2.1 认识一元二次方程（九大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.1 认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项即可得解． 【详解】解：选项，含两个未知数，不是一元方程，不符合题意； 选项，只含一个未知数，最高次数为，且为整式方程，符合题意； 选项，含两个未知数，不是一元方程，不符合题意； 选项，分母含未知数，不是整式方程，不符合题意． 故选：． 2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 3．已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)， (2)当时，此方程为一元二次方程； 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程化为一般形式，其中，再确定常数项． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴常数项为5． 故选：D． 5．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，对于一元二次方程，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将一元二次方程化成一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：将方程移项， 得， 故一次项系数为， 故答案为：． 6．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的最高次项次数必须为2，因此令方程中最高次项指数等于2，求解m即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ∴ 最高次项 的指数为2， 即 ， ∴ ， 故选：B． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：且， 故． 故答案为：1． 9．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型四 判断是否是一元二次方程的解 10．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 11．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 题型五 由一元二次方程的解求参数 13．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A 14．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义得到，则有，再对所求代数式进行变形并整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15．已知是方程的一个根，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，先对分式通分，再计算括号外的，再根据一元二次方程解的定义，可得，最后代入化简后的分式求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式． 题型六 一元二次方程的解的估算 16．根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 17．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 18．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 题型七 解一元二次方程——直接开平方法 19．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 20．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤． 通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根． 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 21．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】此题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是做题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）变形后利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：开平方，得， ，． （2）解：开平方，得， ，． （3）解：整理，得 ， 开平方，得， ，． （4）解：开平方，得，或， 解得，． 题型八 解一元二次方程——配方法 22．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． 通过移项和添加一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 23．若一元二次方程经过配方，变形为，则n的值为 ． 【答案】10 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故答案为：． 24．在用配方法解方程时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得 第二步：配方，得， 即 第三步：两边开平方，得 第四步：所以，，． (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤并正确计算是解题的关键． （1）配方是两边同时加上一次项系数一半的平方，据此即可求解． （2）按配方法解一元二次方程的步骤计算，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 故小颖的解答过程从第二步开始出现错误． （2）解：， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 解得． 题型九 配方法的应用 25．把一元二次方程，配成的形式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将方程转化为完全平方式．通过配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式，从而得出和的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴． 故选：C． 26．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 27．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)当时，有最大值17 【分析】本题考查了配方法的应用，正确进行配方是解此题的关键． （1）利用配方法将所求式子配方得出，再结合，即可得解； （2）计算出，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解； （3）由得出，代入所求式子，再利用配方法将所求式子配方，最后结合非负数的性质判断即可得解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 3．已知关于的方程． (1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． (2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 5．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为 ． 6．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 9．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 10．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 12．已知是方程的一个根，求代数式的值． 题型五 由一元二次方程的解求参数 13．若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 14．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 15．已知是方程的一个根，求的值． 题型六 一元二次方程的解的估算 16．根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 17．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 18．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 题型七 解一元二次方程——直接开平方法 19．方程的根是（   ） A． B． C． D． 20．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 21．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型八 解一元二次方程——配方法 22．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 23．若一元二次方程经过配方，变形为，则n的值为 ． 24．在用配方法解方程时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得 第二步：配方，得， 即 第三步：两边开平方，得 第四步：所以，，． (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 题型九 配方法的应用 25．把一元二次方程，配成的形式，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．将一元二次方程化成的形式，则 ． 27．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用． 如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值，， 所以，所以当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)用配方法求的最小值； (2)已知，，请比较A与B的大小； (3)已知，求代数式的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $