福建省三明第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

三明一中2025-2026学年上学期高三12月月考 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足z-i=,1 i’则2= A.-13 22 B. c.13 1,3 D.22 +i 22 2.已知集合A={x2+3x-4<0},B={x>1,x∈Z,则A∩B= A.{-3,-2} B.{-3,-2,0} C.{-1,2,3} D.{2,3} 3.已知等差数列{an}满足4+a6+ag+a1=12,则2ag-4,= A.-3 B.3 C.-6 D.6 4.已知平面向量a,6满足a=（W3,l,a.6=7,则6在a上的投影向量为 32W3 7W37 44 B. 44 7N57V6 c.44) 5.过(-2,2)，(4,0)，(-4,2)三点的圆的面积为 A.元 B.2元 C.4π D.8元 6.已知函数f(x)=2cos(aox+p)(o>0,o<),其图象距离y轴最近的一条对称轴方程为 x=否，最近的一个对称中心为（名0， 则下列结论错误的是 元 A.p=- 6 B.f(x)的图象在区间 1lππ 1212 内有2个对称中心 。因在区间5引上调递增 D.f(,)的图象上所有点向右平移兀个单位长度得到函数y=2sin2x的图象 6 7.已知实数x,y满足x2+y2=1且x+y≠-1，则 2xy 的最小值为 x+y+1 A.-1-V2 B.-1+√2 C.1+2 D.1-√2 (a+1)xx≤1 8. 已知函数f(x)= 22-,x>1 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(0,1] B.(0,2) c.(-1,0] D.（-1,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.关于空间向量，以下说法正确的是 A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若a·b>0,则a与b的夹角是锐角 C.己知向量a,b,c是不共面的向量，则向量2a,b,c-a共面 D.若对空间中任意一点0，有OP=OA+OB+20C,则P,A,B,C四点共面 12 10.己知焦点在x轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实轴长与圆O的半径相 等，C与圆O在第一、二、三、四象限分别交于P,2,M,N四点，且Pg=√0，则 A.C的渐近线方程为y=±x B.PN]=6 C.C的焦距为4 D.四边形PQMW的面积为2√15 11.已知函数f(x)的定义域为(0，+o),导函数为f'(x),满足f'(x)-f(x)=(x-1)e(e为 自然对数的底数)，且f(1)=0,则 A.3f(2)>2f(3) B.f(x)在x=1处取得极小值 C.存在唯一的实数x使得f(x)=2 D.f<ff) 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知sm(（后方且0<x受则o后+列 l3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(an,Sn)总在直线y=2x-1上，则数列{na}的前5 项和T=一 14.直线I:y=a0)与椭圆E:号+少=1交于P,A两点，过点P,为作PCLx轴 垂足为点C,直线AC交椭圆E于另一点B,则sin∠APB=, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=V3 ccos4. (1)求A: (②)点D在边BC上，AD平分∠BMC,若a=4D=25,求△ABC的周长 3 16.(15分) 设数列a,}满足a=方aH=方0，+2品meN (1)证明：数列{2”·an}为等差数列： (2)设bn=(2n+)an，求数列{bn}的最大项. 17.（15分) 如图，在正三棱锥P-ABC中，AB=23,PA=2N5,N为BC中点，M为棱PA上 一点 (1)证明：MW⊥BC; (2)已知正三棱锥P-ABC各顶点均在球O的球面上. (i)求球O的半径； (i)若直线M0与平面ABC所成角的正弦值为5，求AM. 5 18.(17分) 已知椭圆E: +片=(>6>0的离心率为5，点P,)在椭圆E上，不过点P的 直线I与椭圆E相交于M,N两点. (1)求椭圆E的标准方程： (②若弦MW的中点的纵坐标为2，求△MON面积的最大值： (3)若PM·PN=0,求证：直线I过定点. 19.（17分) 已知两数/因-=h+四)2(e>0叭. 当a=时，求f(的极值： (2)讨论f(x)在区间(0，+∞)上的单调性； (3)设neN”,证明： 、2 ，2 22,3×2-1 2+3+2+3+…+2+3≤ ≤ -+ln 2"+1 三明一中2025-2026学年上学期高三12月月考 数学参考答案 一、单选题 D A B B B A 二、多选题 AD ABD BCD 三、填空题 13、129 14、1 14、:直线I:y=x(k≠0)与椭圆E交于P,A两点，设P为第一象限点，P(x,yo),PC⊥x 轴，如图，∴点A的坐标为(-x,-y),点C的坐标为(xo,0), 设a(s列，则有受+方-1，号+少=1， 两式相减得： 。-y%+y）=-1 (名-x)+x)2’ 又k=十出，ko=-,kkp=-上h=-号 xo+x xo-x x0-x。+x2’ 又kB=kAc 2x21 2 kk 又kw=k,kpkr=k()=1,因此，PLB即，所以sn乙APB=1 四、解答题 15、（13分) (1)因为asinC=3 ccosA, 由正弦定理得sinAsinC=V3 sinCcosA,…2分 又sinC>0,所以tanA=√5，… …4分 由于0<A<π，则A= 3 …5分 (2)因为S。MBc=S。iBD+SADC, 所以cnac-/D+.An<CD， Bbc=40b+o）22b+c,. …7分 由余弦定理得a2=b2+c2-2bCc0s4=b2+c2-bC=6+c}-3bc,…9分 所以3(b+C)2-2W6(b+C-48=0,…10分 解得6+c=26,或b+c=-4W6 （舍去)，…12分 3 所以a+b+C=4+2√6，即△ABC的周长为4+2√6.…13分 16、(15分) 1 1 （1)将a=20,+2两边同乘以2"， 得21a1=2”,an+1,即2.a1-2”·an=1, …3分 又2a=1,因此，{2”a.}是以1为公差，1为首项的等差数列.… …5分 (2)由(1)得2”.an=1+(n-1)×1=n,an= n …7分 2” 因此，6.=a2+五4-a+1)2+3） …9分 2 20州 61-6,=a+12m+3到-2m2m+l_-2m2+3n+33-《2m- 20州 2+州 241 …11分 当n之3时，3-n(2n-3)<0,得bn1-b.<0,即bH<b…12分 为6=专号，，-)6=所以6<么<，正 即当n<3时，bn1>bn, …14分 所以{b}的最大项是b= 21 …15分 17、(15分) (1)由正三棱锥性质可知PA=PB=PC,AB=AC=BC,连接PN,AN, 故PN⊥BC,AN⊥BC,… …2分 而PNC平面PAN,AWC平面PAN,PNOAN=W,…3分 故BC⊥平面PAW,而MNC平面PAW,…4分 可得MN L BC.……5分 (2)(i)记△ABC中心为H,显然PH⊥平面ABC,易知O在直线PH上，以H为坐标原 点，A豆的方向为x轴正方向，BC的方向为y轴正方向，亚的方向为z轴正方向，建立空 间直角坐标系灯y2… …6分 易得A(-2,0,0),B1,-5,0),C1,V3,0,P(0,0,4), …7分 可设0(0,0，)，由0A=0P可得(4-}2=4+2；解得t= …8分 故球0的半径R=4-4-号 …9分 而平面ABC的一个法向量H严=(0,0,4)， …10分 而-2,04，40-（20引 记AM=元P(2e[0,), …11分 则0-0--而--2-2况04以） …12分 记直线MO与平面ABC所成角为O, 则inos MO.HP 6-16列 MO HP 2 …13分 42-2+号j 平方得=642481+9，得(（21-61-)=0， 14分 58022+25-802 1 得入=5或九三 6 于是AM=PA=5或 …15分 18、(17分) 3 a=16 (1)由题意得： 合+疗1，解得b=2,椭圆方程为：+广 1 62 =1…4分 a2=b2+c2 c=2 (2)因为弦MN的中点的纵坐标为；，所以直线1斜率存在。 设直线1：y=+m,代入兰+上-1，可得+3k2)x2+6x+3m2-6=0, 62 -6km 设M(xy),N(x2,2),则 x+为=1+3k2 3m6,△=12(62-m+2小0，…6分 x=1+3k2 因为弦MW的中点的纵坐标为， 所以片+2=k(x+x2)+2m 1+3k2-1,即2m=1+3k2,…7分 2m 1+3=2W3/1+eV62+2-m M=+e, 1+32 O到直线MN的距离do-waw= V1+k2 .5.vow-dow-im-m_5(m-2+ …9分 2 由△=12(6k2-m2+2=12(4m-m2)>0,2m=1+3k2≥1，可得m ∴当m=2即k=1时，S。Mow取得最大值V3.… …10分 (3)Pm.Pm=0,(-5)(x-3)+(4-(y-=0, 即xx2-V5(名+x2)+3+y2-4+2丹1=0)，… …11分 +=k(:+x)+2m,2=k2x+m(x+x)+m2, 代入(*)式，得1+2）x5+m-k-√3(x++m2-2m+4=(，,…12分 +x-t0+-2加+4=6 化简得3k2+3√5mk+2m2-m-1=0, …13分 即(N5k+m-1(5k+2m+1)=0， m=1-V5k或m=--V5k …14分 2 当m=1-√3k时，则直线1：y=k(x-5)+1,此时直线过点(V5,),不合题意舍去， 当-时，则直线少=一)片此时直线过定9引 …15分 当直线斜率不存在时，直线一文稀圆于如()小个停】 时m-（9写受--小-0，是然威立…16分 ∴直线l过定 …17分 19、(17分) （a由愿意，当a=时，约=n兮石x2,1分 2x 则5)-12+2到-21 4 x-2 21+2x (x+2)2 2+x（x+2)2（x+)2, …2分 令f'(x)=0,得x=2, 当x∈(-2,2)时，f'(x)<0,则f(x)在(-2,2)上单调递减， 当xE(2,+∞)时，f'(x)>0,则f(x)在(2，+o)上单调递增，…4分 故当x=2时，函数∫(x)取得极小值，为f(2)=血2-1，无极大值.…5分 a)因/=h0+m)a>0, 四好奇 …6分 因为a>0,x∈(0，+o),所以(1+ax)(x+2)2>0, 当a21时，恒有ar2+4a-4>0,则f'(x)>0恒成立，即f(x)在(0，+o)上单调递增： ……0……7 当0<a<1时，令了=0，解得x=20-回（合去），520-回， a 令f(>0,解得>2y0-a,令f<0,解得0<x<2a0-可 a 0 ,十00 上单调递增.…8分 综上，当a≥1时，函数f(x)在(0，+o)上单调递增；