精品解析：黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题（五四制）

虹桥中学2025-2026（上）初三学年十二月份作业反馈（数学） 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形不是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘，逐一判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．无法合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 4. 已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 5. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】．是二次根式的有，，，共3个， 故选：B． 6. 计算（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的性质，同底数幂的乘法，熟记性质并转化为同指数幂相乘是解题的关键． 把写成的形式，再逆用积的乘方的性质进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为（ ），你觉得这一项应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得出缺失平方项． 【详解】根据完全平方的形式可得，缺失的平方项为9b2 故选C． 【点睛】本题考查了整式的加减及完全平方式的知识，掌握完全平方公式是解决本题的关键． 8. 已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证． 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答． 【详解】解：根据图形大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 每个梯形的高为， 利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 可得式子， 所以利用如图所示的几何图形可以证明， 故选：A． 9. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 与三角形三个顶点距离相等的点是三条内角平分线的交点 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线的性质判断即可． 【详解】解：A、与三角形三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，故选项A不是真命题； B、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故选项B是真命题； 理由：如图，是的外角，平分，． ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． C、等腰三角形的底边的高、底边的中线、顶角平分线三线合一，故选项C不是真命题； D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故选项D不是真命题． 故选：B． 10. 如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，交于点，垂足为点．以下四个结论：①；②；③；④当且时，若则四边形的面积为1.5．其中成立的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 利用垂直平分线的性质可得，，即可得①结论成立；通过角平分线可得，推出，即可得②结论成立；利用外角性质可得，即可推出，即可得③结论成立；过点作于点，证明，可得，再证明，可得，再利用等腰三角形的性质推出，证明，故④结论成立． 【详解】解：是的中垂线， ，， ，，故①结论成立； 是的角平分线， ， ， ，故②结论成立； ， ， ， ，故③结论成立； 如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中垂线， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ，即，故④结论成立； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为毫米，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法； 根据科学记数法的表示方法可直接得出答案． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案． 【详解】因为分式有意义， 所以， 可得． 故答案为：． 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式，要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考查多项式除单项式的运算, 多项式除单项式先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加. 15. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 16. 已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1•y2006的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，找出规律即可求出y2006的值，进而得出结果． 【详解】先把y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，得出规律当为奇数时值为2x，当为偶数是值为，所以y2006＝， 所以y1•y2006＝2x•＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的化简和数字类的规律问题，熟练进行分式化简是关键． 17. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的计算法则运算即可． 【详解】 = =， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是结果应该化为最简二次根式． 18. 在中，为边上的高，若，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键． 分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算． 【详解】解：当高在内部时，如图， ，在中，； 当高在外部时（点D在延长线上）， ，则， 在中，， 故答案为：或． 19. 如图，等腰中，，，面积为24．点E在边上，点F在边上，且垂直平分，点D是边的中点，点M在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点D是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点M在上时，最小，由此即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 当点M在上时，最小，最小值为， ∴的周长最短． 故答案为：10． 20. 为等边三角形，点在上，点在上，连接,相交于点，且，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、线段的和差关系等知识点．解题关键在于准确找到全等三角形的对应边和对应角，这是后续推理的基础．以及角的等量代换，线段关系的熟练运用．证明和，和全等，通过角等量代换，三线合一，算出的长即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，过点作于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴设，则 ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练计算是解题的关键． 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到化简后的式子，然后计算的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 把代入原式，可得原式． 22. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． （1）直接写出的面积为 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m； （3）请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】（1）5 （2） 如图1，直线m即为所求． （3） 如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【小问1详解】 解：（1）的面积为， 故答案为：5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知，，，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知，，，求的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，上文中原问题 ； （2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，合理应运题目所给条件是解决本题的关键． （1）首先求出，然后得到，进而求解即可； （2）已知等式变形求出，原式利用完全平方公式变形后得到，然后整体代数求出，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 24. 如图1，在中，点在上，点在上，，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，若，，连接，直接写出图中的所有等腰三角形（和除外）． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练寻找图中的等腰三角形是解题的关键． （1）利用证明可证得答案，得，进而可求解，即可证明结论； （2）根据可得为等腰三角形；求得，可得为等腰三角形，证明可得，利用线段的差可得，推出为等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， 为等腰三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即， 为等腰三角形， 综上，图中的所有等腰三角形有，，，（和除外）． 25. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍． （1）求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11040元，求最多可以购买“妮妮”多少个． 【答案】（1）购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元 （2）最多可以购买“妮妮”76个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元，利用数量总价单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之即可解答； （2）设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，利用总价单价数量，结合总价不超过11040元，可列出关于的一元一次不等式，解之即可解答． 【小问1详解】 解：设购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元； 【小问2详解】 解：设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可以购买“妮妮”76个． 26. 如图1，在中，，为边上的中线，点为边上的点，连接，，点为延长线上的点，点为的中点，连接，若． （1）求的度数； （2）如图2，点为上的一点，连接并延长交于点，交于点，若，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】（1）的度数为； （2） 解：是等边三角形，理由如下： 作于点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）线段的长度为． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质，可得，，结合已知可得，设，则，由三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质，即可得的度数； （2）作于点，由直角三角形的两个锐角互余，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，证明，可得，可得，由三角形的内角和定理可得，可得，即可得的形状； （3）连接，是等边三角形，可得，，由平行线的判定和性质，可得，证明，可得，由（2）得是等边三角形，可得，证明，可得，等量代换，可得，即可得线段的长度． 【小问1详解】 解：∵在中，，为边上的中线， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段的和与差． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，且，C为上一点，点D为上的一点，连接，，若，且． （1）求C点坐标； （2）如图2，过点A作，交的延长线于点E，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点F，过点D作x轴的平行线，交的平分线于点G，交于点L，若，求F点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据已知条件利用等面积法求出的距离即可求得点C坐标； （2）设，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质推导出是等边三角形，即可求得结果； （3）先证出平分∠GLD，再证明△，推出是等边三角形，继续证明，在上取一点H，使得，证明，通过导角推导出，连接，，，，分别过点G作，，利用线段垂直平分定理证明出，再证明四边形为菱形，设，，表示出相关线段，分别表示和的面积，列出关系式求m的值，最终可求得点F的坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点D作， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴，即， ∴点C坐标为． 【小问2详解】 解：设，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点G，过点O作交于点J， ∵为的角平分线，为等腰三角形， ∴，即为的中垂线， 又∵， ∴由线段垂直平分线性质可知，， ∴， ∴， ∴平分， 过点D作，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在上取一点H，使得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接，，，，分别过点G作，， 由线段垂直平分线性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴与互相垂直平分， 设，则， ∵， ∴，即， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵，，， ∴由角平分线性质可知，为的角平分线， ∴易证得， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， ∴点F坐标为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式的应用，垂直平分线定理，角平分线的性质及三角形内角和定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学2025-2026（上）初三学年十二月份作业反馈（数学） 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A. 5 B. C. D. 1 5. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 计算（　　） A. 2 B. C. D. 7. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为（ ），你觉得这一项应是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（　　） A. B. C. D. 9. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 与三角形三个顶点距离相等的点是三条内角平分线的交点 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 10. 如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，交于点，垂足为点．以下四个结论：①；②；③；④当且时，若则四边形的面积为1.5．其中成立的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共计30分） 11. 最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为毫米，将数据用科学记数法表示为________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是______． 13. 分解因式：________． 14. 计算：______． 15. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 16. 已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1•y2006的值为______． 17. 计算：______． 18. 在中，为边上的高，若，则的度数为________． 19. 如图，等腰中，，，面积为24．点E在边上，点F在边上，且垂直平分，点D是边的中点，点M在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 _____． 20. 为等边三角形，点在上，点在上，连接,相交于点，且，，则线段的长为________． 三、解答题（21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． （1）直接写出的面积为 ； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴m； （3）请在线段的右侧找一点D，画出，使． 23. 在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知，，，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知，，，求的值”，这样解答就方便了． （1）通过阅读，上文中原问题 ； （2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：，求的值． 24. 如图1，在中，点在上，点在上，，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，若，，连接，直接写出图中的所有等腰三角形（和除外）． 25. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍． （1）求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？ （2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11040元，求最多可以购买“妮妮”多少个． 26. 如图1，在中，，为边上的中线，点为边上的点，连接，，点为延长线上的点，点为的中点，连接，若． （1）求的度数； （2）如图2，点为上的一点，连接并延长交于点，交于点，若，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，且，C为上一点，点D为上的一点，连接，，若，且． （1）求C点坐标； （2）如图2，过点A作，交的延长线于点E，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点F，过点D作x轴的平行线，交的平分线于点G，交于点L，若，求F点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $