精品解析：辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高三12月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 2. 若，则下列哪个图像可表示与之间的线性关系？（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据条件化简为与的关系式，再结合图象，即可判断选项. 【详解】， 当时，，当时，，故排除BD， 并且随着的增大，也增大，故排除A， 故选：C 3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原等式转化为，两边取平方后化简计算即得. 【详解】由可得， 两边取平方，， 因，，均为单位向量，则得， 故. 故选：A. 4. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将整理为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】可整理为，得， 再由基本不等式可得：，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 6. 在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用柱体的体积公式求出的值，取的中点，连接，证明出平面，分析可知在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、，求出的长以及的大小，结合扇形的弧长公式可得结果. 【详解】依题意，设， ，解得， 如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 且， 以为球心的球的半径为，则该球的表面积为，解得， 因为平面，平面，故， 又因为，，、平面，故平面， 在侧面中，以为圆心的圆弧与棱、的交点分别为、， 则其半径，则即为所求的交线， 因为，，故，则， 同理可得，故， 又因为，所以的长度为， 故选：D. 7. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 8. 复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的除法计算出，然后根据复数的模公式进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数处取得极大值2，则（   ） A. 的最小正周期为 B. C. 是函数的一个递增区间 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】CD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数，然后根据三角函数最小正周期的求法判断A；求得，根据在处取得极大值2，列出方程，求得判断B；利用正弦型函数的性质，求得函数的单调区间判断C；结合三角函数的图象变换和余弦型函数的性质判断D. 【详解】对于A，由函数，其中， 所以函数的最小正周期为，所以A错误； 对于B，由， 因为在处取得极大值，可得， 所以，可得， 又因为极大值为可得，解得，所以B错误； 对于C，由函数，令， 可得，所以函数的递增区间， 令，可得函数的递增区间为，所以C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度，可得， 此时函数为偶函数，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数进行化简得，根据三角函数图象平移规律可得平移后的函数解析式，进而可判断A；由求得，进而可求，，然后利用两角和的正弦公式求，即可判断B；由得和关于对称，求得，代入求解可判断C；根据条件及三角函数的性质列出的不等式，求解可判断D. 【详解】 . 将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数为：， 因为是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 若，则，. ， ， 所以 ，故B正确； 由得，即， 时，，又，则， 方程在内恰有两个根和， 则和关于对称，故，即， 由题意，，， 则， 所以 ，故C错误； 因为， 由，解得， 故函数的单调递减区间为， 因为函数在上单调递减， 所以， 则且， 因为，则时符合，即且，解得， 令，得，解得， 若函数在上有且只有一个零点， 所以有且只有一个整数解. 即有且只有一个整数解，则，解得， 综上可得，即的取值范围是，故D正确， 故选：ABD. 11. 记椭圆：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，，分别与圆另交于，两点，则（ ） A B. C. 存在，使得，，三点共线 D. 若，则是锐角 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由，，，，共圆，结合圆周角定理即可判断；对于B，由平行线分线段成比例可得，于是，；对于C，由，，三点共线，则四边形是矩形即可推出矛盾；对于D，记的半焦距为，，进而得到，则即可判断． 【详解】对于A，显然，，，，共圆， 故，故A正确； 对于B，由平行线分线段成比例可得，于是 ，故B正确； 对于C，若，，三点共线，则四边形是矩形，但，矛盾，故C错误； 对于D，，记的半焦距为，， 则，得， 于是，由是锐角可知，于是，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到，再对的取值进行讨论进而得到最小值. 【详解】为奇函数，所以， 代入得，在定义域内， 化简得：， 即，由得：， 因为奇函数的定义域关于原点对称，由可知， 定义域端点为和， 为使定义域关于原点对称，必有，即， 又，， 所以， 当且仅当即，，即时成立； 综上  的最小值为. 故答案为： 14. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，根据方程求出参数值，再根据向量积的坐标表示，求出动点轨迹，进而求出符合条件的动点坐标即可. 【详解】变形为， 则，即， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以，从而点在直线上， 因为为线段的中点，，所以， 从而在以为直径的上，所以有， 此时，所以， 可得直线的斜率为， 因为满足，可知点在以为直径的上，方程为. 若面积最大，由圆的对称性可知，此时直线垂直于， 所以直线的斜率为，点在优弧上，从而可知直线. 联立，可得（负值舍去）， 所以，所求点坐标为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数（a为常数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）分、两种情况讨论函数的极值，再根据方程的根进行消元得出，再构造函数求值域即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，则， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为， ，由对勾函数可知，， 当，即时，， 则在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当，即时，， 又，， 则由零点存在性定理可知，存在，，使得， 则得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点和极小值点分别为，， 故，是方程即的两根， 则， 则 令，， 则，则在上单调递减， 因时，，，则， 故的取值范围为. 16. 如图，四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出平面，可得出，利用勾股定理得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）由结合等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 因为，，，所以，故， 取的中点，连接，如图所示： 因为，故， 又因为，即，故四边形为平行四边形，所以且， 因为，故，即， 所以， 因为，所以，故， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，故，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为，则， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，故， 因为平面，平面，所以，故， 由得，解得， 故点到平面的距离为. 17. 已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式与辅助角公式可得，再利用正弦型函数性质计算即可得解； （2）由计算可得，再利用面积公式与余弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 故函数的单调递减区间为； 小问2详解】 ，则，则， 即，又，故， 则，故， ， 即，则， 即有，故的周长为. 18. 已知数列，，，，且，，成等差数列. （1）若，，求数列的前4项和. （2）若，，是否存在，，使得？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由. （3）定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称常数为数列的极限，记作.设数列的前项和为，，求实数和的值. 【答案】（1） （2）存在，， （3）， 【解析】 【分析】（1）由及成等差数列得，然后分别求得，得和； （2）证明是等比数列并求其通项，由得到，令，进而得到，逐项分析值得到 （3）由成等差数列得到是等比数列并求其通项，进而求得，表示出，由得到满足条件求值. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 又，所以， ，， 所以，， ，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以是首项，公比的等比数列， 所以，所以， 若存在，使得，即，则， 令，则，整理得， 因为，所以，所以， 当时，，，符合条件； 当时，，不符合条件； 令，则， 所以在单调递增，而， 所以当时，，不符合条件， 综上满足条件的值为：. 【小问3详解】 由可得，即， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以， 整理得， 所以 因为，所以，得①， 且，得②， 由①②可得. 19. 已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）（i）;（ii）动点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. 【小问1详解】 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方程为． 由,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由得, 则. 设,则. 直线,直线, 由,得 , 解得, 故动点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高三12月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 若，则下列哪个图像可表示与之间的线性关系？（　　） A. B. C D. 3. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A B. C. D. 4. 数列满足，则数列的前项和为（ ） A B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 6. 在直四棱柱中，底面为菱形，为等边三角形，，若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 8. 复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在处取得极大值2，则（   ） A. 的最小正周期为 B. C. 是函数一个递增区间 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 11. 记椭圆：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，，分别与圆另交于，两点，则（ ） A. B. C. 存在，使得，，三点共线 D. 若，则是锐角 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 14. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数（a为常数）. （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）设函数的两个极值点分别为，（），求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知向量，函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长. 18. 已知数列，，，，且，，成等差数列. （1）若，，求数列的前4项和. （2）若，，是否存在，，使得？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由. （3）定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，都有，则称常数为数列的极限，记作.设数列的前项和为，，求实数和的值. 19. 已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $