， ∴， ∴为等腰三角形，只能是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于原点的对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式． 利用扇形面积公式可得． 【详解】解：扇形面积公式为． 故答案为：． 15. 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），则不等式的解集是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与不等式，正确求出二次函数图象与x轴交点的横坐标是关键． 先求二次函数与x轴的交点，即解方程 ，得到根，；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，据此求出不等式的解集即可． 【详解】解：解方程 得到 ，； 由于二次函数二次项系数为， ∴图象开口向下， ∴不等式 的解集为x小于较小根或大于较大根， 即 或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，过作，交于点，由垂径定理可知为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， 过作，交于点，如图所示， ， 为的中点， ，且，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 三、解答题（本题满分72分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出解答过程． 17. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握好完全平方公式是关键． 按照完全平方公式的形式，将等式左边配方，然后直接开方即可． 【详解】解： ， ， ， ， ，． 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式：；一次函数解析式： （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可． （2）令一次函数与y轴交点为C，求出点C的坐标，然后根据求解即可． （3）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像交于， ∴， ∴反比例函数解析式：， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵一次函数过、： 则 解得 ∴一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：令一次函数与y轴交点为C， 令，则， 故 ∴ 【小问3详解】 解：由图像可知：当或时，． 19. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）当x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）当x取何值时，？ 【答案】（1）顶点，对称轴； （2）当时，y随x的增大而减小 （3）当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将函数解析式一般式化为顶点式为解题关键． （1）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点； （2）根据对称轴左右两侧图象的上升和下降趋势确定函数的增减性； （3）求出抛物线与x轴的交点的横坐标，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ， 顶点，对称轴； 【小问2详解】 ，对称轴，抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小． 【小问3详解】 解方程 得或， 因为， ∴当1 < x < 3时， 20. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是多少？ （2）从袋子中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解； （2）首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，袋子里总共有5个球，红球有2个，所以摸出红球的概率为； 【小问2详解】 解：列表得： 红1 红2 白1 白2 白3 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白1） （红1，白2） （红1，白3） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白1） （红2，白2） （红2，白3） 白1 （白1，红1 ） （白1，红2） （白1，白1） （白1，白2） （白1，白3） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白1） （白2，白2） （白2，白3） 白3 （白3，红1） （白3，红2） （白3，白1） （白3，白2） （白3，白3） 总共有25种可能结果，两次都摸到红球的情况有4种，概率为． 21. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质，可得，结合已知可得，可得，由等边对等角，等量代换，可得，即可证得结论； （2）作于点，四边形是矩形，可得，，由已知可得，，从而可得，根据勾股定理可得，即可得，用勾股定理解，即可得的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵点在上，是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：作于点，则， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的直径，C在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，勾股定理． 22. 某商场销售一种进价为20元/件的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：． （1）求该商场销售这种商品每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）若该商场每天的销售利润不低于2000元，求销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）当销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元 （3）销售单价x的取值范围为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数实际应用，利用二次函数解决实际问题是解题的关键． （1）首先根据利润=（单价－进价）×销售量，结合已知的销售量与销售单价之间的关系式，即可求出销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）首先将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质，确定函数的最大值，进而得到最大利润以及对应的销售单价即可； （3）首先根据已知条件列出对应的不等式，再利用二次函数的性质进行求解不等式，得到x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴这种商品每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，， ∴当销售单价定为35元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元； 【小问3详解】 解：∵商场每天的销售利润不低于2000元， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴销售单价x的取值范围为． 23. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的基本性质可得，，结合等腰三角形的性质，可证明； （2）根据直角三角形的性质，可以求出．利用勾股定理，可以算出的长，通过面积法，可以算出．再一次使用勾股定理，可以得到； （3）利用同弧所对的圆周角相等，将转化为，根据正切函数的定义求出数值． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是 的直径， ∴，， ∵， ∴点D是中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵是 的直径， ∴， ∵， ∴点D是直角斜边上的中点， ∴，， 在直角中，， ， ∴，解得，， 在直角中，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握好圆的基本性质是解题关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，且在直线的上方，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形的面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在．点Q的坐标为：、或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解一元二次方程，求函数最值． （1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）先求出直线的解析式，构造以为高的三角形，用含的式子表示，进而得到面积的二次函数，根据二次函数性质求最值即可； （3）根据（2）的方法列出一元二次方程，解方程，即可求解； 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， 令，则， ， 设直线解析式为，把，代入， 得， ， 直线的解析式为， 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， ， 二次函数开口向下， 有最大值， 【小问3详解】 解：过点作轴，交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ 解得：或或或 当时， 当时， 当时， 当时， ∴点Q的坐标为：或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $