专题02认识有理数期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过表格对比、层级化梳理构建知识体系，涵盖有理数定义与分类、数轴三要素、绝对值与相反数、大小比较等核心内容，用表格呈现两种分类标准，思维导图梳理概念逻辑关系，突出绝对值非负性、数轴距离计算等重难点。 讲义亮点在于16类常考题型的分层精练设计，如“数轴上两点距离计算”培养几何直观，“含‘非’字的有理数分类”强化抽象能力，每个题型配典例、跟踪专练及压轴规律探究题，帮助不同层次学生提升运算能力与推理意识，支持学生自主复习，助力教师精准教学。

专题02认识有理数期末冲刺必备讲义 1.理解有理数的相关概念，能准确对有理数进行分类。 2.掌握数轴、相反数、绝对值的定义及性质，并能熟练运用。 3.会比较有理数的大小，能结合实际情境理解有理数的意义。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的定义 2.有理数的分类 3.数轴的三要素及作用 4.绝对值与相反数 5.有理数的大小比较 常考题型 精讲精炼 1.正负数的概念定义 2.具有相反意义的量 3.正负数的实际应用 4.有理数的概念定义 5.有理数的分类方式 6.含“非”字的有理数 7.用数轴上的点表示有理数的方法 8.借助数轴比较有理数大小的规则 9.数轴上两点之间距离的计算方法 10.相反数的概念定义 11.多重符号的化简规则 12.绝对值的几何意义 13.求一个数绝对值的方法 14.绝对值非负性 15.有理数大小的比较方法 16.数轴上的规律探究题型 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的概念与分类】 1.有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 *整数：正整数、0、负整数的统称（如 1,2,0,−3,−5）。 *分数：正分数、负分数的统称（如,,−,−0.5）。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，属于有理数；无限不循环小数（如 π）不是有理数。 2.有理数的两种分类方式 分类标准 具体分类 按定义分 有理数分为整数和分数 整数分为正整数、0、负整数 分数分为正分数、负分数 按符号分 有理数分为正有理数、0、负有理数 正有理数分为正整数、正分数 负有理数分为负整数、负分数 【知识点02.数轴的三要素及作用】 1.数轴的三要素 原点（表示数0的点）、正方向（一般规定向右为正）、单位长度（选取适当的长度作为单位长度），三者缺一不可。 2.数轴的作用 (1)直观表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示（但数轴上的点不都表示有理数）。. (2)比较有理数大小：数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大。 【知识点03.绝对值与相反数】 1.绝对值定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣。 2.绝对值的性质 (1)非负性：∣a∣≥0，任何数的绝对值都是非负数。 (2)代数意义：∣a∣= (3)互为相反数的两个数绝对值相等（∣a∣=∣−a∣）。 3.相反数的定义 只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，0的相反数是0。 4.相反数的性质 (1)互为相反数的两个数，和为0（若a与b互为相反数，则 a+b=0）。 (2)在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 【知识点04.有理数的大小比较】 1.利用数轴比较 数轴上右边的数大于左边的数。 2.利用符号和绝对值比较 (1)正数>0>负数； (2)两个正数比较，绝对值大的数大； (3)两个负数比较，绝对值大的数反而小。 【题型1.正负数的概念定义】 【典例】在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． 【跟踪专练2】以下说法正确的是（       ） A．一个数前面带有“”号，则这个数是负数 B．整数和小数统称为有理数 C．不是正数的数一定是负数 D．数轴上表示数a的点在原点的左边，那么a是一个负数 【题型2.具有相反意义的量】 【典例】在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入50元记作元，则支出100元记作 元． 【跟踪专练1】若某地某日最高气温零上记作： ，则该地某日最低气温为零下，记作（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【题型3.正负数的实际应用】 【典例】一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（    ） A．25.75千克 B．25.18千克 C．24.55千克 D．24.05千克 【跟踪专练1】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过 次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【跟踪专练2】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 【题型4.有理数的概念定义】 【典例】在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【跟踪专练2】在，，中，有理数是 ． 【题型5.有理数的分类方式】 【典例】在0，，5，，0.161161116…，，2024中，正整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 【跟踪专练1】下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有 个 【跟踪专练2】有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6.含“非”字的有理数】 【典例】下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 【跟踪专练1】下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，， 正数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝； 非负整数集合：｛ ｝． 【题型7.用数轴上的点表示有理数的方法】 【典例】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 【跟踪专练1】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【跟踪专练2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【题型8.借助数轴比较有理数大小的规则】 【典例】对于有理数m、n，如果，，那么n （选填、、）． 【跟踪专练1】数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【题型9.数轴上两点之间距离的计算方法】 【典例】若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 【跟踪专练1】若为有理数，已知，则的最小值为 ． 【跟踪专练2】若点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离表示为：，已知，，则的最大值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【题型10.相反数的概念定义】 【典例】如图，是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形、、内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在内的数为 ． 【跟踪专练1】有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【跟踪专练2】用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 【题型11.多重符号的化简规则】 【典例】下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 【跟踪专练1】化简： ． 【跟踪专练2】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．025 C． D． 【题型12.绝对值的几何意义】 【典例】绝对值小于的整数有 ． 【跟踪专练1】若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【跟踪专练2】若a是任意的有理数，则式子的最大值是 ． 【题型13.求一个数的绝对值方法】 【典例】下列各组实数的值，使得成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】下列四组有理数的比较大小；①，②，③，④．正确的序号是 ． 【跟踪专练2】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【题型14.绝对值的非负性】 【典例】如果，那么的值为 ． .【跟踪专练1】规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【跟踪专练2】若与互为相反数，则 ， ． 【题型15.有理数大小比较的方法】 【典例】在，0，，，，中，最小的数是 （     ） A． B．0 C． D． 【跟踪专练1】在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是 ． 【跟踪专练2】已知，，则、、由小到大的排列顺序是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型16.数轴上的规律探究题型】 【典例】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【跟踪专练1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练2】如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字 的点重合． 1．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 3．a、b是整数，且满足，则 ． 4．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 5．已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 6．式子的最小值是 ． 7．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 8．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 11．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 12．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 13．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． (1)若点C为原点，则b=_______，_______ (2)若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且，求p的值． (3)E为线段上一点，其所表示的数为e，则的最大值为_______，最小值为_______． 14．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 15．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识有理数期末冲刺必备讲义 1.理解有理数的相关概念，能准确对有理数进行分类。 2.掌握数轴、相反数、绝对值的定义及性质，并能熟练运用。 3.会比较有理数的大小，能结合实际情境理解有理数的意义。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的定义 2.有理数的分类 3.数轴的三要素及作用 4.绝对值与相反数 5.有理数的大小比较 常考题型 精讲精炼 1.正负数的概念定义 2.具有相反意义的量 3.正负数的实际应用 4.有理数的概念定义 5.有理数的分类方式 6.含“非”字的有理数 7.用数轴上的点表示有理数的方法 8.借助数轴比较有理数大小的规则 9.数轴上两点之间距离的计算方法 10.相反数的概念定义 11.多重符号的化简规则 12.绝对值的几何意义 13.求一个数绝对值的方法 14.绝对值非负性 15.有理数大小的比较方法 16.数轴上的规律探究题型 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的概念与分类】 1.有理数的定义 整数和分数统称为有理数。 *整数：正整数、0、负整数的统称（如 1,2,0,−3,−5）。 *分数：正分数、负分数的统称（如,,−,−0.5）。 注意：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，属于有理数；无限不循环小数（如 π）不是有理数。 2.有理数的两种分类方式 分类标准 具体分类 按定义分 有理数分为整数和分数 整数分为正整数、0、负整数 分数分为正分数、负分数 按符号分 有理数分为正有理数、0、负有理数 正有理数分为正整数、正分数 负有理数分为负整数、负分数 【知识点02.数轴的三要素及作用】 1.数轴的三要素 原点（表示数0的点）、正方向（一般规定向右为正）、单位长度（选取适当的长度作为单位长度），三者缺一不可。 2.数轴的作用 (1)直观表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示（但数轴上的点不都表示有理数）。. (2)比较有理数大小：数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大。 【知识点03.绝对值与相反数】 1.绝对值定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣。 2.绝对值的性质 (1)非负性：∣a∣≥0，任何数的绝对值都是非负数。 (2)代数意义：∣a∣= (3)互为相反数的两个数绝对值相等（∣a∣=∣−a∣）。 3.相反数的定义 只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，0的相反数是0。 4.相反数的性质 (1)互为相反数的两个数，和为0（若a与b互为相反数，则 a+b=0）。 (2)在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 【知识点04.有理数的大小比较】 1.利用数轴比较 数轴上右边的数大于左边的数。 2.利用符号和绝对值比较 (1)正数>0>负数； (2)两个正数比较，绝对值大的数大； (3)两个负数比较，绝对值大的数反而小。 【题型1.正负数的概念定义】 【典例】在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，负数定义等．根据题意逐一计算每个表达式的值，判断是否为负数，负数指小于零的数． 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． 【跟踪专练1】下列说法正确的是 （只填序号）． ①如果，那么一定是正数；②如果，那么一定不等于；③如果，那么；④如果，那么一定是负数或大于的正数；⑤如果，那么或． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查的是正数、绝对值、乘方的性质，灵活运用相关概念的定义与运算规律是解题的关键．通过正数的定义判断的正负性，结合绝对值的非负性分析的取值，利用乘方的运算结果确定的可能值，根据两数乘积的符号判断、的符号，进而分析式子的结果． 【详解】解：①、如果，则是正数，正确； ②、如果，则，正确； ③、如果，则，不是，错误； ④、如果，那么一定是负数或大于的正数，正确； ⑤、如果，则和同号，当且时，；当且时，，正确． 故答案为：①②④⑤． 【跟踪专练2】以下说法正确的是（       ） A．一个数前面带有“”号，则这个数是负数 B．整数和小数统称为有理数 C．不是正数的数一定是负数 D．数轴上表示数a的点在原点的左边，那么a是一个负数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的基本概念和数轴的性质，掌握有理数的相关概念是解题的关键． 根据有理数的基本概念和数轴的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．一个数前面带“”号不一定是负数，如，故该选项错误，不符合题意； B．有理数定义为整数和分数，小数中的无限不循环小数（如）不是有理数，故该选项错误，不符合题意； C．不是正数的数可能是负数或0，0既不是正数也不是负数，故该选项错误，不符合题意； D．数轴上原点左边的点表示负数，说法正确，符合题意． 故选D． 【题型2.具有相反意义的量】 【典例】在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入50元记作元，则支出100元记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正数与负数的实际意义，解题的关键是理解“正数和负数用于表示具有相反意义的量”． 根据“收入记为正“的规则，确定“支出”对应的符号，进而写出支出100元的记法． 【详解】解：在实际生活中，正数和负数用于表示具有相反意义的量， 已知收入50元记作元，说明“收入”对应正数， 因此与之相反的“支出“应对应负数， 故支出100元记作元． 故答案为：． 【跟踪专练1】若某地某日最高气温零上记作： ，则该地某日最低气温为零下，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正负数表示相反意义的量，已知零上用正数表示，推导出零下的表示方法．本题主要考查正负数表示相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：零上记作，说明用正数表示零上温度，零下温度用负数表示，零下记作． 故选：． 【跟踪专练2】两千多年前．中国人就开始使用负数．若收入100元记作元，则元表示（  ） A．支出50元 B．支出150元 C．收入50元 D．收入150元 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数、负数的意义，掌握正数和负数表示相反的意义是解题的关键． 利用正数和负数表示相反的意义即可解答． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出50元． 故选：A． 【题型3.正负数的实际应用】 【典例】一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（    ） A．25.75千克 B．25.18千克 C．24.55千克 D．24.05千克 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，解题的关键是理解题意；根据质量标识“千克”，计算合格范围为24.75千克至25.25千克，再判断各选项是否在此范围内即可． 【详解】解：∵合格质量范围为千克至千克， ∴选项中只有选项B是合格的； 故选B． 【跟踪专练1】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过 次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 【跟踪专练2】若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、正数和负数的应用，求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最大的数即可，掌握绝对值和正数和负数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴ ∴与标准差值最大的是， 故选：． 【题型4.有理数的概念定义】 【典例】在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 【答案】4 【分析】此题考查有理数的定义：整数和分数（包括有限小数和无限循环小数）统称为有理数，据此判断每个数是否属于有理数 【详解】解：是无限循环小数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 中含有无理数π，是无限小数，不是有理数； 即，是有限小数，是有理数； 031313111…（每两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，不是无理数， 因此，有理数有4个， 故答案为：4 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 【跟踪专练2】在，，中，有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数“整数和分数统称为有理数”，熟记有理数的定义是解题关键．根据有理数的定义求解即可得． 【详解】解：和都是无限不循环小数，不是有理数， 不是有理数， 是分数，是有理数， 故答案为：． 【题型5.有理数的分类方式】 【典例】在0，，5，，0.161161116…，，2024中，正整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据正整数是大于零的整数，需逐一判断每个数是否满足条件即可． 【详解】解：∵0不是正数，∴不是正整数； ∵是负数，∴不是正整数； ∵5是正数且是整数，∴是正整数； ∵是分数，不是整数，∴不是正整数； ∵0.161161116…是正数，但不是整数，∴不是正整数； ∵是正数但不是整数，∴不是正整数； ∵2024是正数且整数，∴是正整数； ∴正整数有5和2024，共2个； 故选A． 【跟踪专练1】下列7个数：、、、0、、（每两个2之间依次多一个6）、，其中有理数有 个 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，据此解答即可得． 【详解】解：是负分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是正分数，属于有理数， 0是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，不属于有理数， （每两个2之间依次多一个6）是无限不循环小数，不属于有理数， 是无限循环小数，属于有理数， 综上，有理数有5个， 故答案为：5． 【跟踪专练2】有下列结论：①绝对值等于它本身的有理数是正数；②相反数等于它本身的有理数只有零；③一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数．其中错误的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数、有理数的基本概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据定义逐一判断各结论的正误，即可解答． 【详解】解：绝对值等于它本身的有理数是非负数（包括正数和0）， 结论①错误， 相反数等于它本身的有理数只有0， 结论②正确， 当时，是正数， 结论③错误， 有理数包括整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数， 结论④正确， 综上所述，错误的结论有①和③，共2个． 故选：B． 【题型6.含“非”字的有理数】 【典例】下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 【跟踪专练2】把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，， 正数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝； 非负整数集合：｛ ｝． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的定义即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数集合：｛，｝； 分数集合：｛，｝； 非负整数集合：｛，｝； 故答案为：；；． 【题型7.用数轴上的点表示有理数的方法】 【典例】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系及有理数的大小比较．先观察数轴，确定手掌遮挡的点所在的位置区间，从图中可以看到，手掌遮挡的点在和之间，所以这个点表示的数x满足，再逐一分析各个选项是否符合不等式，直到选择出正确的选项即可． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为x，则手掌遮挡住的点在、的两点之间， 则， 则表示的数可能是． 故选：C． 【跟踪专练1】点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 【跟踪专练2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据，，，得到且，然后结合选项中的数轴，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵，，， ∴且， 即 故选：D． 【题型8.借助数轴比较有理数大小的规则】 【典例】对于有理数m、n，如果，，那么n （选填、、）． 【答案】 【分析】此题考查有理数的大小比较，将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可得 【详解】∵ ，， ∴将各数表示在数轴上： ∴ ， 即 ， 故答案为：> 【跟踪专练1】数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据数轴判断有理数的大小． 根据数轴得到，，即，进而判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 即， 可知只有B正确． 故选：B． 【跟踪专练2】若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 【题型9.数轴上两点之间距离的计算方法】 【典例】若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离的定义，根据数轴上两点距离的定义，点N可能在点M的左侧或右侧，距离均为3个单位，由此求解即可． 【详解】∵点M表示的数为，点N与点M的距离为3， ∴点N表示的数为或． 故选：D． 【跟踪专练1】若为有理数，已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 该问题理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值，再由绝对值的几何意义分类讨论求解即可． 【详解】解：，则可理解为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， ∴的最小值即为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和的最小值， 当时，则； 当时，则； 当时，， ∴的最小值为， 故答案为：5． 【跟踪专练2】若点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离表示为：，已知，，则的最大值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示到点 1 的距离为 1，解得或；表示到点的距离为2，解得或，然后依次计算求，选择最大值即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或， 当, 时，， 当, 时，， 当, 时，， 当, 时，， ∴的最大值为 7， 故选：C． 【题型10.相反数的概念定义】 【典例】如图，是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形、、内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在内的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图；正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再根据互为相反数的定义解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， ∵相对面上的两数互为相反数， ∴填在内的三个数依次是、、 故答案为：． 【跟踪专练1】有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 【跟踪专练2】用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 【答案】 【分析】 本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．根据新定义得到，，再计算即可． 【详解】 解：由题意得：，， ∴2， 故答案为：． 【题型11.多重符号的化简规则】 【典例】下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 【答案】A 【分析】本题考查相反数的概念，解题关键是理解相反数的定义，并准确计算每个数的值． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，分别计算每个选项中两个数的值，判断是否只有符号不同，即可作答． 【详解】解：A、，则与互为相反数，故该选项符合题意； B、与3不是互为相反数，故该选项不符合题意； C、，与不是互为相反数，故该选项不符合题意； D、，5与不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则进行解题． 由去括号法则进行运算，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．025 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较、相反数等知识点，掌握负数的绝对值越大、本身越小是解题的关键． 先运用相反数化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 最小的数是：． 故选：B． 【题型12.绝对值的几何意义】 【典例】绝对值小于的整数有 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的概念及整数的范围确定，解题的关键是根据绝对值的定义列出不等式，再找出符合条件的整数． 根据绝对值的意义列出不等式，确定整数的取值范围，进而找出符合条件的整数． 【详解】解：因为绝对值的定义为， 所以可得不等式， 又因为是整数， 所以满足条件的整数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，且，则的值为（   ） A．10 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义解题即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 又 ∵ ， ∴ 和 异号， 当 ，  时，； 当 ，  时，； ∴  的值为 4 或 ． 故选：D． 【跟踪专练2】若a是任意的有理数，则式子的最大值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 【详解】解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 【题型13.求一个数的绝对值方法】 【典例】下列各组实数的值，使得成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质，把握“若，则”是解题关键． 根据绝对值的性质，将变形为，由此可得即，据此依次判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，， 选项A：，，，故选项不成立； 选项：，，，故选项不成立； 选项：，，，故选项成立； 选项：，，，故选项不成立． 故选：． 【跟踪专练1】下列四组有理数的比较大小；①，②，③，④．正确的序号是 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数相比，绝对值大的反而小．根据有理数大小比较法则，两两比较，然后逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故原比较错误； ②∵，， ∴，故原比较错误； ③∵，，， ∴，故原比较正确； ④∵，，， ∴，故原比较错误； 故答案为：③． 【跟踪专练2】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 【题型14.绝对值的非负性】 【典例】如果，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值；根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算. 【详解】解：∵且 ≥ 0， ∴且 = 0， 即 且， 解得， ∴. 故答案为：5. .【跟踪专练1】规定，，例如，，下列结论正确的是（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9 A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质、绝对值方程求解，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值非负性和零点分段讨论，逐一判断各结论即可． 【详解】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立； 结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立； 结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立； 结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立； 故选：C． 【跟踪专练2】若与互为相反数，则 ， ． 【答案】 0 2 【分析】此题考查了相反数的性质，以及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解本题的关键． 利用相反数的性质列出方程，再利用绝对值的非负数即可求出的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， 解得：， 故答案为：；． 【题型15.有理数大小比较的方法】 【典例】在，0，，，，中，最小的数是 （     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．根据有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选：A 【跟踪专练1】在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数大小比较，通过替换非零数字后比较数值大小，确定最小数对应的被替换数字即可． 【详解】解：在中，非零数字为1和， 当替换时，得， 替换时，得， ， 替换后所得数最小， 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知，，则、、由小到大的排列顺序是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了整式的比较，掌握字母的符号是解决本题的关键． 由条件和可知，为正数，而m和均为负数．通过比较m和，由于，可得，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∴由小到大为m、、， 故选D． 【题型16.数轴上的规律探究题型】 【典例】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 【跟踪专练1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的数字规律问题，找出圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律是解决此类题目的关键．根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知，圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ， 每四个数2，3，0，1一个循环， ， 数轴上表示2025的点与循环数中第一个数2的点重合， 故答案为：2． 1．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义、数轴的性质．根据绝对值的定义得出，即可得出或，再结合数轴判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 故选：B． 2．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 【答案】2 【分析】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．根据题意，a、b、c两两不等，可设，易得，，，进而可得，，的符号，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设， 易得，，， 则，，中有2个是负数， 故答案为2． 3．a、b是整数，且满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，首先根据分情况讨论，可以分成三种情况；（1）；（2）；（3），再根据条件a、b是整数分别讨论即可． 【详解】解：∵a、b是整数， ∴均为整数， ∵，，且， ∴①，则：或；满足题意； ②，不存在两个整数满足题意； ③，则，此时也不存在两个整数满足题意； 综上：； 故答案为：0． 4．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 5．已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 6．式子的最小值是 ． 【答案】 0.25/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．将原式化简为，令，求出，令，求出，令，求出，根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答． 【详解】解：原式， 令，则，令，则，令，则， ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； ③当时，则； ④当时，则， ， ； 综上，，即式子的最小值是． 故答案为：． 7．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 8．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，相反数的性质，绝对值的定义，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断． 由数轴知，画出如图，根据绝对值定义，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意画出如图： 由到0的距离远近可知：，故（1）不符合题意，（3）符合题意； 由数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数知：，，故（2）（4）符合题意；故结论正确的有3个． 故选：C． 10．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 11．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 12．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 13．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． (1)若点C为原点，则b=_______，_______ (2)若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且，求p的值． (3)E为线段上一点，其所表示的数为e，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】(1)； (2)或 (3)14，8 【分析】本题主要考查绝对值的含义，利用绝对值之差代表两点间的距离是解题的关键． （1）根据数轴直接写出结果即可； （2）代入得，分情况解方程即可； （3）根据绝对值的含义，先可求得，再求的最值即可． 【详解】（1）解：若点C为原点，则，， ， 故答案为：； ． （2）∵点B为原点，在， ， 当时，，解得； 当时，； 当时，，， 综上，p的值为或． （3）E为线段上一点，其所表示的数为e， 由（2）知， 当E在点A处时， 此时取得最大值8， 所以得最大值为14； 当E在之间时，， 此时取得最小值2， 所以得最小值为8； 故答案为：14；8． 14．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【答案】(1)5 (2) (3)1、2、3、8、9 【分析】本题考查有理数的大小比较、新定义、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据新定义计算即可． （2）根据新定义可以发现当时，根据这个规律计算即可． （3）根据新定义得，，，所以，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据新定义可得， 故答案为：5； （2）解：根据新定义可得当时，， 所以 ； （3）解：∵，，，且， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，，符合题意； 当时，，， ∴，，符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴或，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，符合题意； 综上所述，的所有可能的值1、2、3、8、9． 15．先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的n（）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形． 如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，处最合适，因为如果P不放在处，甲和丙所走的距离之和恰好是到的距离，可是乙还得走从到P的这一段，这是多出来的，因此P放在处最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题： (1)有n台机床时，P应设在何处？ (2)根据（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)当为奇数时，P应设在台机床处；当为偶数时，P应设在和台机床之间处 (2)95172 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法，解题的关键就是要能够从材料中得到有用的信息． （1）根据给出的规律进行求解即可，分为奇数和偶数两种情况进行解答； （2）根据给出的规律找到的最小值，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当为奇数时，P应设在台机床处； 当为偶数时，P应设在和台机床之间的任何地方． （2）解：本题可以看作在数轴上找一点，使该点到1，2，3，…，617的距离和最小， 根据题目给出的规律，该点位于处， 即， ∴ ∴原式的最小值为95172． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $